2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．向量，，若，則（

）A． B． C． D．2．已知，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16]4．已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．96．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線夾角為，則（

）A． B． C． D．7．在等比數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．8．直線與直線相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（

）A． B．C． D．10．直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.B．直線與平面所成的角為定值．C．點(diǎn)到平面的距離的最小值為.D．的最小值為-2．11．已知，，點(diǎn)P滿足，則（

）A．點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上 B．面積的最大值為C．存在點(diǎn)P使得 D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線：,:且則的值13．設(shè)，，若，則．14．已知為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若的面積為2，則直線的方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）求邊上的中線所在的直線的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且與直線平行，求直線的方程．16．已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．17．已知四棱錐是上一點(diǎn)，.(1)若是中點(diǎn)，證明：平面.(2)若平面,求面與面夾角的余弦值.18．已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)分別為．(1)求該圓的一般方程；(2)求弦BC垂直平分線的方程；(3)求的面積．19．過點(diǎn)作斜率分別為，的直線，，若，則稱直線，是定積直線或定積直線．(1)已知直線：，直線：，試問是否存在點(diǎn)，使得直線，是定積直線？請(qǐng)說明理由．(2)在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在第一象限，且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)已知直線與是定積直線，設(shè)點(diǎn)到直線，的距離分別為，，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以可設(shè)，又，，所以，，，所以，，.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，即與的夾角為.故選：B3．【正確答案】C【詳解】將化為，即圓心為，半徑為3，由表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓心到原點(diǎn)的距離為1，又在圓內(nèi)，所以圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離范圍為，故的取值范圍是.故選：C4．【正確答案】C【詳解】由可得，解得或.當(dāng)時(shí)，：，：，顯然，重合，舍去，故時(shí)，.因此“”是“”的充要條件.故選：C5．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C.6．【正確答案】A【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為(2,1),半徑為1,過點(diǎn)(0,0)與圓相切的兩條直線夾角為，設(shè)切線為，點(diǎn)線距離為，則，解得或，故切線為或，故根據(jù)兩直線的夾角公式得，且易知一定為第一象限角，解得.故選:A7．【正確答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，若，則等比數(shù)列an為擺動(dòng)數(shù)列，這與矛盾，故，根據(jù)題意得，則，解得或（舍）.則.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】直線的方程可化為，由可得，對(duì)于直線，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，則，即，則，，所以，，所以，，當(dāng)，，點(diǎn)不在直線上，所以，點(diǎn)的軌跡是曲線，設(shè)可得，由題意可知，直線與曲線有公共點(diǎn)，且圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，所以，，解得，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，.因此，的取值范圍是.故選：B.9．【正確答案】AC【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.由已知得，所以或，所以直線的方程為或.故選：AC.10．【正確答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示，化簡(jiǎn)后得點(diǎn)的軌跡方程，得軌跡長(zhǎng)度判斷A；向量法求線面角判斷B，向量法求點(diǎn)到平面距離，結(jié)合點(diǎn)的軌跡得最小值判斷C；坐標(biāo)表示向量數(shù)量積，結(jié)合點(diǎn)的軌跡最小值判斷D.【詳解】直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，由，有，即，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離，，所以時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，由，點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值為，的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC.【方法總結(jié)】空間幾何體中的相關(guān)問題，要利用好幾何體本身的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)線面的位置關(guān)系，圖形中的角度和距離等，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問題，也是常用的方法.11．【正確答案】BCD【分析】設(shè)，根據(jù)題意可求得點(diǎn)P的軌跡方程為．再求得以AB為直徑的圓的圓心和半徑即可判斷A；根據(jù)題意求得直線AB的方程，再驗(yàn)證圓P的圓心在直線AB的方程上，從而得到點(diǎn)P到直線AB的距離為圓P的半徑時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求解即可判斷B；根據(jù)，結(jié)合在直角三角形中，角對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，從而即可判斷C；設(shè)，則，再結(jié)合余弦定理可得，從而即可判斷D．【詳解】設(shè)，則，，又，則，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為．對(duì)于A，以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意可得直線AB的方程為，即，所以圓P的圓心在直線AB的方程上，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為圓P的半徑時(shí)，的面積最大，所以面積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由，在直角三角形中，角對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，又，則點(diǎn)A在圓P內(nèi)，所以存在點(diǎn)P使得，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，由余弦定理有，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，有，故D正確．

故選：BCD．12．【正確答案】0或【詳解】因?yàn)樗越獾没?故填或.13．【正確答案】9【詳解】由，得，解得，，，．故914．【正確答案】x=1或5x+12y+13=0【詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則圓心到直線的距離為1，所以,故，所以直線滿足題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，故，因?yàn)?，所以，整理得，解得或．?dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，此方程無解．故直線方程為，即．綜上可得所求直線方程為或．故答案為或．15．【正確答案】（1）；（2）【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以．因?yàn)橹本€的斜率，所以所求直線的方程為，即．（2）因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率．故的方程為，即．16．【正確答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0．【分析】（1）由圓心在直線上，設(shè)圓心為（1，t），再由經(jīng)過，兩點(diǎn)可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圓心和半徑即可得解；（2）根據(jù)題意切線的斜率存在可設(shè)直線方程為y＝kx+2，再利用直線和圓相切可得d＝＝2，求得即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（1，t），則有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，解可得t＝0，即圓心的坐標(biāo)為（1，0），圓的半徑r＝＝2，則圓的方程為（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；（2）根據(jù)題意，圓的方程為（x﹣1）2+y2＝4，過點(diǎn)P（0，2）作圓的切線，斜率必定存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線的方程為y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；則有d＝＝2，解可得k＝0或；故切線的方程為y＝2或4x﹣3y+6＝0．17．【正確答案】（1）見詳解；（2）(1)證明：∵,∴四邊形ABCD為平行四邊形．延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則,為的中位線.∵B為GE中點(diǎn)，∴BF為中位線，∴BF∥PG，G在CD上，PG?平面，∴BF∥平面.(2)∵AB⊥平面PED,相互垂直，如圖建系，∴，，∴.18．【正確答案】(1)(2)(3)5【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程為.將，，分別代入方程可得：解得，，.所以圓的一般方程為.（2）先求中點(diǎn)坐標(biāo)，，，中點(diǎn)坐標(biāo)為.，則弦垂直平分線的斜率為.根據(jù)點(diǎn)斜式可得弦垂直平分線的方程為，即.（3）.直線的方程為，即.點(diǎn)到直線的距離.所以的面積.19．【正確答案】(1)存在，理由見解析；(2)；(3).【分析】（1）由定積直線的定義運(yùn)算可求結(jié)論；（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，利用定積直線的定義可得或，進(jìn)而，計(jì)算即可；（3）設(shè)直線，直線，其中，計(jì)算得，利用基本不等式可求的取值范圍.【詳解】（1）存在點(diǎn)，使得，是定積直線，理由如下：由題