2024-2025學(xué)年天津市北辰區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市北辰區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共9小題）1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．在四棱錐中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．4．過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（）．A． B． C． D．5．若圓與圓外切，則（）A．32 B．26 C．18 D．6．已知是空間的一組基底，其中，，．若，，，四點(diǎn)共面，則（）A． B． C． D．7．若直線與平行，則與間的距離為（）A． B． C． D．8．設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．9．若圓上僅有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知向量，，，則．11．已知橢圓的焦距是4，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．12．圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為.13．直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則直線的方程為．14．如圖，隧道的截面是半徑為的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，假設(shè)貨車的最大寬度為，那么要正常駛?cè)朐撍淼?，貨車的限高?15．已知圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為．三、解答題（本大題共5小題）16．已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心為．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的值；(3)過點(diǎn)引圓的切線，求切線的方程．17．如圖，平面，，，，，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，若為正三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓相交兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，求直線的方程.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．20．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與坐標(biāo)軸不垂直，與曲線交于不同的，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù)．①證明：動(dòng)直線恒過軸上的某個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求面積的最大值．

答案1．【正確答案】B【詳解】點(diǎn)，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)不動(dòng)，豎坐標(biāo)變成相反數(shù)，所以坐標(biāo)是.故選：B2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，由，，得到，所以直線的傾斜角為，故選：C.3．【正確答案】C【詳解】.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：D5．【正確答案】A【詳解】由得圓心，，由得，圓心，，因?yàn)閮蓤A向外切，所以，即，可得，解得，故選：A6．【正確答案】C【詳解】由題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，則，則x=2，，，解得.故選：C7．【正確答案】C【詳解】由題意，直線與平行，故當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線重合，舍去.故此時(shí)與間的距離故選：C8．【正確答案】D【詳解】，，數(shù)形結(jié)合知，直線的斜率需滿足，即.故選：D9．【正確答案】B【詳解】作與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為，較近的一條到原點(diǎn)的距離為，又圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，兩條平行線中與圓心較近的與圓有2個(gè)公共點(diǎn)，與圓心較遠(yuǎn)的直線與圓無(wú)交點(diǎn)即可，如圖，

由此可得圓的半徑，故選：B10．【正確答案】6【詳解】由，可知，解得，所以，故611．【正確答案】【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得（舍去），綜上所述，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故答案為.12．【正確答案】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長(zhǎng).【詳解】將圓與圓相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓圓心到直線的距離，圓的半徑為，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為.13．【正確答案】或【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，故直線的方程為或.故或14．【正確答案】【詳解】如圖，矩形是貨車截面圖，，則.15．【正確答案】或【詳解】解：由圓，得，當(dāng)時(shí)，圓C的半徑最小為，即面積最小，所以當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，圓的方程為，圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓C相切，所以圓心到直線的距離，解得或.故或.16．【正確答案】(1)(2)(3)和【詳解】（1）由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，所以.（3）當(dāng)斜率不存在時(shí)，為過點(diǎn)的圓C的切線.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，=2，解得，所以.綜上所述：切線的方程為和．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）點(diǎn)到平面的距離.18．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題干條件求出即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，直接利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，列方程組求解.【詳解】（1）依題意，，則，由為正三角形，則，故，于是，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）知，，故該直線為：，和橢圓聯(lián)立：，整理可得，故，由弦長(zhǎng)公式，（3）顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對(duì)稱性，），設(shè)直線為：，和橢圓方程聯(lián)立得，，，則，故，由韋達(dá)定理可得：，，于是，，故，即，化簡(jiǎn)可得，解得，故直線為：19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖所示：

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）平面PAC平面，平面平面AC，平面，平面.

平面，，又，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，所以，所以，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)，且，所以，所以，解得，所以.20．【正確