數(shù)列的概念（第2課時）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

數(shù)學(xué)必修第一冊舒城一中*4.1數(shù)列的概念2024/12/28第四章數(shù)列（第2課時）溫故知新1.數(shù)列的概念是什么？一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng)。

2.什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？

通項(xiàng)公式數(shù)列的概念表示方法分類列表圖象有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列函數(shù)數(shù)列溫故知新例題導(dǎo)入

思路：利用相對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性來判斷。解法一：（作差法）

解法二：（作商法）

例題導(dǎo)入

解法三：（函數(shù)性質(zhì)法）

例題小結(jié)

2.用作差法判斷數(shù)列增減性的步驟為：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論。

例題導(dǎo)入解法一：（單調(diào)性法）

∴分類如下：

例題導(dǎo)入

例題小結(jié)求數(shù)列最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的方法方法一：利用判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，先判斷數(shù)列的單調(diào)性，再求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)；方法二：解不等式組：

例題導(dǎo)入

所以，120是這個數(shù)列的項(xiàng)，是第10項(xiàng)．追問：

已知數(shù)列通項(xiàng)，我們可以解決哪些問題呢？①可以知道數(shù)列中的某一項(xiàng)的值；②可以判斷這個數(shù)值是不是該數(shù)列的項(xiàng)。思考：數(shù)列作為特殊的函數(shù)，還有沒有其它特別的表達(dá)方式？欣賞謝爾賓斯三角形的美妙探究新知例4：

圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形。在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式。探究新知著色三角形數(shù)127×3×3×3

猜想39追問：你能用數(shù)學(xué)語言歸納出后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系嗎？探究新知13927×3×3×3

每一個著色三角形都會在下一個圖形中都可以分裂成三個著色三角形和一個白色的三角形。即從第二項(xiàng)起，前一項(xiàng)是后一項(xiàng)的3倍探究新知13927×3×3×3a1=1a2=3a1a3=3a2a4=3a3（n≥2）因此，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：n≥2.n=1,

當(dāng)不能明顯看出數(shù)列的項(xiàng)的取值規(guī)律時,可以嘗試通過運(yùn)算來尋找規(guī)律,如依次取出數(shù)列的某一項(xiàng),減去或除以它的前一項(xiàng),再對差或商加以觀察。問題1：

什么是一個數(shù)列的遞推公式呢？

探究新知1，3，9，27，…項(xiàng)與序號之間的關(guān)系

相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系an=3an-1(n≥2)通項(xiàng)公式遞推公式

同樣的數(shù)列，從兩個不同角度觀察就得到兩個不同的規(guī)律。由第二個式子可通過第一項(xiàng)推出第二項(xiàng)，再由第二項(xiàng)推出第三項(xiàng)，……依次類推。把這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式。概念生成

如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式。這樣，知道了一個數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了。注意：(1)不是所有的數(shù)列都有遞推公式；

1，3，9，27，…追問1：相鄰多項(xiàng)之間的關(guān)系能用遞推公式表示嗎？探究新知1，1，2，3，5，8，13，21，34，…斐波那契數(shù)列

反映相鄰3項(xiàng)的關(guān)系

追問2：一個數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式有何聯(lián)系與區(qū)別？

遞推公式通項(xiàng)公式（n≥2）==3·

探究新知首項(xiàng)為1

類別遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系。表示與序號之間的關(guān)系。

聯(lián)系（1）都是表示數(shù)列的一種方法，且兩者相統(tǒng)一。（2）由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式。探究新知數(shù)學(xué)史1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波(LeonardoFibonacci，約1170-約1250)出版了他的《算盤書》(LiberAbaci)。他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題:如果1對兔子每月能生1對小兔子(一雄一雌)，而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，一年后會有多少對兔子?斐波那契數(shù)列

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233….你發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的規(guī)律了嗎?把這些兔子的數(shù)量以對為單位列出數(shù)字就能得到一組數(shù)字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，過了一年之后，總共會有233對兔子。

數(shù)學(xué)史典例分析

典例分析

鞏固練習(xí)

鞏固練習(xí)3、寫出各組圖的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，在括號中填第5項(xiàng)的點(diǎn)數(shù).211335鞏固練習(xí)

解：（1）由遞推式可得，a2－a1=1，a3－a2=1，…an－an－1=1

∴數(shù)列的通項(xiàng)為an=n.

總結(jié)：一般遞推關(guān)系為an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)時，可用累加法求通項(xiàng)公式.

探究新知被減數(shù)有多少個，就有多少個由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式累加法

解：由遞推式可得

又∵a1=1總結(jié)：一般遞推關(guān)系為an+1=f(n)·an,即時，可用累乘法求通項(xiàng)公式.典例分析累乘法

典例分析解法一(歸納法)：

解法二(迭代法)：由題意可知：典例分析

解法三(累加法)：

由題意可知

典例分析(2)累加法或累乘法：遞推公式對應(yīng)的有以下幾類：①an＋1－an＝常數(shù)，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法；②an＋1＝pan(p為非零常數(shù))，或an＋1＝f(n)an(f(n)可以求積的)，使用累乘法；③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數(shù))，適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.方法提煉由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法(1)歸納法：根據(jù)數(shù)列的某項(xiàng)和遞推公式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出通項(xiàng)公式.探究新知

=（n≥2）當(dāng)n≥2時當(dāng)n

=

1時這就是數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式聯(lián)系探究新知

探究新知

典例分析

典例分析解:∵

Sn=-2n2+10n,∴

Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴

an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).

解:a1=S1=1+2=3,①

鞏固練習(xí)

解：（1）當(dāng)n≥2時，

當(dāng)n=

1時，

不符合上式鞏固練習(xí)解：（2）當(dāng)n≥2時，

總結(jié)：已知Sn求出an依據(jù)的是Sn的定義：Sn=a1+a2+…+