2025屆甘肅省蘭州市二十七中高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆甘肅省蘭州市二十七中高三第四次模擬考試數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調遞增，設函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)3．已知函數(shù)，若有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．6．若，則函數(shù)在區(qū)間內單調遞增的概率是（）A．B．C．D．7．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像關于坐標原點對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．10．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．11．點為的三條中線的交點，且，，則的值為()A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知均為非負實數(shù)，且，則的取值范圍為______．14．已知數(shù)列與均為等差數(shù)列（），且，則______．15．函數(shù)的定義域是．16．設數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有，則___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉周期的平均值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的長軸長為，離心率（1）求橢圓的方程；（2）設分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點，是橢圓上在第一象限的一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，問與面積之差是否為定值？說明理由.20．（12分）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．22．（10分）已知函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的極大值點和極小值點分別為和，且，求實數(shù)a的取值范圍.（e是自然對數(shù)的底數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對稱軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎題.2、A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點：1.函數(shù)的性質；2.分類討論的數(shù)學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質，避免了由于單調性不同導致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調性等問題，通常先在原點一側的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(對周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個定義域上.3、C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導數(shù)求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.4、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．5、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想以及運算求解能力，屬于基礎題．6、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，，在恒成立，在恒成立，，函數(shù)在區(qū)間內單調遞增的概率是，故選B.7、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當時，，由圖象可知選B.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質，正確表示函數(shù)的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.8、B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為，要想在括號內構造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個單位長度，即為答案.【詳解】由題可知，對其向左平移個單位長度后，，其圖像關于坐標原點對稱故的最小值為故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運用，屬于簡單題.9、C【解析】

將函數(shù)解析式化簡，并求得，根據(jù)當時可得的值域；由函數(shù)在上單調遞減可得的值域，結合存在性成立問題滿足的集合關系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當時，，故函數(shù)在上單調遞增，當時，；而函數(shù)在上單調遞減，故，則只需，故，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題考查了導數(shù)在判斷函數(shù)單調性中的應用，恒成立與存在性成立問題的綜合應用，屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.11、B【解析】

可畫出圖形，根據(jù)條件可得，從而可解出，然后根據(jù)，進行數(shù)量積的運算即可求出．【詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，，.故選：B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點的坐標，再求出向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出結果．【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【點睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得結果，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設,可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結合的取值范圍求關于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則,因為,當且僅當時等號成立,所以,,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當時函數(shù)有最大值為,即．當且，即，或，時取等號；因為,當且僅當時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,所以當時,函數(shù)有最小值為,即，當,且時取等號，所以.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結合求代數(shù)式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于綜合型、難度大型試題.14、20【解析】

設等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項的性質可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因為,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為，所以.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項公式和等差中項;考查運算求解能力;等差中項的運用是求解本題的關鍵;屬于基礎題.15、【解析】解：因為，故定義域為16、【解析】

利用行列式定義，得到與的關系，賦值，即可求出結果?！驹斀狻坑桑?，得，解得?！军c睛】本題主要考查行列式定義的應用。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當時，化為，當時，不等式化為，無解；當時，不等式化為，解得；當時，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，的面積為．由題設得，故．所以a的取值范圍為19、（1）（2）是定值，詳見解析【解析】

（1）根據(jù)長軸長為，離心率，則有求解.（2）設，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，再根據(jù)求解.【詳解】（1）依題意得，解得，則橢圓的方程.（2）設，則，直線，令得，，則，直線，令，得，則，.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系，還考查了平面幾何知識和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進而證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，∴為的中位線，∴，又為的中點，∴為梯形的中位線，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.另解：（法二）∵在長方體中，，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，，，，，，.（1）設平面的一個法向量為，則，令，則，.∴，又，∵，，又平面，平面.（2）設平面的一個法向量為，則，令，則，.∴.同理可算得平面的一個法向量為∴，又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角，故二面角的余弦值為.【