2024-2025學(xué)年廣西南寧市武鳴區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西南寧市武鳴區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的方程為，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．圓：與圓：的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切5．已知向量，，若共面，則等于（）A． B．1 C．1或 D．1或06．設(shè)為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．7．已知直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B．或C．或 D．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（

）A．的坐標(biāo)為 B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為4B．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件C．若樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為18D．若事件A、B相互獨(dú)立，，則11．如圖，正方體棱長為2，分別是棱，棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），下列結(jié)論正確的是（）A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為B．過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面面積為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為D．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量的夾角為，且，則13．已知函數(shù)滿足對任意，且都有成立，且，則的解集是14．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，.過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在以為直徑的圓上，則的漸近線方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)與雙曲線E：的右焦點(diǎn)重合，雙曲線E的漸近線方程為(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)斜率為1且縱截距為?2的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積16．黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一.為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對景區(qū)進(jìn)行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值；(2)估計(jì)這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；(3)景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評分分別在50,60和60,70內(nèi)各1人的概率.17．如圖，已知四邊形為等腰梯形，且，，，．為中點(diǎn)，將沿進(jìn)行翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．取中點(diǎn)，連接、．

(1)證明：平面；(2)當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值．18．已知a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C所對的三邊，且．(1)求A的大小；(2)若，的面積為，求a，b；(3)求的取值范圍．19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長為8．(1)求的方程；(2)若直線l與Ω交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|的最小值；(3)已知點(diǎn)P是橢圓Ω上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得當(dāng)過點(diǎn)P能作圓O的兩條切線PM，PN時(shí)（其中M，N分別是兩切線與C的另一交點(diǎn)），總滿足|PM|＝|PN|?若存在，求出圓O的半徑r：若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】B【詳解】解：由兩點(diǎn)的斜率公式得，直線的斜率，故選：B.2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.3．【正確答案】B橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式后求出代入離心率公式可得答案.【詳解】由得，所以，，.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，且共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得.故選：B6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】曲線，即，表示一個(gè)半圓（單位圓位于軸及軸右側(cè)的部分）．如圖，、、，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，求得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)時(shí)，，求得；當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得，或（舍去），故要求的實(shí)數(shù)的范圍為或，故選：C．8．【正確答案】D【詳解】由、的方程可得它們都過定點(diǎn)，，然后可得四邊形OMPN為矩形，且，然后可求出答案.【詳解】將直線的方程變形得，由，得，則直線過定點(diǎn)，同理可知，直線過定點(diǎn)，所以，直線和直線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，易知，直線，如圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且，設(shè)，，則，四邊形OMPN的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，四邊形OMPN面積的最大值為，故選：D9．【正確答案】BD【詳解】對于A，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；對于BC，由拋物線定義可得，所以，，解得，故B正確C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10．【正確答案】BC【詳解】對于A，數(shù)據(jù)從小到大排列為3，3，4，5，6，7，7，9，9，9，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對于B，事件“至少兩次中靶”包括兩次中靶和三次中靶，事件“至多有一次中靶”包括沒有中靶和中一次靶，所以事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件，故B正確；對于C，樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為，故C正確；對于D，因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A中，如圖所示，將正方形沿著展在平面，在直角中，可得，將沿著展開到與平面重合，在直角中，可得，所以A正確；對于B中，如圖所示，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，所以過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為等腰梯形，其中，且，可得高為，可得等腰梯形的面積為，所以B正確；對于C中，如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫傻闷矫?，又因?yàn)槠矫妫?，在直角中，由，可得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓在正方形內(nèi)的部分，如圖所示，，在直角中，由，可得，所以，可得，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為，所以C錯(cuò)誤；對于D中，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c垂直，可得，即，令，可得；當(dāng)，可得，即直線與正方形的邊的交點(diǎn)為，可得，所以D正確.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】由，得到，又向量的夾角為，，所以，又，所以，故答案為.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)閷θ我?，且都有成立，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒?x=fx，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故在0,+∞因?yàn)?，所以，所以的解集?故答案為.14．【正確答案】【詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，則，在Rt中，，則，故或(舍去)，所以，則，故，所以在中，，整理得，則，則，則，故的漸近線方程為.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程為.所以，解得，從而，即，所以右焦點(diǎn)為2,0，從而，解得，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分別為，.（2）

由題意直線，它過拋物線的焦點(diǎn)2,0，聯(lián)立拋物線方程得，化簡并整理得，顯然，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，即的面積為.16．【正確答案】(1)(2)83.33(3)【分析】（1）根據(jù)直方圖中頻率和為1求參數(shù)即可；（2）由百分位數(shù)的定義，結(jié)合直方圖求分位數(shù)；（3）分布求各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】（1）由圖知：，可得.（2）由，所以分位數(shù)在區(qū)間80,90內(nèi)，令其為，則，解得.所以滿意度評分的分位數(shù)為83.33.（3）因?yàn)樵u分在的頻率分別為，則在50,60中抽取人，設(shè)為；在60,70中抽取人，設(shè)為；從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有：，，共有15個(gè)基本事件，設(shè)選取的2人評分分別在50,60和60,70內(nèi)各1人為事件，則有，共有8個(gè)基本事件，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所以?又為中點(diǎn)，，，所以四邊形為平行四邊形，則，，即，因?yàn)?，所以為等邊三角形，即為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，則，又，所以，即，因?yàn)?，且平面，所以平?（2）由（1）知，為等邊三角形，，所以，則，在中，，則，又，所以，則，因?yàn)槠矫?，，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為．

18．【正確答案】(1)(2)，(3)．【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，故，所以，因?yàn)椋?，故，解得；?）因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，即，所以；?）因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，由?）知，由余弦定理，得，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值；時(shí)，取最大值．所以的取值范圍是．19．【正確答案】(1)(2)(3)存在，【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由雙曲線定義可得，，故，又．所以，．所以的方程為．（2）①若直線斜率不存在，則設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以．所以．②若直線斜率存在，設(shè)方程為．設(shè)，．聯(lián)立，消去y整理得，，則．由韋達(dá)定理，得，于是