2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省內(nèi)江市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．已知，，是三個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．圓臺(tái)上、下底面半徑分別是1，2，高為，這個(gè)圓臺(tái)的體積是（

）A． B．C． D．4．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．6．橢圓上一點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，那么該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知直線：和圓：，且圓上至少存在兩點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長(zhǎng)為D．若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則10．設(shè)橢圓C：的焦點(diǎn)為、，M在橢圓上，則（

）A． B．的最大值為7，最小值為1C．的最大值為16 D．△面積的最大值為1011．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足//平面，則（

）A．三棱錐的外接球表面積為B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C．三棱錐的體積是隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的D．若過A，，三點(diǎn)作正方體的截面，為截面上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球表面積等于.13．已知為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為14．點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離最大值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線過點(diǎn)，且被曲線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.16．如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，，且側(cè)面底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面EAC；(2)求三棱錐的體積．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若點(diǎn)的軌跡與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若直線的斜率為，求線段的長(zhǎng).18．圖1是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD，將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐，且．(1)證明：平面平面ABC；(2)點(diǎn)M是棱PA上不同于P，A的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，若平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值為，求的值.19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且垂直于軸的弦長(zhǎng)為，且．（從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，將其序號(hào)寫在答題卡的橫線上并作答．）①橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；②橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)；③，與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線經(jīng)過，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．

答案1．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，則，即；當(dāng)時(shí)，，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C2．【正確答案】C【分析】利用空間中點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)做出判斷，從而選出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，則與平行或相交，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，，則與可平行、異面、或相交，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，，則，垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，則與平行或相交，故選項(xiàng)D不正確.故選：C3．【正確答案】D【分析】直接代入圓臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意.故選D.4．【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.5．【正確答案】B【詳解】圓心為，半徑為，設(shè)切點(diǎn)為，要使得切線長(zhǎng)最小，則最小，此時(shí)，所以，所以，故選：B6．【正確答案】B【詳解】由題意，可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以橢圓的離心率為.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】圓的方程為：，則圓心為，要使圓上至少存在兩點(diǎn)到直線的距離為1，則當(dāng)圓心到直線的距離必須小于3，即，解得.故選：A8．【正確答案】D【詳解】關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)槭且詾閳A心，1為半徑的上半圓（除去點(diǎn)），又因?yàn)槭沁^定點(diǎn)的直線，由圖可知，當(dāng)直線在和之間時(shí)符合要求，當(dāng)直線為時(shí)，，當(dāng)直線為時(shí)，由點(diǎn)到直線的距離等于半徑可得（正值舍去），所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．9．【正確答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個(gè)數(shù)；如果兩圓相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長(zhǎng)；兩圓上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故D正確.故選：BD10．【正確答案】ABC【分析】由橢圓方程可得，根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.【詳解】由橢圓方程知：，∴，故A正確.，，故B正確.，此時(shí)在橢圓左右頂點(diǎn)上，同時(shí)△面積也最大，為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC11．【正確答案】ABD【分析】選項(xiàng)A：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，結(jié)合正方體的外接球分析；選項(xiàng)B：分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，，，；證明平面平面，從而得到點(diǎn)F的軌跡為線段GH.選項(xiàng)C：根據(jù)選項(xiàng)B可得出平面，從而得到點(diǎn)F到平面的距離為定值，再結(jié)合的面積也為定值，從而可得到三棱錐的體積為定值.選項(xiàng)D：設(shè)為的中點(diǎn)，從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面即為面，從而線段長(zhǎng)度的最大值為線段的長(zhǎng)，最小值為四棱錐以為頂點(diǎn)的高.【詳解】對(duì)于A：由題意可知：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，可知正方體的外接球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積為，故A正確；對(duì)于B：如圖分別取，的中點(diǎn)H，G，連接，，，．由正方體的性質(zhì)可得，且平面，平面，所以//平面，同理可得：//平面，且，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，所以點(diǎn)F的軌跡為線段GH，故B正確；對(duì)于C：由選項(xiàng)B可知，點(diǎn)F的軌跡為線段GH，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)F到平面的距離為定值，同時(shí)的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖，設(shè)平面與平面交于AN，N在上．因?yàn)榻孛嫫矫?，平面平面，所以．同理可證，所以截面為平行四邊形，所以點(diǎn)N為的中點(diǎn)．在四棱錐中，側(cè)棱最長(zhǎng)，且．設(shè)棱錐的高為h，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以的邊上的高為面?duì)角線的一半，即為，又，則，，所以，解得．綜上，可知長(zhǎng)度的取值范圍是，故D正確．故選ABD．12．【正確答案】【分析】先用補(bǔ)形法求出外接球的半徑R，再利用表面積公式即可得答案.【詳解】如圖：

將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球和長(zhǎng)方體的外接球是一致的.設(shè)長(zhǎng)方體外接球半徑為，則：，所以，所以外接球的表面積為，故答案為.13．【正確答案】【詳解】依題意可得，則表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，顯然當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切（除外）時(shí)，斜率取得最小值，設(shè)此時(shí)切線斜率為，則切線方程為，即.由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得，即的最小值為.故14．【正確答案】【分析】設(shè)，為OP與x軸正半軸的夾角，由點(diǎn)線距離公式及輔助角公式即可求化簡(jiǎn)大值.【詳解】設(shè)，為OP與x軸正半軸的夾角，則點(diǎn)P到直線的距離為，其中，故.故15．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）直接利用條件求出點(diǎn)的軌跡方程，所求方程表示一個(gè)圓；（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比是，，即，則，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長(zhǎng)為，圓心到直線的距離，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，解得或，此時(shí)直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）連接交于，連接，∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴∥平面；（2）過P作PF⊥AD于F，∵側(cè)面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，∴PF⊥平面ABCD，故.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)得（2）設(shè)Ax1,所以有得由題可知兩式求差化簡(jiǎn)得即因?yàn)樗运灾本€的方程為聯(lián)立解得或所以18．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，利用勾股定理證明，再結(jié)合，即可由線線垂直證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所證，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，以及兩個(gè)平面的法向量，利用夾角公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）由于正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，所以，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO，由題意，得，再由，可得，即，由題易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC.（2）由（1）可知，，又，故以O(shè)C，OB，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，由題意知，所以，所以，設(shè)平面MBC的法向量為，則，令，得；設(shè)平面的法向量為，，令，得；則，設(shè)，，則上式可化為，即，所以（舍去），所以，解得.19．【正確答案】