2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE2．5平面對(duì)量應(yīng)用舉例[目標(biāo)]1.通過向量學(xué)問在實(shí)際問題中的應(yīng)用，提高分析問題、解決問題的實(shí)力．2.學(xué)會(huì)如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．[重點(diǎn)]向量學(xué)問在實(shí)際問題中的應(yīng)用．[難點(diǎn)]把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．學(xué)問點(diǎn)一平面幾何中的向量方法[填一填]用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”．[答一答]1．用向量可以解決平面幾何中的哪些問題？提示：(1)證明線段平行或相等，可以用向量的數(shù)乘、向量共線定理．(2)證明線段垂直，可以用向量的數(shù)量積運(yùn)算．(3)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以求線段的長(zhǎng)度、夾角及平面圖形的面積．學(xué)問點(diǎn)二向量在物理中的應(yīng)用[填一填]1．物理學(xué)中的很多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法運(yùn)算．用向量解決速度、加速度、位移等問題，用的學(xué)問主要是向量的線性運(yùn)算，有時(shí)也用坐標(biāo)運(yùn)算．3．力所做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ為F和s的夾角)．[答一答]2．利用向量解決物理中的問題的實(shí)質(zhì)是什么？提示：向量在物理中的應(yīng)用，事實(shí)上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最終用所獲得的結(jié)果說明物理現(xiàn)象．3．利用向量解決物理問題時(shí)應(yīng)留意什么？提示：在用向量解決物理問題時(shí)，應(yīng)作出相應(yīng)的圖形，以幫助建立數(shù)學(xué)模型，分析解題思路．在解題過程中要留意兩方面的問題：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型說明和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象.類型一平面對(duì)量在幾何中的應(yīng)用[例1]如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝eq\f(1,2)DC.求：(1)AD的長(zhǎng)；(2)∠DAC的大?。甗解](1)設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.∴|eq\o(AD,\s\up15(→))|2＝eq\a\vs4\al(\o(AD,\s\up15(→)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2＝eq\f(4,9)a2＋2×eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3.∴AD＝eq\r(3).(2)設(shè)∠DAC＝θ，則θ為向量eq\o(AD,\s\up15(→))與eq\o(AC,\s\up15(→))的夾角．∴cosθ＝eq\f(\o(AD,\s\up15(→))·\o(AC,\s\up15(→)),|\o(AD,\s\up15(→))||\o(AC,\s\up15(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq\f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq\f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),3\r(3))＝0.∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.先利用圖形特點(diǎn)和已知條件選擇基向量表示目標(biāo)向量，再利用公式求解是解決與平面圖形有關(guān)的向量夾角及長(zhǎng)度問題的常見方法.[變式訓(xùn)練1]如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同始終線上．證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝m，eq\o(AD,\s\up15(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點(diǎn)，∴eq\o(FO,\s\up15(→))＝eq\o(FA,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→)).又O為eq\o(FO,\s\up15(→))與eq\o(OE,\s\up15(→))的公共點(diǎn)，故點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同始終線上．類型二平面對(duì)量在物理中的應(yīng)用[例2]帆船競(jìng)賽是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng)，假如一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為20km/h，此時(shí)水的流向是正東，流速為20km/h，若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．[解]建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30°，速度為|v1|＝20km/h，水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|＝20km/h，該帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2，由題意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq\r(3))，向量v2＝(20,0)，則帆船的行駛速度v＝v1＋v2＝(10,10eq\r(3))＋(20,0)＝(30,10eq\r(3))，所以|v|＝eq\r(302＋10\r(3)2)＝20eq\r(3)(km/h)．因?yàn)閠anα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3)(α為v和v2的夾角，α為銳角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20eq\1求兩個(gè)向量的和向量，須要畫出平行四邊形，解平行四邊形或三角形求出夾角或邊的長(zhǎng)度.2合速度問題，合力問題，都屬于和向量問題，要畫圖利用圖形解決問題.[變式訓(xùn)練2]用兩條成120°角的等長(zhǎng)繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具重量為10N，則每根繩子的拉力大小為10_N.解析：如圖，由題意得|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|，∠AOB＝120°，|eq\o(OG,\s\up15(→))|＝10N，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則四邊形OACB為菱形且∠CAO＝60°，eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，|eq\o(OC,\s\up15(→))|＝|eq\o(OG,\s\up15(→))|＝10N，所以|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝|eq\o(OB,\s\up15(→))|＝10N.[例3]已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50N，一個(gè)質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g＝10m/s2)[解]如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，則WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．將力F分解，它的鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小為|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)．因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分別為500eq\r(3)J和－22J.物理中力F所做功W問題常運(yùn)用向量的數(shù)量積解決．[變式訓(xùn)練3]已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0)．(1)求F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．解：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．所以力F1，F(xiàn)2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up15(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．所以合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102J.1．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝0，eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(BD,\s\up15(→))＝0，則四邊形為(D)A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：∵eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→))，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(CD,\s\up15(→))|，且eq\o(AC,\s\up15(→))⊥eq\o(BD,\s\up15(→))，故四邊形為菱形．2．坐標(biāo)平面內(nèi)一只小螞蟻以速度ν＝(1,2)從點(diǎn)A(4,6)處移動(dòng)到點(diǎn)B(7,12)處，其所用時(shí)間長(zhǎng)短為(B)A．2 B．3C．4 D．8解析：|ν|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，又|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(7－42＋12－62)＝eq\r(45)，∴時(shí)間t＝eq\f(\r(45),\r(5))＝3.3．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，則eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝16.解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq\r(2)，∠ABC＝45°，∴eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝4eq\r(2)×4×cos45°＝16.4．已知力F＝(2,3)作用于一物體，使物體從A(2,0)移動(dòng)到B(－2,3)，則力F對(duì)物體所做的功為1.解析：W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up15(→))＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.5．一輛汽車在平直馬路上向西行駛，車上裝著風(fēng)速計(jì)和風(fēng)向標(biāo)，測(cè)得風(fēng)往東偏南30°方向吹，風(fēng)速為4米/秒，這時(shí)氣象臺(tái)報(bào)告實(shí)際風(fēng)速為2米/秒．試求風(fēng)的實(shí)際方向和汽車的速度大?。猓阂罁?jù)物理學(xué)問，有三對(duì)相對(duì)速度，汽車對(duì)地的速度為ν車地，風(fēng)對(duì)車的速度為ν風(fēng)車、風(fēng)對(duì)地的速度為ν風(fēng)地，風(fēng)對(duì)地的速度可以看成車對(duì)地與風(fēng)對(duì)車的速度的合速度，即ν風(fēng)地＝ν風(fēng)車＋ν車地．如圖，依據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，表示向量ν風(fēng)地的有向線段eq\o(AD,\s\up15(→))是平行四邊形ABDC的對(duì)角線．因?yàn)閨eq\o(AC,\s\up15(→))|＝4，∠ACD＝30°，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，|eq\o(DC,\s\up15(→))|＝|eq\o(AC,\s\up15(→))|cos30°＝2eq\r(3)，即風(fēng)的實(shí)際方向是由正北向正南方向，汽車速度的大小為2eq\r(3)米/秒．——本課須駕馭的兩大問題1．用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩個(gè)方向：(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2)坐標(biāo)法：建立平面