2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第1課時(shí)平面與平面垂直的判定課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE7課時(shí)作業(yè)36平面與平面垂直的判定時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類(lèi)——一、選擇題1．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過(guò)l且和α垂直的平面(C)A．有1個(gè) B．有2個(gè)C．有多數(shù)個(gè) D．不存在解析：經(jīng)過(guò)l的平面都與α垂直，而經(jīng)過(guò)l的平面有多數(shù)個(gè)，故選C.2．已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為(B)A．30° B．60°C．90° D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角(或其補(bǔ)角)．3．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是(C)A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PBC解析：由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四邊形ABCD為矩形得CD⊥AD，從而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故選C.4．(多選)如圖所示，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，以下四個(gè)命題正確的是(BD)A．PA∥平面MOBB．MO∥平面PACC．OC⊥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC解析：因?yàn)镻A?平面MOB，故A錯(cuò)誤；因?yàn)镺M是△PAB的中位線，所以O(shè)M∥PA，又OM?平面PAC，PA?平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC，故B正確；因?yàn)锳B是直徑，所以BC⊥AC，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C錯(cuò)誤；又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正確．5.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為(C)A．60° B．30°C．45° D．15°解析：由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.6.如圖所示，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因?yàn)锳C?平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故選C.二、填空題7．如圖，在三棱錐S-ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，則二面角S-AC-B的大小為90°.解析：因?yàn)锳C⊥平面SBC，SC，BC?平面SBC，∴AC⊥SC，AC⊥BC，則∠SCB即為二面角S-AC-B的平面角．又SC＝a，BC＝eq\r(3)a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB為直角三角形，∴∠SCB＝90°.∴二面角S-AC-B的大小為90°.8．如圖，在四面體PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點(diǎn)，請(qǐng)從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面②⑤(或①⑤或①②)．(只填序號(hào)，只填一組即可)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.解析：因?yàn)樗拿骟wPABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點(diǎn)，所以CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，所以AB⊥平面POC，因?yàn)锳B?平面ABC，AB?平面PAB，所以平面POC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面POC，因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，PA＝PB＝PC，所以PC2＝PA2＝PO2＋OA2＝PO2＋OC2，所以PO⊥OC，又PO⊥AB，OC∩AB＝O，所以PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，所以兩個(gè)相互垂直的平面為②⑤或①⑤或①②.9．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍．沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時(shí)二面角B-AD-C的平面角為∠BDC，其大小為60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小為60°.三、解答題10.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：平面PBD⊥平面PAC.證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.11.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求證：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA與平面ABCD成60°的二面角，求該四棱錐的體積．解：(1)證明：∵PB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PB⊥AD.∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的證明知，∠PAB為平面PDA與平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝eq\r(3)a.∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3)a3,3).——實(shí)力提升類(lèi)——12．若P是等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DF∥BC，又∵DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正確．∵PA＝PB＝PC，△ABC為等邊三角形，E是BC中點(diǎn)，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正確．∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正確．設(shè)AE∩DF＝O，連接PO.∵O不是等邊三角形ABC的重心，∴PO與平面ABC不垂直，∴平面PDF與平面ABC不垂直，故D錯(cuò)誤．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α-l-β的平面角的大小為(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：如圖，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC.設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB為二面角α-l-β的平面角(或其補(bǔ)角)，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小為60°或120°.14.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M滿意DM⊥PC(或BM⊥PC等)時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)解析：如圖，連接AC，則BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P-AC-D的正切值．解：(1)證明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)證明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又