2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用本章總結(jié)學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-第六章平面對量及其應(yīng)用本章總結(jié)eq\a\vs4\al(專題一向量的線性運(yùn)算)平面對量的線性運(yùn)算是近幾年高考的考查重點(diǎn)和熱點(diǎn)，通常以幾何圖形為依托考查向量的線性運(yùn)算，重在對向量的分解與合成，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)．[例1]如圖，已知eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，C為線段AO上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，D為線段CB上距C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則用a，b表示eq\o(OD,\s\up16(→))的表達(dá)式為()A.eq\f(1,9)(4a＋3b) B.eq\f(1,16)(9a＋7b)C.eq\f(1,3)(2a＋b) D.eq\f(1,4)(3a＋b)[解析]∵eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\f(4,9)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\f(1,9)(4a＋3b)，∴故選A.[答案]Aeq\a\vs4\al(專題二向量的數(shù)量積運(yùn)算)數(shù)量積的運(yùn)算是本章的核心，由于數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)涵蓋向量的長度、角度以及不等式等，因此它的應(yīng)用也最廣泛．利用數(shù)量積可以求長度、也可推斷直線與直線之間的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將代數(shù)中的有關(guān)函數(shù)、不等式以及數(shù)列等學(xué)問融合在一起，當(dāng)然更為重要的還在于向量與解析幾何中的交匯．[例2]平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(3)設(shè)d＝(x，y)滿意(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量d.[解](1)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－eq\f(16,13).(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋\f(\r(5),5)，,y＝1＋\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－\f(\r(5),5)，,y＝1－\f(2\r(5),5).))∴d＝(4＋eq\f(\r(5),5)，1＋eq\f(2\r(5),5))或d＝(4－eq\f(\r(5),5)，1－eq\f(2\r(5),5))．[例3]如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝________.[解析]∵eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))·(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＝eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AP,\s\up16(→))·(eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＋2eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))，又∵AP⊥BD，∴eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0.∵eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝|eq\o(AP,\s\up16(→))||eq\o(AB,\s\up16(→))|cos∠BAP＝|eq\o(AP,\s\up16(→))|2，∴eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝2|eq\o(AP,\s\up16(→))|2＝2×9＝18.[答案]18平面對量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度是向量的數(shù)量特征，利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長度等．[例4]已知△ABC中，∠ACB是直角，CA＝CB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE.[證明]建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0)，E(x，y)，則B(0，a)．∵D是BC的中點(diǎn)，∴D(0，eq\f(a,2))．又∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝2eq\o(EB,\s\up16(→))，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a＝－2x，,y＝2a－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,3)，,y＝\f(2,3)a.))∴eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(CE,\s\up16(→))＝(eq\f(a,3)，eq\f(2,3)a)．∵eq\o(AD,\s\up16(→))＝(0，eq\f(a,2))－(a,0)＝(－a，eq\f(a,2))，∴eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(CE,\s\up16(→))＝(－a)×eq\f(a,3)＋eq\f(a,2)×eq\f(2,3)a＝－eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,3)a2＝0.∴eq\o(AD,\s\up16(→))⊥eq\o(CE,\s\up16(→))，即AD⊥CE.eq\a\vs4\al(專題三向量與其他問題的綜合)[例5]設(shè)a，b，c是單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為()A．－2 B.eq\r(2)－2C．－1 D．1－eq\r(2)[解析]∵a，b，c是單位向量，a·b＝0，∴|a＋b|＝eq\r(2).(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2，設(shè)向量a＋b與c的夾角為θ，則(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b|·|c|·cosθ＝1－eq\r(2)cosθ≥1－eq\r(2)，故所求的最小值為1－eq\r(2).[答案]D[例6]已知點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)(其中0<α<π)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))|＝eq\r(7)，求eq\o(OB,\s\up16(→))與eq\o(OC,\s\up16(→))的夾角；(2)若eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，求tanα的值．[解](1)由已知eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝(2＋cosα，sinα)．∵|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))|＝eq\r(7)，∴(2＋cosα)2＋sin2α＝7，即4＋4cosα＋cos2α＋sin2α＝7，∴cosα＝eq\f(1,2)，又α∈(0，π)，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，從而eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).又eq\o(OB,\s\up16(→))＝(0,2)，∴cos∠BOC＝eq\f(\o(OB,\s\up16(→))·\o(OC,\s\up16(→)),|\o(OB,\s\up16(→))||\o(OC,\s\up16(→))|)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOC＝eq\f(π,6).故eq\o(OB,\s\up16(→))與eq\o(OC,\s\up16(→))的夾角為eq\f(π,6).(2)由已知得，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(cosα－2，sinα)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(cosα，sinα－2)，∵eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，∴eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，∴cosα(cosα－2)＋sinα(sinα－2)＝0.∴sinα＋cosα＝eq\f(1,2)，兩邊平方得，(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,4)，∴2sinαcosα＋eq\f(3,4)＝0，∴2sinαcosα＋eq\f(3,4)(sin2α＋cos2α)＝0，即3sin2α＋8sinαcosα＋3cos2α＝0，兩邊同除以cos2α，得3tan2α＋8tanα＋3＝0.∴tanα＝eq\f(－8±2\r(7),6)＝eq\f(－4±\r(7),3).∵2sinαcosα＝－eq\f(3,4)<0，α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0.又sinα＋cosα＝eq\f(1,2)>0，∴sinα>－cosα，∴eq\f(sinα,cosα)<－1，即tanα<－1，而tanα＝eq\f(－4＋\r(7),3)>－1，故舍去．故tanα＝－eq\f(4＋\r(7),3)為所求．eq\a\vs4\al(專題四正、余弦定理的基本應(yīng)用)應(yīng)用正、余弦定理解三角形問題往往和三角形面積公式、正、余弦定理的變形等結(jié)合．在解三角形時(shí)，留意挖掘題目中的隱含條件和正、余弦定理的變形應(yīng)用，留意公式的選擇和方程思想的應(yīng)用．[例7]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿意(2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面積S＝10eq\r(3)，c＝7.(1)求角C；(2)求a，b的值．[解](1)∵(2a－b)cosC＝ccosB∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA.∵A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2).∴C＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)absinC＝10eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，得ab＝40.①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2abeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos\f(π,3)))，∴72＝(a＋b)2－2×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))，∴a＋b＝13.②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.正、余弦定理常與三角恒等變換、三角形面積公式結(jié)合在一起綜合考查學(xué)生的實(shí)力，解題的關(guān)鍵是結(jié)合條件，利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，然后在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行三角恒等變換，解題時(shí)要留意公式的變形及嫻熟應(yīng)用eq\a\vs4\al(專題五推斷三角形的形態(tài))依據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)推斷三角形的形態(tài)時(shí)，須要敏捷地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系．推斷三角形的形態(tài)是高考中考查實(shí)力的常見題型，此類題目要求精確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．推斷三角形的形態(tài)，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角學(xué)問求解．在解三角形時(shí)常用的結(jié)論有：(1)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB；A＝B?a＝b?sinA＝sinB?cosA＝cosB.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，則cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(3)在△ABC中，a2＋b2<c2?cosC<0?eq\f(π,2)<C<π，a2＋b2＝c2?cosC＝0?C＝eq\f(π,2)，a2＋b2>c2?cosC>0?0<C<eq\f(π,2).[例8]在△ABC中，若c＝2acosB，則△ABC的形態(tài)肯定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角