2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理課時作業(yè)21.2排列含解析北師大版選修2-3

課時作業(yè)2排列時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．下列問題：①某工廠從甲、乙、丙三名工人中選出兩名參與一項技能培訓(xùn)，其中一名工人參與上午的技能培訓(xùn)，另一名工人參與下午的技能培訓(xùn)；②某工廠從甲、乙、丙三名工人中選出兩名參與一項技能培訓(xùn)；③從a，b，c，d4個字母中取出2個字母；④從a，b，c，d4個字母中取出2個字母，然后按依次排成一列．其中是排列問題的有(B)A．1個B．2個C．3個D．4個解析：①④是排列，②③不是排列．2．給出下列四個關(guān)系式：①n?。絜q\f(n＋1！,n＋1)；②Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；③Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)；④Aeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,m－n！).其中正確的個數(shù)為(C)A．1B．2C．3D．4解析：由排列數(shù)公式逐一驗證，①②③成立，④不成立．3．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同分法的種數(shù)是(D)A．1260B．120C．240D．720解析：相當(dāng)于3個元素排10個位置，則有Aeq\o\al(3,10)＝720種不同的分法．4．某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必需排在最終一位，該臺晚會節(jié)目演出依次的編排方案共有(B)A．36種B．42種C．48種D．54種解析：分兩類解決：第一類：甲排在第一位，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)排法．其次類：甲排在其次位，共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(種)排法．所以節(jié)目演出依次的編排方案共有24＋18＝42(種)．5．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(A)A．12種B．18種C．24種D．36種解析：本題考查了分步計數(shù)原理的應(yīng)用．利用分步計數(shù)原理，先填寫最左上角的數(shù)，有Ceq\o\al(1,3)＝3種；再填寫右上角的數(shù)為2種；再填寫其次行第一列的數(shù)有2種，一共有3×2×2＝12(種)．故選A.解題的關(guān)鍵是正確地利用分步計數(shù)原理合理地分步計算．6．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中參與某項志愿者活動，要求每人參與一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外兩位前面．不同的支配方法共有(A)A．20種B．30種C．40種D．60種解析：甲是特別元素，優(yōu)先支配：若甲支配在星期一，則乙、丙有Aeq\o\al(2,4)種支配方法；若甲支配在星期二，則乙、丙有Aeq\o\al(2,3)種支配方法；若甲支配在星期三，則乙、丙有Aeq\o\al(2,2)種支配方法．因此共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝12＋6＋2＝20(種)不同的支配方法．7．某電視臺的一個綜藝欄目對6個不同的節(jié)目排演出依次，最前只能排甲或乙，最終不能排甲，則不同的排法共有(B)A．192種B．216種C．240種D．288種解析：完成這件事，可分兩類：第一類，最前排甲，其余位置有Aeq\o\al(5,5)＝120種不同的排法；其次類，最前排乙，排最終有4種排法，其余位置有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的排法．所以共有Aeq\o\al(5,5)＋4Aeq\o\al(4,4)＝216種不同的排法．8．形如“45132”這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字、千位數(shù)字比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1,2,3,4,5可以構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的5位“波浪數(shù)”的個數(shù)為(C)A．20B．18C．16D．11解析：當(dāng)十位與千位是4或5時，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個．當(dāng)千位是5，十位是3時，萬位只能是4，此時有2個(即45132和45231)．同理，當(dāng)千位是3，十位是5時，個位只能是4，此時也有2個．因此共有12＋2＋2＝16個．二、填空題9．(1)若Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)，則n＝7；(2)若eq\f(A\o\al(5,n)＋A\o\al(4,n),A\o\al(3,n))＝4，則n＝5.解析：(1)將Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)按排列數(shù)公式綻開得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)(n≥6，n為正整數(shù))，解得n＝7.(2)將eq\f(A\o\al(5,n)＋A\o\al(4,n),A\o\al(3,n))＝4改寫為階乘形式為eq\f(\f(n！,n－5！)＋\f(n！,n－4！),\f(n！,n－3！))＝eq\f(n－3！,n－5！)＋eq\f(n－3！,n－4！)＝(n－3)(n－4)＋(n－3)＝4(n≥5，n為正整數(shù))，解得n＝5.10．有A，B，C，D，E五位學(xué)生參與網(wǎng)頁設(shè)計競賽，決出了第一到第五的名次，A，B兩位學(xué)生去問成果，老師對A說：“你的名次不知道，但確定沒得第一名”；又對B說：“你是第三名”．請你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列共有18種不同的可能．解析：先支配B有1種方法，再支配A有3種方法，最終支配C，D，E共Aeq\o\al(3,3)種方法．由分步乘法計數(shù)原理知共有3Aeq\o\al(3,3)＝18種方法．11．從0,1,2,3這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中的參數(shù)a，b，c，可組成不同的一次函數(shù)共有6個，不同的二次函數(shù)共有18個(用數(shù)字作答)．解析：若要得到一次函數(shù)，只需a＝0，對于b，c從余下的3個數(shù)中選2個排列，故一次函數(shù)有Aeq\o\al(2,3)＝6個；若要得到二次函數(shù)，則a≠0，a有Aeq\o\al(1,3)種選擇，故二次函數(shù)有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝3×3×2＝18(個)．三、解答題12．由A，B，C等7人擔(dān)當(dāng)班級的7個班委．(1)若正、副班長兩職只能由這三人中選兩人擔(dān)當(dāng)，有多少種分工方案？(2)若正、副班長兩職至少要選三人中的1人擔(dān)當(dāng)，有多少種分工方案？解：(1)先支配正、副班長有Aeq\o\al(2,3)種方法，再支配其余職務(wù)有Aeq\o\al(5,5)種方法，依分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種分工方案．(2)7人的隨意分工方案有Aeq\o\al(7,7)種，A，B，C三人中無一人任正、副班長的分工方案有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)種，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班長的方案有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝3600種．13．某校為慶祝2024年國慶節(jié)，支配了一場文藝演出，其中有3個舞蹈節(jié)目和4個小品節(jié)目，按下面要求支配節(jié)目單，有多少種方法？(1)3個舞蹈節(jié)目互不相鄰；(2)3個舞蹈節(jié)目和4個小品節(jié)目彼此相間．解：(1)先支配4個小品節(jié)目，有Aeq\o\al(4,4)種排法.4個小品節(jié)目之間和兩頭共5個空，將3個舞蹈節(jié)目插入這5個空中，有Aeq\o\al(3,5)種排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)排法．(2)由于舞蹈節(jié)目與小品節(jié)目彼此相間，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈只能排在2,4,6位，支配時可分步進(jìn)行．方法1：先支配4個小品節(jié)目在1,3,5,7位，有Aeq\o\al(4,4)種排法；再支配舞蹈節(jié)目在2,4,6位，有Aeq\o\al(3,3)種排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144(種)排法．方法2：先支配3個舞蹈節(jié)目在2,4,6位，有Aeq\o\al(3,3)種排法；再支配4個小品節(jié)目在1,3,5,7位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．所以共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)排法．——實力提升類——14．在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有58個．解析：首位為3時，有Aeq\o\al(4,4)＝24；首位為2時，千位為3，則有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋1＝5，千位為4或5時，Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12；首位為4時，千位為1或2，則Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12，千位為3，則有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋1＝5，∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58個．15．7名同學(xué)排隊照相．(1)若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必需相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不同的排法？解：(1)Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝Aeq\o\al(7,7)＝5040(種)．(2)第一步支配甲，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步支配乙，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個位置上，有Aeq\o\al(5,5)種排法．由分步乘法計算原理得，符合要求的排法共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝1440(種)．(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，與其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有Ae