2024-2025學(xué)年貴州省印江土家族苗族自治縣高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省印江土家族苗族自治縣高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的值為（

）A． B． C．3 D．53．已知，，，則有（

）A． B． C． D．4．空間中有兩個不同的平面、和兩條不同的直線，，則下列說法中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則5．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B． C． D．7．已知某圓錐的底面半徑和球的半徑都為，且它們的體積相等，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，，則（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、多選題（本大題共3小題）9．學(xué)校分別對高一學(xué)年和高二年學(xué)開展體育水平抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（

）A．樣本中高二學(xué)年成績的眾數(shù)是85B．樣本中高二學(xué)年成績在80分以上的人數(shù)高于高一學(xué)年成績在80分以上的人數(shù)C．樣本中高二學(xué)年成績的方差高于高一學(xué)年成績的方差D．樣本中高二學(xué)年成績的中位數(shù)高于高一學(xué)年成績的中位數(shù)10．已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于點對稱C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有且只有一個實數(shù)根，則的取值范圍是11．如圖是棱長為2的正方體，點在側(cè)面上運動，則下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積不變B．若為的中點，當(dāng)平面時，長度的最小值是C．當(dāng)直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D．當(dāng)在線段上運動時，與所成角的正弦值取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為．13．已知圓：與圓：的交點為、，則．14．已知球是棱長為3的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體的棱上的動點，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．在某次學(xué)科知識競賽的初賽中，共有兩道試題，兩道題都答對者才能進入決賽．現(xiàn)有甲、乙、丙三名學(xué)生去參加初賽，他們答對第一題的概率分別是，，，答對第二題的概率分別是，，．已知甲和丙都答對第一題的概率為，且他們?nèi)耸欠翊饘Ω鞯李}之間是互不影響的．(1)求甲進入決賽的概率；(2)求甲、乙、丙這三名學(xué)生中恰有兩人進入決賽的概率．16．已知圓的圓心在軸上，且與直線相切于點.(1)求圓的方程；(2)若直線經(jīng)過點且與圓相切，求直線的方程.17．如圖，在直三棱柱中，，，為線段上的一點，且，為線段的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．18．在中，角，，的對邊分別為，，，，．(1)求角；(2)若是線段的中點，且，求；(3)若為銳角三角形，求的周長的取值范圍．19．如圖①所示，四邊形是直角梯形，，，且，為線段的中點．現(xiàn)沿著將折起，使點到達點，如圖②所示；連接、，其中為線段的中點．(1)求證：；(2)若二面角的大小為，則在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求點到平面的距離．

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意，所以，故選：C2．【正確答案】D【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，則，故選：D3．【正確答案】A【詳解】因為，，所以，因為，，所以，綜上所述，.故選：A.4．【正確答案】B【詳解】對于選項A：若，，，則可能異面，故A錯誤；對于選項B：若，，可知，且，所以，故B正確；對于選項C：若，，則與不一定垂直，且，所以與不一定垂直，故C錯誤；對于選項D：若，，，則可能有，故D錯誤；故選：B.5．【正確答案】D【分析】求解命題“”為真命題時，即可根據(jù)真子集求解.【詳解】命題“”為真命題,則對恒成立，所以，故，所以命題“”為真命題的充分不必要條件需要滿足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故選D.6．【正確答案】B【詳解】因為，所以.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】設(shè)圓錐的高為，則母線長.根據(jù)已知條件有，得，所以.故圓錐的側(cè)面積.故選：A.8．【正確答案】C【詳解】，所以的對稱中心為，直線可化為，所以直線經(jīng)過定點，所以點x1,y1和點所以所以，故選：C9．【正確答案】ABD【詳解】對于A中，由高二年級學(xué)生成績的頻率分布直方圖，高二年級學(xué)生成績的眾數(shù)位于區(qū)間的中點橫坐標，所以眾數(shù)為，所以A正確；對于B中，由樣本中高二學(xué)年成績在80分以上的人數(shù)的頻率為，高一學(xué)年成績在80分以上的人數(shù)的頻率為，所以高二學(xué)年成績在80分以上的人數(shù)高于高一學(xué)年成績在80分以上的人數(shù)，所以B正確；對于C中，由頻率分布直方圖，可得高一學(xué)生成績的平均數(shù)為：，則高一學(xué)生成績的方差為：高二學(xué)生成績的平均數(shù)為：，可得高二學(xué)生成績的方差為：，所以樣本中高二學(xué)年成績的方差低于高一學(xué)年成績的方差，所以C不正確；對于D中，由高一學(xué)生成績的頻率分布直方圖，可得其中前3個矩形的面積和為，前4個矩形的面積和為，所以高一學(xué)生成績的中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則；由高二學(xué)生成績的頻率分布直方圖，可得其中前4個矩形的面積和為，前5個矩形的面積和為，所以高二學(xué)生成績的中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，其中，所以樣本中高二學(xué)年成績的中位數(shù)高于高一學(xué)年成績的中位數(shù)，所以D正確.故選：ABD.10．【正確答案】AB【詳解】由函數(shù)圖象可得，由，解得，故A正確；所以，又函數(shù)過點，即，所以，，即，，又，所以，∴，對于B：當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C：將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到：，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，又，，，故方程在上有且只有一個實數(shù)根時，則的取值范圍是，故D錯誤．故選：AB.11．【正確答案】ABD【詳解】底面三角形形的面積不變，P到平面的距離為正方體棱長，故三棱錐的體積不變，故A正確；取的中點，連接，在正方法體中易證平面平面，可知，平面，故點軌跡為線段，所以長度的最小值即為到的距離，又，，所以邊上的高為，設(shè)到的距離為，由等面積可知：，解得：，B正確；設(shè)在平面的射影為，點的軌跡長度即為點的軌跡長度，連接，易知平面，，由線面角的定義可知：，所以所以的軌跡是以為圓心，半徑為的四分之一圓周，所以軌跡長度為，C錯誤；以為軸建系，則，又點在坐標平面內(nèi)，同時在正方形對角線上，可設(shè)，則，設(shè)與所成角為，則，因為，在都單調(diào)遞減，且，所以，在都單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值0，所以，所以，D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】由兩直線平行可得，所以直線：，也即，又直線：，因此直線與之間的距離為.故13．【正確答案】【詳解】圓：，即，則圓心，半徑；圓：，即，則圓心，半徑；所以，所以，所以兩圓相交，則兩圓公共弦方程為，即，則圓心到直線的距離，所以公共弦.故14．【正確答案】【詳解】如下圖所示：正四面體的棱長為3，設(shè)其內(nèi)切球的球心為，連接并延長交底面于點，易知點為的中心，且平面；連接并延長交于點，則點為的中點；且；則，；因為平面，平面，所以；可得，易知的面積為；正四面體體積為；設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則；即，解得；可知，易知，又是球的一條直徑，所以；因此；易知當(dāng)為該正四面體的頂點時，此時，取得最大值；當(dāng)為該正四面體棱的中點時，此時，取得最小值；因此的取值范圍為.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知：甲和丙都答對第一題的概率為，則；記“甲進入決賽”為事件，由題知：；（2）記“乙進入決賽”為事件，記“丙進入決賽”為事件，由題知：；；則甲、乙、丙三位學(xué)生中恰有兩人進入決賽的概率為.16．【正確答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）方法1：由題意，設(shè)圓心，半徑，圓經(jīng)過點，，圓與直線相切，圓心到直線的距離為，，化簡得：，解得；則圓心為，半徑，所以圓的方程為.方法2：由題意，設(shè)圓心，半徑；圓與直線相切于點，則，解得；則圓心為，，所以圓的方程為.（2）由題意，圓心到直線的距離為，且經(jīng)過點，①若直線的斜率不存在，其方程為，圓心到直線的距離為，顯然符合題意；②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，則此時直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，記，連接，由題意知：四邊形正方形，且為的中點，，則，且；又，；又平面，平面，所以平面；（2）由題可知，、、兩兩垂直，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，則有，，，則、，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，令，則，由題易知平面的一個法向量為，記二面角的平面角為，由圖可知：為銳角，則．18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題及正弦定理可知：，，又，，，，，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，①又因為，則，所以，②由得：，所以．（3）由（1）得，則，即，由正弦定理可知，，所以．因為為銳角三角形，所以，，即，，則，即，則，故的周長的取值范圍為．19．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)【詳解】（1）在圖①中，由題知：四邊形為正方形，且；則在②中，，，且平面，則平面；又，平面，又平面，；又，且為的中點，則；又平面，則