電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中稀疏技術的應用

電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中稀疏技術的應用

0基于潮流計算的稀疏技術應用研究

在計算電網的過程中，有大量的矩陣、矩陣和向量之間的操作過程。由于電網本身的連接

線特點，這些矩陣和向量通常只有少量的非零元素。該矩陣和向量稱為稀疏矩陣和稀疏向

量。稀疏技術就是利用矩陣或者向量的非零元分布特點,從排零存儲和排零運算2個方面

來提高運算效率。

稀疏技術在電力系統(tǒng)計算中已經得到廣泛應用。1967年,美國學者W.F.Tinney等人將稀疏

矩陣技術應用到潮流計算,大幅度提高了潮流計算速度。1985年,Tinney等人又在稀疏矩

陣技術的基礎上系統(tǒng)提出了稀疏向量法。當線性方程組右端項只存在少量非零元或者只需

求解待求向量中少量分量時，應用稀疏向量法可以避免前代回代運算過程中無效的運算操

作,從而進一步提高求解大規(guī)模電網應用問題的計算效率。在我國，對稀疏技術的研究也比

較多，文獻重點研究了稀疏矩陣的鏈表存儲技術及其在潮流計算中的應用，文獻研究了稀疏

向量法在電網計算中的應用。目前稀疏技術已廣泛應用于電力系統(tǒng)分析計算的各個領域，

如潮流計算、靜態(tài)安全分析、電網故障計算等。

狀態(tài)估計是能量管理系統(tǒng)(EMS)的核心功能,是EMS高級應用軟件實用化的基礎。與潮流計

算相比，由于狀態(tài)估計處理的量測數目眾多，種類多樣,因此雅可比矩陣規(guī)模更大,運算更為

復雜，不僅要應用到稀疏矩陣的存儲技術,還涉及矩陣的相乘、轉置等操作。因此,在狀態(tài)

估計中提高稀疏技術應用技巧顯得尤為重要。本文首先根據因子矩陣和消去樹,討論了稀

疏向量法。然后基于給定的稀疏矩陣存儲方法和符號因子化技術，提出了一種應用稀疏向

量法進行LDLT分解的算法,最后結合量測殘差方差計算給出了2種應用稀疏技術計算的方

法。為驗證算法有效性，木文使用IEEE118和IEEE300系統(tǒng)算例進行了計算，給出了測試

結果。

1節(jié)點狀態(tài)估計

給定量測模型

在給定網絡接線、支路參數的條件下，狀態(tài)估計問題是求取使得如下目標函數達到最小的x

的值

式(1)(2)中：z是量測矢量,v是量測誤差,m維;x是節(jié)點狀態(tài)量矢量,n維,一般情況下

m2n;h(x)為非線性量測方程式矢量，包括支路潮流方程式、節(jié)點潮流注入方程式等;RT是

量測權重對角陣，是每個量測方差。2倒數的對角陣。

采用牛頓法求解上述方程,狀態(tài)估計計算過程為反復迭代求解方程式(3)并修正狀態(tài)量x,直

至滿足指定的收斂判據。

其中:H為量測雅可比矩陣;G稱為信息矩陣；Az為量測殘差矢量；Ax為狀態(tài)量修正量。

2稀疏技術介紹

2.1基于鏈表的存儲方法

本文涉及的稀疏技術主要包含2方面的內容:一是稀疏矩陣存儲技術,主要研究稀疏矩陣的

存儲策略、索引技巧等，力求節(jié)省內存的同時能夠快速定位矩陣元素;二是稀疏向量技術，

主要研究在前代回代運算中如何避免不必要的運算操作，提高計算效率。

?般來講，有2類稀疏矩除的存儲方法，?類是基于數組的傳統(tǒng)存儲方法。這是目前大多數

計算程序特別是Fortran程序所采用的方法;另一類是基于鏈表的存儲方法。文獻比較了2

種存儲方法的效率，認為基于鏈表的存儲方法雖然多占用了少量的內存，但計算效率高于傳

統(tǒng)存儲方法。本文采用基于數組的存儲方式，但在數組上根據計算需要加鏈,提高稀疏矩陣

元素的杳找效率。和基于鏈表存儲方法相比,這種存儲方法只需對傳統(tǒng)程序作較少的修改，

查找效率不變,并且更為節(jié)省內存。

以導納矩陣的存儲為例，當系統(tǒng)中不含移相器支路時,導納矩陣是對稱矩陣,所以只需存儲

對角元和上二角陣邪零元、另外,結合狀態(tài)估計計算過程，雅可比矩陣H可按行形成，并且

量測殘差Az計算只需按行取導納矩陣的一行,所以在存儲每行非零元起始位置、非零元

列號及值的同時,再存儲列方向上的行號縱向鏈和位置縱向鏈(簡稱列鏈)，可以保證存取導

納矩陣的效率。其存儲結構如下:DIAG為存儲每行對角元位置的一維數組;COL為存儲每個

非零元列號;LINKN為列方向的行號縱向鏈;LINKP為列方向的位置縱向鏈;G、B為導納值的

一維數組。

為了減少內存占用，狀態(tài)估計過程中有些矩陣元素值可以不必存儲，例如H的轉置陣HT以

及信息矩陣Go由于這些矩陣可以由H陣轉置或者HTR-1H相乘獲得，因此只需要在迭弋前

形成HT的索引并對HTH必講行符號定位，等到真正需要這些元素參與計算時，再計算巴官

們的值。

2.2快速前代和快速回代運算

對于式⑶所示的方程式,記右端項為列向量b=HTR-lAz,通過因子分解可將信息矩陣G表

示為

其中:U陣為對角元為1的上三角矩陣;D為n維對角陣。定義Lk為U陣中的保留第k行元

素而其他對角元為1的n階因子矩陣,即

式中:砒是行向量，為U陣中除去對角元后的第k行；Ik是列向量,為單位陣的第k歹人不

難驗證UkT=ITkmk,那么U陣及其逆陣可以表示成一序列因子矩陣的乘積,如式(6)

因此，求解方程(3)可分為3步:

其中：式(7)稱為前代運算;式(8)稱為規(guī)格化;式(9)稱為回代運算。當右端項向量b中僅有

少量非零元時;如果求解式(7)只在非零元的消去樹路徑決定的因子矩陣上進行時,可以避

免零元參與運算，此時稱為快速前代運算；同樣，在求解式(9)的過程中如果我們僅對Ax中

的少量分量感興趣,就只需在這幾個分量的消去樹路徑決定的因子矩陣上運算,這樣可以避

免不必要的運算操作,此時稱為快速回代運算。

例如,對于圖1所示由信息矩陣G確定的網絡,其消去樹如圖2所示(圖1中虛線表示因子

分解過程中增加的注入元)。圖2中，邊的方向是由小號指向大號,節(jié)點k代表U陣中k行

確定的因子矩陣Uk,節(jié)點9是消去樹的根節(jié)點，代表單位矩陣。除根節(jié)點外,每個節(jié)點都有

一個父節(jié)點,定義為對應因子矩陣第一個非零非對角元的列號。每個節(jié)點的消去樹路徑是

指包含該節(jié)點直到樹根上的所有節(jié)點的集合，如節(jié)點5的消去樹路徑指的是｛5,7,8,9｝。如

果右端項中只有非零元bl,根據式(7)在計算y向量時,我們只需在bl路徑確定的因子矩陣

UI、U4、U7、U8、U9上進行快速前代運算，即

同樣如果我們只對Ax向量中的Ax5感興趣，根據式(9),我們只需在U9、U8、U7、U5±

進行快速回代運算，即

實際計算過程中，稀疏向量b中可能有多個非零元，或者對'Ax向量中幾個分量感興趣，這

時參與快速前代或快速回代運算的因了矩陣是這幾個元素消去樹路徑的合集。如對bl和

b5確定的消去樹路徑是UI、U4、U5、U7、U8、U9,其中節(jié)點7稱為分叉點?？焖偾按\算

時必須保證集合中比分叉點7小的因子矩陣按順序運算完成后才能使U7參與運算；同樣，

快速回代運算時必須保證比分叉點大的因子矩陣按順序完成后方可使U7參與運算。

由此可見,提高稀疏向量法效率的措施可以從2方面著手:一方面盡量減少U陣中元素，使

參與計算的元素盡可能的少，即減少因子分解過程中產生的注入元；另一方面可以盡可能減

少參與計算的因子矩陣個數,也就是消去樹路徑的長度來減少總的參與計算的元素。計算

前的節(jié)點優(yōu)化編號正是從這2方面來提高稀疏向量法的效率。

3稀疏技術在狀態(tài)評估中的應用

3.1方程的求解

3.1.1基于Idlt因子表的求解策略

采用直接法求解法方程式(3)時,可以采用LDLT因子分解法,也可以采用正交分解法或者其

他方法。正交分解法數值穩(wěn)定性好，但計算量很大,并且編程復雜,在需要多次分解G陣時

計算效率較低;LDLT分解法當量測權重:相差懸殊時數值穩(wěn)定性較差，但其計算量比正交分解

法小得多，是電力系統(tǒng)計算中對稱矩陣分解常用的算法。本節(jié)研究了LDLT因子分解技術，

包括存儲策略分析、G陣和I：陣稀疏結構的形成以及采用稀疏向量法求解LDLT因子表等。

LDLT因子分解的計算公式如下

本文提出一種應用稀疏向量法進行LDLT分解的算法。假設分解進行到了第k步,設Uk-1

表示U陣的第k-1階子式:U(1:k-l,k)表示U陣第k列不包括對角元的列向量,簡記為v,相

應的對于G陣有Gk-1子區(qū)、G(l:k-1,k)(簡記為w)以及gkk,對于D陣有Dk-1和dkk,此時,

如下等式成立：

即

所以有如下等式(12)成立

因此LDLT分解的算法可以描述如下：

第一步：由UkT-ly=w采用稀疏向量法求y;

第二步:vDTk-ly;

第三步：dkk=gkk-vTy;

Endfor

其中第一步的計算量最大:其他步相對第一步而言很小。一般情況下,Uk-1.w和y是稀疏

矩陣或者稀疏向量,為求出y,必須先根據w的非零元決定y的非零分布。事實上,w和y的

非零分布分別是G陣和U陣的列鏈描述的非零分布,其形成過程在3.1.2節(jié)和3.1.3節(jié)中

己有敘述。所以,在每次用稀疏向量法求解y的過程中，無需形成Uk-1子矩陣的消去樹，而

且計算所得的結果向量v可按列鏈順序存入U陣相應位置。

3.1.5算法效率較低

為測試采用稀疏向量法進行LDLT分解的效率，本文實現了幾種常用的LDLT分解算法，各種

算法簡單描述如下：

算法1：文獻中按行LDLT分解算法。該算法根據G陣元素初始化工作行，由于在存儲結構h

沒有形成U陣的列鏈和初始化的工作行沒有為注入元預留位置,所以不得不在U陣列方向

上搜索以及在U陣行方向上向工作行插入注入元,從而導致算法效率較低。

算法2:仍然采用文獻中按行LDLT分解方法,但根據3.1,2節(jié)和3.1.3節(jié)所述形成了U陣和

G陣的列鏈。由于列鏈的作用，可以避免在列方向上搜索U陣元素；同時由于f陣結構已知，

因而可以根據U陣結構分配工作行和根據G陣值初始化工作行,這樣注入元的位置可以在

工作行上預留出來。

算法3:基于3.1.2和3.1,3節(jié)形成的G陣和U陣結構，采用稀疏向量法求解。由于每次稀

疏向量求解元素的位置和順序都是確定的，無需形成工作行,因而計算效率得以提高。

表1是在IEEE118和IEEE300系統(tǒng)上測試上述各種算法效率的計算時間結果。兩系統(tǒng)量

測分別取1098個和2544個,節(jié)點優(yōu)化編號方法采用最小度最少前趨節(jié)點數法(MD-MNP)。

表中時間為計算10000次的平均時間，單位ms。測試結果表明，系統(tǒng)規(guī)模越大，相對而言算

法3更具有優(yōu)勢。

3.2確定殘差方差

使用標準化殘差搜索法或者遞歸量測誤差估計辨識法時，需要計算量測的方差。據文獻,殘

差E的協(xié)方差矩陣為

式(13)WR陣的對角元即對應量測殘差方差為

求解式(14)可以采用不同的稀疏技術。

(1)方法io

將式(14)寫成分量形式：

由于hk是稀疏向量,因此可以采用快速前代技術先求出向量U-Thk,然后作向量的乘積即可

求得對應的殘差方差。

⑵方法2。

利用狀態(tài)估計收斂后已有的因子表計算信息矩陣G的逆陣,然后做矩陣與向量的相乘，可以

求得殘差方差dk.據式(4)

進而可以寫成

根據式(5)(6),UkT可以直接由Uk獲得,所以G-1的求取只需要一序列因子矩陣乘積即可。

并且由于G陣是對角占優(yōu)的對稱正定陣，可以利用G陣的“稀疏逆”近似替代GT陣，即只

計算GT上三角陣中與U陣分布相同的非零元。令OGT,則C中元素可通過下列公式求解:

實際計算效果表明，對于GT沒有參與計算的元素，其值非常小，忽略其影響對量測殘差方

差計算影響極小。

(3)兩種計算方法的比較。

以3.1.5中采用