2025屆廣東省廣州市增城區(qū)四校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆廣東省廣州市增城區(qū)四校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為；當(dāng)無(wú)放回依次取出兩個(gè)小球時(shí)，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，2．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④3．已知為圓：上任意一點(diǎn)，，若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）4．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．5．如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結(jié)論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；B．2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為）建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型，根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.6．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．47．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．在中，“”是“”成立的必要不充分條件C．“若，則”是真命題D．存在，使得成立8．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．中，，為的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．210．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．811．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．12．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合,,則__________．14．已知平面向量，，且，則向量與的夾角的大小為_(kāi)_______．15．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng)，服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測(cè)”、“愛(ài)心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則的值為_(kāi)_____.16．的展開(kāi)式中，若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個(gè)極值點(diǎn)，且.（1）討論的單調(diào)性（2）求實(shí)數(shù)和a的值（3）證明18．（12分）如圖，在四邊形中，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若的面積為6，求的值.19．（12分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱外賣(mài)甲、外賣(mài)乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣(mài)甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣(mài)乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”，填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲外賣(mài)乙總計(jì)（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣(mài)甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問(wèn)題：①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記為外賣(mài)甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；②外賣(mài)甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣(mài)，搶紅包”的營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣(mài)訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)，若每按一件外賣(mài)訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣(mài)平均需送出紅包2元，則外賣(mài)甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，的頂點(diǎn)也在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.21．（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算，應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值，再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計(jì)算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無(wú)放回的區(qū)別.2、D【解析】

因?yàn)椋寓俨徽_；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．3、B【解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，涉及到恒成立問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來(lái)處理恒成立問(wèn)題.5、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng)，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對(duì)于選項(xiàng)，令代入回歸直線方程得億元，故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念.7、C【解析】

A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯(cuò).B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯(cuò).C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò).【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯(cuò).B：在中，，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯(cuò).C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯(cuò).故選：C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖冢?，所以，化?jiǎn)得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，，又因?yàn)?，所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，難度較大.9、D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10、D【解析】

畫(huà)出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.12、C【解析】試題分析：設(shè)的交點(diǎn)為，連接，則為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為，則，所以，故C為正確答案．考點(diǎn)：異面直線所成的角．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

由，解得，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為．都答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：由已知得，故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結(jié)論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，則有，由，可得，可知當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，由已知得，即，①由可得，，②?lián)立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區(qū)間單調(diào)遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，，即，亦即，這時(shí)，故可得，取，可得，而，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比較簡(jiǎn)單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.18、(1)(2)【解析】

（1）利用余弦定理可得的長(zhǎng)；（2）利用面積得出，結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解：（1）由題可知.在中，，所以.（2），則.又，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角較多時(shí)一般選用正弦定理，已知邊較多時(shí)一般選用余弦定理.19、（1）見(jiàn)解析，有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).（2）①4.911②100萬(wàn)元.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個(gè)外賣(mài)平臺(tái)中月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過(guò)計(jì)算的觀測(cè)值，即可結(jié)合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得，再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市有和兩組，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計(jì)算出開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)與不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)的利潤(rùn)，比較即可得解.【詳解】（1）對(duì)于外賣(mài)甲：月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為，對(duì)于外賣(mài)乙：月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖，業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲4060100外賣(mài)乙5248100總計(jì)92108200且的觀測(cè)值為，∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).（2）①樣本平均數(shù)，故==，，的數(shù)學(xué)期望，②由分層抽樣知，則100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個(gè)），每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有（個(gè)），若不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），若開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)，則一個(gè)月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)比不開(kāi)展每月多盈利100萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用，完善列聯(lián)表并計(jì)算的觀測(cè)值作出判斷，分層抽樣的簡(jiǎn)單應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.20、（1）：，：；（2）【解析】