2025屆廣東省廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試零模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

★啟用前注意保密試卷類型：B2025屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡的相應(yīng)位置上，并在答題卡相應(yīng)位置上填涂考生號(hào)。2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知z=52-i,A.3B.3c.5D.52.已知集合A=x|x+3x-1≥0,B=A.[-2,1]B.[-2,1)C.[1,2]D.(1,2]3.已知向量a=(0,5),b=(2,-4),則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為A.(-2,4)B.(4,-8)c.(-1,2)D.(2,-4)4.已知sin(α+β)=3m,tanβ=2tanα,則sin(α-β)=A.-mB.mC.0D.2m5.已知盒子中有6個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取球兩次，每次取一球，記第一次取出的球的數(shù)字是x，第二次取出的球的數(shù)字是y.若事件A=“x+y為偶數(shù)”,事件B=“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,則P(A|B)=A.25B.12c.14D數(shù)學(xué)試卷B第1頁(共4頁)6.已知點(diǎn)Aπ240在函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的圖象上,若fx≤fπ6恒成立，且f(A.-π3B.-π67.已知三棱錐P--ABC中,△PAB是邊長為2的等邊三角形,PC=2,AC=6BC=2,則三棱錐P-A.6πB.10πC.325π8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且fx+y+fx-yA.-4B.4C.0D.-2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.一組數(shù)據(jù)x?,x?,…,-1?是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,去掉首末兩項(xiàng)后得到一組新數(shù)據(jù)，則A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同D.兩組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)相同10.已知拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線l與圓M:x2+y-42=r2r0)相切，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，N為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，過P作I的垂線，垂足為Q，A.r=1B.當(dāng)△PFQ為正三角形時(shí)，直線PQ與圓M相離C.|PN|+|PQ|的最小值為.17-1D.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得||PM|=|PQ11.設(shè)直線y=t與函數(shù)fx=xx-32圖象的三個(gè)交點(diǎn)分別為.A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<A.f(x)圖象的對(duì)稱中心為(2,2)B.abc的取值范圍為(0,12)C.ac的取值范圍為(0,4)D.c-a的取值范圍為3數(shù)學(xué)試卷B第2頁(共4頁)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=3,S?=39,則a13、已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在C的左支上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P，14.隨機(jī)將1,2,…,2n(n∈N',n≥2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個(gè)數(shù),A組最大數(shù)為a,B組最大數(shù)為b,記ξ=|a-b|.當(dāng)n=3時(shí),ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=;若對(duì)任意n≥2,E(ξ)<c恒成立,則c的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin(1)求A;(2)若△ABC的外接圓半徑為23,且sinB=2sinC,求△16.(15分)如圖1，在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中,Q?,Q?分別為正方形ABCD,A?B?C?D?的中心,現(xiàn)保持平面ABCD不動(dòng),在上底面A?C?內(nèi)將正方形A?B?C?D?繞點(diǎn)Q?逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到如圖2所示的一個(gè)十面體ABCD--EFGH.(1)證明:EF(2)設(shè)Q?Q?的中點(diǎn)為O，求點(diǎn)O到平面DBE的距離；(3)求平面DBE與平面DBG所成角的余弦值.數(shù)學(xué)試卷B第3頁(共4頁)17.(15分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1ab>0)(1)求橢圓C的方程；(2)已知M(-1,0),N(1,0),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn),設(shè)直線PM與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，直線PN與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D.設(shè)PM=λ1MB,PN=λ18.(17分)已知函數(shù)f(1)若直線y=-ax+b+1為曲線y=f(x)的一條切線,求實(shí)數(shù)b的值;(2)若對(duì)任意的x∈R,函數(shù)f(x)≥0恒成立,且.f-1≤e?1+α,求實(shí)數(shù)(3)證明:當(dāng)n∈N°.且n≥2時(shí),n19.(17分)在正整數(shù)1,2,…,n(n≥2)的任意一個(gè)排列.A:a?,a?,……,an中，對(duì)于任意i,j∈N*,i<j,若a?<a,,則稱(a?,a,)為一個(gè)順序?qū)?若ai>aj,則稱((a?,a,)為一個(gè)逆序?qū)?記排列A中順序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為S(A)，逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為N(A).例如對(duì)于排列A：2，1，3，S(A(1)設(shè)排列B:2,4,1,3和C:5,3,1,4,2,試寫出S(B),N(B),S(C),N(C)的值;(2)對(duì)于正整數(shù)1,2,…,n(n≥2)的所有排列A,求滿足S(A)=2的排列個(gè)數(shù);(3)如果把排列.A:a1,a2,?,ae中兩項(xiàng)數(shù)學(xué)試卷B第4頁(共4頁)2025屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分說明：1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題不給中間分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。題號(hào)12345678答案CDAACBCA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的給6分，有選錯(cuò)的給0分。有兩個(gè)正確選項(xiàng)的僅選其中一個(gè)給3分；有三個(gè)正確選項(xiàng)的僅選其中一個(gè)給2分，僅選其中兩個(gè)給4分。9.BC10.AC11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.3"13.3+114.3說明：第14題第一空3分，第二空2分.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)只需展開，沒化簡也給1分(1)解:依題意得3asinC+a由正弦定理可得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC……………2分=sin(A+C)+sinC……3分=sinAcosC+sinC(cosA+1).得3sinAsinC=sinC(cosA+1),因?yàn)閟inC>0,所以.3sinA-cosA=1,……4分即1范圍沒寫，答案對(duì)給分因?yàn)锳∈(0,π),所以A-π6=π6,(2)解：由正弦定理可得2R=asinA,得a=由sinB=2sinC,得b=2c,①…………………8分由余弦定理可得c2+b聯(lián)立①②可得c=23,b=43.兩個(gè)等式各所以△ABC的面積S=12bcsinA=16.(15分)(1)證法1:過點(diǎn)E,F分別作平面ABCD的垂線,分別交平面ABCD于點(diǎn)M,N,連接MN,則EM∥FN且EM=FN,…………………1分則四邊形EMNF為平行四邊形.……………2分所以EF∥MN.……………3分又EF?平面ABCD,MN?平面ABCD,不寫的扣分所以EF∥平面ABCD.……………4分證法2:由條件知,在旋轉(zhuǎn)過程中平面A?B?C?D?∥平面ABCD,此處1分即平面EFGH∥平面ABCD.又EF?平面EFGH,…………………3分……………………2分所以EF∥平面ABCD.…………………4分證法3：以點(diǎn)Q?為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，向量寫對(duì)1分則………………1分取平面ABCD的一個(gè)法向量n=(0,0,1),……………2分因?yàn)镋F.n=0,EF?平面ABCD,……………3分所以EF∥平面ABCD.……4分(2)解：以點(diǎn)Q?為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，B(1,1,0),E(2,0,2),D(-1,-1,0),O(0,0,1),有寫對(duì)就給分5分BE=2-1-12,DB=220,OB2則???????????????????????????????????7令x=1,得y=-1,z=-所以平面DBE的一個(gè)法向量為分??????????????????????8公式寫對(duì)9分???????????????????????????????????10(3)解:G設(shè)平面DBG的法向量為n=(x,y,z),則??????????????????????????????????11令x=1,得y=-1,z=所以平面DBG的一個(gè)法向量為分?????????????????????12得分?????????????????????????????????14???????????????????????????????????1517.(15分)（1）解：因?yàn)闄E圓C的長軸長與短軸長之和為6，則2a+2b=6,??????1分即a+b=3,①求對(duì)離心率1分又因?yàn)榻Y(jié)合可得②分???????????????????????????3聯(lián)立①②解得a=2,b=1.………………4分兩個(gè)式子求對(duì)1個(gè)給1分???????????????????????????????????5分(2)解法1:設(shè)P(x?,y?),B(x?,y?),D(x?,y?),當(dāng)P在橢圓的長軸頂點(diǎn)時(shí),由對(duì)稱性可設(shè)P（2,0）,則B（-2,0）,D（-2,0）???63PM=3MB,PN=13當(dāng)P不在橢圓的長軸頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線PM的方程為x=ty-1，其中t=x0+1y聯(lián)立x=ty-1x24+顯然Δ>0.根據(jù)韋達(dá)定理可知y0y1因?yàn)镻M所以-1-x?-y?=λ?x?+1λ1=-y0只看結(jié)果設(shè)直線PN的方程為x=my+1,其中m=x0-1同理可得λ2=-y所以λ=因?yàn)閤02+4所以λ1+λ2綜上所述，λ1+λ解法2：橢圓C:當(dāng)直線PM，PN中有一條直線斜率不存在，4不失一般性，考慮PN的斜率不存在，取P則kPM=34,直線F肖去y，得74由韋達(dá)定理，x分???????????????????????????????????????6PMPM=λ1MB=6由橢圓的對(duì)稱性知，N為PD中點(diǎn)，PN那么只看結(jié)果分???????????????????????????????7當(dāng)直線PM，PN的斜率均存在，設(shè).PM:y=k?（x+1）,PN:y=k?（x-1）,分??????8設(shè)P點(diǎn)P（x?,y?）代入橢圓,有得?????????????????????????9聯(lián)立x24+y2=1顯然Δ>0.由韋達(dá)定理??????????????????????????????????105=-5x0-82x彳y所以點(diǎn)B由PM=λ1MB,得(λ1=-y0y1=-聯(lián)立消去y,得(4k由韋達(dá)定理，y由PN=λ2ND,得λ2所以λ綜上，λ1解法3：橢圓C:6P由PM=λ1得í分???????????????????????????????????????7兩個(gè)式子各1兩個(gè)式子各1分把P(x?,y?),B(x?,y?)代到橢圓C中，有此處方程組為8分點(diǎn)x024+y兩式相減得分???????????????????????????????????10因?yàn)榈梅?????????????????????????????????????11PN=λ2í分???????????????????????????????????????12把P(x?,y?),D(x?,y?)代入到橢圓中，有x分????????????????????????????????????????13兩式相減，得2x?-1-λ?得分???????????????????????????????????????14所以???????????????????????????????????????1518.(17分)(1)解:設(shè)直線y=-ax+b+1與曲線f(x)相切的切點(diǎn)為(x?,y?),7又f'x=e?-由條件得：y0=-ax0+b+1,解得x0=0,b=-12(2)證明:由f-1=e?1+a+1-b-1≤e?1+a,得b≥0.只看結(jié)果…當(dāng)x=0時(shí),f(0)=-b≥0,得b≤0,所以b=0.只看結(jié)果…………6分所以.f由f'x=e?-a+1=0,得x=ln(a+當(dāng)x∈(-∞,ln(a+1))時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;討論必須完整才給分當(dāng)x∈(ln(a+1),+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；·8分所以fx???=e?????1?-a+1lna+1-1≥0,即a-(a+1設(shè)g(a)=a-(a+1)lnb+1),g'(a)=-1nθ+1)當(dāng)a∈(-1,0)時(shí),g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增;當(dāng)a∈(0,+∞)時(shí),g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減;所以g(a)≤g(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)a=0等號(hào)成立,完整才給分10分又g(a)≥0,得g(a)=0,所以a=0.……11分此不等式對(duì)就給12分(3)證明:由(2)知,令a=b=0,得(e?-x-1≥0,即e?>x+l(x≠0).…12分令x=-knk=12?n-1所以-kn>lnn-kn所以-nn-12n此不等式對(duì)就給15分8所以e-n-12所以nn-1n-1!19.(17分)每個(gè)等式1分(1)解:S(B)=3,N(B)=3,S(C)=3,N(C)=7.……4分(2)解法1:對(duì)于正整數(shù)1,2,…,n(n≥2)的所有排列A,設(shè)其中滿足S(A)=2的排列個(gè)數(shù)為cn,滿足S(A)=1的排列個(gè)數(shù)為bn.考慮排列A中數(shù)字1的位置，當(dāng)1在第n位時(shí)，要使得S(A)=2，則需要前面n-1位共產(chǎn)生2個(gè)順序?qū)?；?dāng)1在第n-1位時(shí)，要使得S(A)=2，則需要其它n-1位共產(chǎn)生1個(gè)順序?qū)Γ划?dāng)1在第n-2位時(shí)，要使得S(A)=2，則需要其它n-1位共產(chǎn)生0個(gè)順序?qū)?；?dāng)1在其它位置時(shí)，不滿足S(A)=2.因此，c?=c???+b???+1.只看結(jié)果……………6分只看結(jié)果再考慮滿足S(A)=1的排列個(gè)數(shù)，同理有b?=b???+1.·7分因?yàn)閎?=1,所以b?=n-1.c?先考慮一個(gè)特殊排列.A?:n,n-1,…,2,1,此時(shí)SA?=0.若把A?中相鄰兩項(xiàng)a+1,a交換位置為(a,a+1,其他項(xiàng)位置不變，得到新排列的順序?qū)?shù)增加1個(gè)；若把A?中不相鄰的兩項(xiàng)交換位置，其他項(xiàng)位置不變，如果該兩項(xiàng)中間有k項(xiàng)，則得到新排列的順序?qū)?shù)增加2k+1個(gè)，故要得到順序數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為2的排列，可以對(duì)排列A從A?中相鄰項(xiàng)數(shù)對(duì)(n,n-1),(n-1,n-2),…,(3,2),(2,1)(共有n-1對(duì))中任選2對(duì),共有Ca-1種,其中選的2對(duì)相鄰項(xiàng)數(shù)對(duì)有共同數(shù)字(如(k,k-1),(k-1,k-2))的有n-2種,沒有共同數(shù)字的有Cn-12-n+29若所選的兩個(gè)相鄰項(xiàng)數(shù)對(duì)沒有相同數(shù)字，則分別把這兩個(gè)相鄰項(xiàng)數(shù)對(duì)里的兩項(xiàng)交換位置，如把(m,m-1),(n,n-1)交換為(m-1,m),(n-1,n),其他項(xiàng)的位置不變，則新排列的順序?qū)€(gè)數(shù)為2.只看結(jié)果……………7分若所選的兩個(gè)相鄰項(xiàng)數(shù)對(duì)有相同數(shù)字的，則可把((k,k-1),(k-1,k--2)交換位置為(k-1,k-2),(k-2,k)或者交換位置為((k-2,k),(k,k-1),其他項(xiàng)的位置不變，則新排列的順序?qū)€(gè)數(shù)為2.這種情況有2(n-2)種,只看結(jié)果…………8分綜上，滿足順序?qū)€(gè)數(shù)為2的排列個(gè)數(shù)為第一個(gè)等式正確給分Cn-12-解法3：對(duì)正整數(shù)1，2，…，n的任意一個(gè)排列.A:a?,a?,…,an中,記bk(k=1,2,…,n)表示元素k在排列A中與元素k所在排列A中位置之前所有元素構(gòu)成順序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)，顯然b?=0,b則S例如,對(duì)排列A:1,3,2,有b?=0,b?=1,b?=1,S對(duì)正整數(shù)1，2，…，n的任意一個(gè)排列A:a?,a?,…,an,使S(A)=2的排列個(gè)數(shù),只需考慮bn+b因?yàn)閎所以此方程的第一類解:存在k∈{3,4,…,n},使得b?=2,其余b?=0(i≠k),共有組解；只看結(jié)果………7分此方程的第二類解:存在i,j∈{2,3,…,n}(i<j),使得b?=b?=1,其余b?=0(k≠i,k≠j只看結(jié)果所以此方程共有Cn-21+下面說明每一組解恰對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)排列.A:a?,a?,…,an10(i)若b?=2(k∈{3,4,…,n}),其余b?=0(i≠k),則恰好對(duì)應(yīng)唯一的滿足bk=2,S(A)=2的排列A:n,(n-1),…,(k+1),(k-1),(k-2),k,…,2,1;討論不完整扣1分(ii)若b?=b,=1(i,j∈{2,3,…,n}(i<j)),其余b?=0(k≠i,k≠j),則恰好對(duì)應(yīng)唯一的滿足b?=b?A:n,(n-1),j,…,(j+1),(j-1),…,(i+1),(i-1),i,…,2,1所以使S(A)=2的排列個(gè)數(shù)為12n-2n+1解法4：將正整數(shù)1,2,…,n全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1,顯然S(A)=0,為了使S(A)=2,現(xiàn)需將A:n,(n-1),(n-2),…,2,1中的某些元素調(diào)換位置使得滿足題意.根據(jù)定義可知:在S(A)=0的全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1中,將排列中的某一個(gè)元素k(k≠1)，從原先位置向右移動(dòng)1個(gè)位置，就可以得到A':n,(n-1),…(k+1),(k-1),k,(k-2),…,2,1,S(A')=1.操作方式一：對(duì)某一個(gè)元素k(k≠1，2)從原先位置向右移動(dòng)2個(gè)位置，得到A':n,(n-1),…(k+1),(k-1),(k-2),k,(k-3),…,2,1,!則S這種操作共有CH??種不同方法；只看結(jié)果………………6分操作方法二:對(duì)兩個(gè)元素i,j(i≠1,j≠1,i<j),先將元素i從原先位置向右移動(dòng)1個(gè)位置，再將元素j向右移動(dòng)1個(gè)位置，得到A?:n,(n-1),…,(j+1),(j-1),j,…,(i+1),(i-1),i,…,2,1,則SA2m=2,這種操作共有若對(duì)全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1中的某個(gè)元素向右移動(dòng)次數(shù)超過2次得到新排列A",根據(jù)定義,S(A")≥3;對(duì)全逆序排列A:n,(n-1),(n-2),…,2,1(中的超過2個(gè)元素向右移動(dòng)得到新排列A，同理可以判斷S(A)≥3.·只看結(jié)果·…9分所以使S(A)=2的排列個(gè)數(shù)為Cn-21+(3)證法1:由定義可知，SA+NA=Cn2兩個(gè)式子對(duì)一個(gè)就給分11因此[S(A)-S(A')]=-[N(A)-N(A')],則SA-SA下證S(A)-S(A')為奇數(shù):(i)當(dāng)a?,a,相鄰時(shí),排列A'為(a?,a?,…,a?-1,ai+1,a?,a?+?,…,an,此時(shí)排列A'與排列A相比，僅是多了或者少了一個(gè)順序?qū)Γ許(A)-S(A')=±1為奇數(shù)；正負(fù)1各給1分…14分(ii)當(dāng)a?,a?不相鄰時(shí),設(shè)a?,a?之間有m項(xiàng),記排列A:a?,a?,…,a?,k?,k?,…,km,a?,…,