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山東省博興縣2025屆高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn),若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.2.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.53.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.124.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.5.在中,,,分別為角,,的對(duì)邊,若的面為,且,則()A.1 B. C. D.6.設(shè),命題“存在,使方程有實(shí)根”的否定是()A.任意,使方程無實(shí)根B.任意,使方程有實(shí)根C.存在,使方程無實(shí)根D.存在,使方程有實(shí)根7.函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為()A. B. C. D.8.已知集合,,,則的子集共有()A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后,輸出的值為5,則的取值范圍是().A. B. C. D.10.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)11.已知函數(shù),,若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,則的取值范圍為()A. B.C. D.12.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,當(dāng)時(shí),(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為_____.14.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.15.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.16.已知數(shù)列的首項(xiàng),函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),則數(shù)列|的前項(xiàng)和__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,湖中有一個(gè)半徑為千米的圓形小島,岸邊點(diǎn)與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點(diǎn)向小島建三段棧道,,,湖面上的點(diǎn)在線段上,且,均與圓相切,切點(diǎn)分別為,,其中棧道,,和小島在同一個(gè)平面上.沿圓的優(yōu)弧(圓上實(shí)線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時(shí),棧道總長度最短.18.(12分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)二面角的大小為,求的值.19.(12分)已知函數(shù),,設(shè).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)方程(其中為常數(shù))的兩根分別為,,證明:.(注:是的導(dǎo)函數(shù))20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線l過點(diǎn),且傾斜角為,以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判斷曲線C是什么曲線;設(shè)直線l與曲線C相交與M,N兩點(diǎn),當(dāng),求的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的普通方程;(2)若P,Q分別為曲線,上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值.22.(10分)已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求的值;(2)若,問函數(shù)有無極值點(diǎn)?若有,請(qǐng)求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);若沒有,請(qǐng)說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
求得直線的方程,畫出曲線表示的下半圓,結(jié)合圖象可得位于,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí),到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值,解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系,確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值,這由數(shù)形結(jié)合思想易得.2、D【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng):拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.3、B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B4、A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.5、D【解析】
根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出的值,然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:由,得,∵,∴,即即,則,∵,∴,∴,即,則,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用,結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.6、A【解析】
只需將“存在”改成“任意”,有實(shí)根改成無實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實(shí)根”的否定是“任意,使方程無實(shí)根”.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個(gè)方面作出變化:1.量詞,2.結(jié)論,是一道基礎(chǔ)題.7、D【解析】
由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時(shí),集合子集的個(gè)數(shù)為,真子集個(gè)數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】
框圖的功能是求等比數(shù)列的和,直到和不滿足給定的值時(shí),退出循環(huán),輸出n.【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;第四次循環(huán):;此時(shí)滿足輸出結(jié)果,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,建議數(shù)據(jù)比較小時(shí),可以一步一步的書寫,防止錯(cuò)誤,是一道容易題.10、C【解析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,即,①.因?yàn)?,①式兩邊同除以,?所以方程有三個(gè)不等的正實(shí)根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因?yàn)?,?dāng)時(shí),,所以在,上單調(diào)遞增,且時(shí),.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,且時(shí),.所以當(dāng)時(shí),取最大值,當(dāng),有一根.所以恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.12、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為,可得出,代值計(jì)算,即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則,又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,所以,,則,所以,函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算函數(shù)值,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.14、【解析】
利用公式計(jì)算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.15、【解析】
先求得與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時(shí),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時(shí),,的圖象有交點(diǎn),此時(shí),與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).16、【解析】
由函數(shù)為偶函數(shù),可得唯一零點(diǎn)為,代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式,再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列,最后運(yùn)用分部求和可得答案.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),在上有唯一零點(diǎn),所以,∴,∴,∴為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng),考查了數(shù)列的分部求和,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,;當(dāng)時(shí),棧道總長度最短.【解析】
連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時(shí),所以當(dāng)時(shí),棧道總長度最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;(2)取的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為,利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】(1)在中,,所以,即.因?yàn)?,,,所?所以,即.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由題意知,四邊形為菱形,且,則為正三角形,取的中點(diǎn)D,連接BD,則.以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,且,.由得取.由四邊形為菱形,得;又平面,所以;又,所以平面,所以平面的法向量為.所以.故.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題,在利用向量法時(shí),關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫準(zhǔn)確,本題是一道中檔題.19、(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)見解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)求出含有參數(shù)的,再求出,由的兩根是,得,計(jì)算,代入后可得結(jié)論.【詳解】解:,函數(shù)的定義域?yàn)?,.?)當(dāng)時(shí),,由得,由得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)證明:由條件可得,,,方程的兩根分別為,,,且,可得..【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、方程根的知識(shí).在可導(dǎo)函數(shù)中一般由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間.20、(Ⅰ)曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)由題易知,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),;曲線的直角坐標(biāo)方程為,橢圓;(2)將直線代入橢圓得到,所以,解得.試題解析:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓.(Ⅱ)將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程為得,,得,,21、(1),;(2)【解析】試題分析:(1)由消去參數(shù),可得的普通方程,由可得的普通方程;(2)設(shè)為曲線上一點(diǎn),點(diǎn)到曲線的圓心的距離,結(jié)合可得最值,的最大值為,從而得解.試題解析:(1)的普通方程為.∵曲線的極坐標(biāo)方程為,∴曲線的普通方程為,即.(
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