2024秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-其次章2.22.2.1請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)完成練案[11]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動(dòng)點(diǎn)M滿意|MF1|＋|MF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)MA．橢圓 B．直線C．圓 D．線段[解析]∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2∴點(diǎn)M的軌跡是線段F1F22．過點(diǎn)(－3,2)且與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,225)＋eq\f(y2,100)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,225)＝1[解析]將點(diǎn)(－3,2)代入驗(yàn)證，只有A的方程滿意，故選A．3．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過兩點(diǎn)(4,0)、(0,2)的橢圓方程為(D)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1C．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]解法一：驗(yàn)證解除：將點(diǎn)(4,0)代入驗(yàn)證可解除A、B、C，故選D．解法二：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16m＝1,4n＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16),n＝\f(1,4)))，故選D．4．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2，N是MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么線段ON的長(zhǎng)是(B)A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)[解析]設(shè)橢圓左焦點(diǎn)F，右焦點(diǎn)F1，∵2a＝10，|MF|＝2，∴|MF1|＝8，∵N為MF中點(diǎn)，O為FF1中點(diǎn)，∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.5．(2024－2024學(xué)年房山區(qū)期末檢測(cè))“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件是(A)A．m＞n＞0 B．n＞m＞0C．mn＞0 D．mn＜0[解析]若方程表示橢圓，則m，n≠0，則方程等價(jià)為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，若方程表示焦點(diǎn)在y軸上橢圓，則等價(jià)為eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，解得：m＞n＞0，故選A．6．(2024－2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市湖南師大附中高二期中)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限，若△MF1F2為等腰三角形，則△MF1F2的面積為(D)A．5eq\r(3) B．10eq\r(3)C．2eq\r(15) D．4eq\r(15)[解析]設(shè)M(m，n)，m，n＞0，則m∈(0,6)，n∈(0，2eq\r(5))，橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的a＝6，b＝2eq\r(5)，c＝4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，|F1F2|＝2因?yàn)閨MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|＞6，|MF2△MF1F2為等腰三角形，只能|MF2|＝2c＝8，則|MF由勾股定理得|MF2|2＝(4－m)2＋n2＝16，又eq\f(m2,36)＋eq\f(n2,20)＝1，聯(lián)立并消去n得m2－18m＋45＝0，且m∈(0,6)，解得m＝3，則n＝eq\r(15).則△MF1F2的面積為eq\f(1,2)×8×eq\r(15)＝4eq\r(15).故選D．二、填空題7．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1__.[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3,a－c＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1)).故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.8．(福州市2024－2024學(xué)年高二期末)若以橢圓上一點(diǎn)和橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則該橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為__2eq\r(2)__.[解析]由題意可知，因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的最大面積為1，即可知bc＝1，因?yàn)閍2＝b2＋c2＝b2＋eq\f(1,b2)≥2，所以a≥eq\r(2)，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為2eq\r(2)，答案為2eq\r(2).三、解答題9．求滿意下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M(3,2)；(2)a：c＝13：5，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.[解析](1)由焦距是4可得c＝2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，(0,2)．由橢圓的定義知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由題意知，2a＝26，即a＝13，又eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.10．已知點(diǎn)A(－eq\f(1,2)，0)，B是圓F：(x－eq\f(1,2))2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．[解析]如圖所示，由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，∴a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1，即x2＋eq\f(4,3)y2＝1.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1、F2分別在其左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M到F1的距離是2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|的長(zhǎng)為(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由橢圓定義得|MF2|＋|MF1|＝2a因?yàn)閨MF1|＝2，所以|MF2|＝8.因?yàn)镹是MF1的中點(diǎn)，所以|ON|＝eq\f(|MF2|,2)＝4.故選D．2．若△ABC的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為(D)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)[解析]∵|AB|＝8，△ABC的周長(zhǎng)為18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故點(diǎn)C軌跡為橢圓且兩焦點(diǎn)為A、B，又因?yàn)镃點(diǎn)的縱坐標(biāo)不能為零，所以選D．3．(多選題)若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是(AD)A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<－2C．－2<a<3 D．－6<a<－2[解析]由題意得a2>a＋6>0，解得a>3或－6<a<－2，故選AD．4．(多選題)直線2x＋by＋3＝0過橢圓10x2＋y2＝10的一個(gè)焦點(diǎn)，則b的值可以為(AB)A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＋eq\f(y2,10)＝1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±3)，當(dāng)直線過焦點(diǎn)(0,3)時(shí)，b＝－1；當(dāng)直線過焦點(diǎn)(0，－3)時(shí)，b＝1.故選AB．二、填空題5．下列命題是真命題的是__③__.①已知定點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿意|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的點(diǎn)P的軌跡為橢圓；②到定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡為橢圓；③若點(diǎn)P到定點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到定點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓．[解析]①eq\r(2)<2，故點(diǎn)P的軌跡不存在；②到定點(diǎn)F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)；③點(diǎn)M(5,3)到定點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之和為4eq\r(10)>8，故點(diǎn)P的軌跡為橢圓．故填③.6．設(shè)F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為__15__.[解析]由橢圓的方程可得a＝5，b＝4，c＝3.∴F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，如圖所示，由橢圓的定義可得，|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋eq\r(32＋42)＝15，∴|PM|＋|PF1|的最大值為15.三、解答題7．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由橢圓過點(diǎn)P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.8．如圖所示，在圓C：(x＋1)2＋y2＝25內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)．Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．[解析