2025屆福建省福安市一中高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2025屆福建省福安市一中高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數(shù)的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度，若所得到的兩個圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．2．一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．若函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為（）A． B． C． D．6．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．7．若，則()A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C． D．9．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且10．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點，若，則雙曲線漸近線的斜率為（）A． B． C． D．11．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．612．集合，，則=()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面，所在平面內(nèi)的動點，且滿足，則三棱錐的體積的最大值是__________.14．秦九韶算法是南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例，若輸入，的值分別為4，5，則輸出的值為______.15．在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_____________.16．若一組樣本數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù),．（1）當x≥0時，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當x＜0時，研究函數(shù)F（x）=h（x）﹣g（x）的零點個數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）．18．（12分）已知橢圓的短軸長為，左右焦點分別為，，點是橢圓上位于第一象限的任一點，且當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上點與點關(guān)于原點對稱，過點作垂直于軸，垂足為，連接并延長交于另一點，交軸于點.（ⅰ）求面積最大值；（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線經(jīng)過點．曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.21．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知直線l的極坐標方程為，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當時，最小值為，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系，屬于簡單題目.2、C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉個球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.3、A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法：4、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由題意得出，進而可求得實數(shù)的值，并對的值進行檢驗，即可得出結(jié)果.【詳解】，則，，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.若函數(shù)的零點不為，則該函數(shù)的零點必成對出現(xiàn)，不合題意.所以，，即，解得或.①當時，令，得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，不合乎題意；②當時，，，當且僅當時，等號成立，則函數(shù)有且只有一個零點.綜上所述，.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出，在求出參數(shù)后要對參數(shù)的值進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)i（2+i）＝2i﹣1對應(yīng)的點的坐標為（﹣1，2），故選：C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．7、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．8、B【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2，側(cè)棱長為2且與底面垂直，因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，則，那么.故選：B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.10、C【解析】

如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，，，，根據(jù)勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：切點為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.11、C【解析】

根據(jù)列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點睛】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較小．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)與相似，，過作于，利用體積公式求解OP最值，根據(jù)勾股定理得出，，利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面所在平面內(nèi)的動點，且滿足，又，∴與相似∴，即，過作于，設(shè)，，∴，化簡得：，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷，時，取得最大值36，，在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點睛】本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度一般.14、1055【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖中的程序，即可求得結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下：，滿足，，滿足，，滿足，，滿足，，不滿足，輸出.故答案為：1055.【點睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設(shè)直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結(jié)合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.16、1【解析】

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得，解得的值，進而由方差公式計算，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點睛】本題考平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出的值，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得導(dǎo)數(shù)，討論a＞1和a≤1，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F'（x）的單調(diào)性，討論a≤﹣1，a＞﹣1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點個數(shù)；（3）由（1）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，令；由（2）知，當a=﹣1時，對x＜0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證．【詳解】（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），則，①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，所以a≤1；②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，且x→+∞時，H'（x）→+∞，則?x0∈（0，+∞），使H'（x0）=0進而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，所以當x∈（0，x0）時H（x）＜H（0）=0，即當x∈（0，x0）時，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]．（Ⅱ）解：依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，則F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時，F(xiàn)'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）遞減，所以F（x）＞F（0）=0，F(xiàn)（x）在（﹣∞，0）無零點；②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，進而F（x）在遞減，在遞增，，且x→﹣∞時，，F(xiàn)（x）在上有一個零點，在無零點，故F（x）在（﹣∞，0）有一個零點．綜合①②，當a≤﹣1時無零點；當a＞﹣1時有一個零點．（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，ex＞1+ln（x+1）對x＞0恒成立，令，則即；由（Ⅱ）知，當a=﹣1時，對x＜0恒成立，令，則，所以；故有．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點存在定理的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題．對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，如果是一個常函數(shù)一個含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡單一些．18、（1）；（2）（?。唬áⅲ┳C明見解析.【解析】

（1）由，解方程組即可得到答案；（2）（?。┰O(shè)，，則，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）設(shè)直線斜率為，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得到的坐標，再利用兩點的斜率公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)，由，得.將代入，得，即，由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)，，則，（?。┮字獮榈闹形痪€，所以，所以，又滿足，所以，得，故，當且僅當，即，時取等號，所以面積最大值為.（ⅱ）記直線斜率為，則直線斜率為，所以直線方程為.由，得，由韋達定理得，所以，代入直線方程，得，于是，直線斜率，所以直線與斜率之積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的最值及定值問題，在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時，一般會用到根與系數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道有一定難度的題.19、（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點分段討論法求解；（2）對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當時，不等式可化為.討論：①當時，，所以，所以；②當時，，所以，所以；③當時，，所以，所以.綜上，當時，不等式的解集為.（2）因為，所以.又因為，對任意成立，所以，所以或.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標方程；(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得點的直角坐標為，將點代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標方程為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得