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2025屆廣西桂梧高中高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若,則實(shí)數(shù)a的值為()A. B.3 C. D.2.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn)相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.3.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為().A. B. C.1 D.4.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.5.已知復(fù)數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B.C. D.7.如果實(shí)數(shù)滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.8.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-39.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.10.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種11.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.312.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且,,,則_______.14.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值為________.15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn),函數(shù)的最小值為,則________.16.某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位,當(dāng)它的底面半徑和高的比值為______.時(shí),可使得所用材料最省.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,過的直線與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)若的斜率為2,求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)求的值.19.(12分)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)(1)當(dāng)直線的方程為時(shí),求拋物線的方程;(2)當(dāng)正數(shù)變化時(shí),記分別為的面積,求的最小值.20.(12分)若關(guān)于的方程的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin.(1)求曲線C的普通方程;(2)求曲線l和曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)題意,求得函數(shù)周期,利用周期性和函數(shù)值,即可求得.【詳解】由已知可知,,所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù),所以,解得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解,涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬綜合基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點(diǎn)相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì),考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng).【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.5、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體,分別求解兩個(gè)部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱,上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.7、B【解析】
解:當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),最大,故選B8、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.9、D【解析】
作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程,有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.10、D【解析】
采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【詳解】因?yàn)?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡(jiǎn)得,即令,所以,故選C。【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。12、B【解析】
設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.14、3【解析】
作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域(如下圖陰影部分),聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.15、0【解析】
求出,求出切線點(diǎn)斜式方程,原點(diǎn)坐標(biāo)代入,求出的值,求,求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極小值最小值,即可求解.【詳解】,,,切線的方程:,又過原點(diǎn),所以,,,.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故函數(shù)的最小值,所以.故答案為:0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值,屬于中檔題..16、【解析】
設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導(dǎo)數(shù)求出最值,從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),取得最小值,即材料最省,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值,進(jìn)而可得出拋物線的方程;(2)設(shè)點(diǎn),,設(shè)的方程為,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合求得的值,可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出點(diǎn)到直線的最大距離.【詳解】(1)易知點(diǎn),又,所以點(diǎn),則直線的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點(diǎn),,則,所以.所以,解得.所以直線的方程為,恒過點(diǎn).又點(diǎn),故當(dāng)直線與軸垂直時(shí),點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解,同時(shí)也考查了拋物線中最值問題的求解,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.18、(1):,:;(2)【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的直角坐標(biāo)方程,并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,利用,將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系,求得的值.【詳解】(1)的直角坐標(biāo)方程為,即,則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為的傾斜角),代入曲線的普通方程,得.設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,所以,在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直線參數(shù)方程,考查直線參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.19、(1)x2=4y.(2).【解析】試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求導(dǎo)y′=,因?yàn)橹本€PQ的斜率為1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以拋物線C1的方程為x2=4y.(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程為y=-x根據(jù)切線與圓切,得d=r,即,化簡(jiǎn)得x04=4x02+4p2,由方程組,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點(diǎn)F(0,)到切線PQ的距離是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2+1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào),即x02=4+2,此時(shí),p=.所以的最小值為2+1.考點(diǎn):求拋物線的方程,與拋物線有關(guān)的最值問題.20、【解析】
先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根都大于2,令所以有,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題,熟記二次函數(shù)的特征即可,屬于常考題型.21、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)分類討論求解絕對(duì)值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于,該不等式恒成立,當(dāng)時(shí),等價(jià)于,該不等式解集為,當(dāng)時(shí),等價(jià)于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因?yàn)?,,,所以,,,所以,?dāng)且僅
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