第02講 有理數(shù)的相關(guān)概念-【暑假自學(xué)課】新七年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第02講有理數(shù)的相關(guān)概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】重點(diǎn)：有理數(shù)的相關(guān)概念辨析，利用對(duì)數(shù)軸的理解對(duì)有理數(shù)進(jìn)行大小比較，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．難點(diǎn)：絕對(duì)值的化簡(jiǎn)及運(yùn)算．【基礎(chǔ)知識(shí)】一．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．二．有理數(shù)1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．2、有理數(shù)的分類：①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)；②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)．注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．三．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)π2是無理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．四．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向．（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大小：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．五．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．六．絕對(duì)值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）七．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．【考點(diǎn)剖析】一．正數(shù)和負(fù)數(shù)（共3小題）1．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）中國(guó)是世界上最早認(rèn)識(shí)和應(yīng)用負(fù)數(shù)的國(guó)家，比西方早一千多年，在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)．如果支出100元記作﹣100元，則+60元表示（）A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元2．（2021秋?東臺(tái)市期末）北京與柏林的時(shí)差為7小時(shí)，例如，北京時(shí)間14：00，同一時(shí)刻的柏林時(shí)間是7：00，小麗和小紅分別在北京和柏林，她們相約在各自當(dāng)?shù)貢r(shí)間8：00～17：00之間選擇一個(gè)時(shí)刻開始通話，這個(gè)時(shí)刻可以是北京時(shí)間（）A．9：30 B．11：30 C．13：30 D．15：303．（2021秋?海門市期末）如果“盈利10%'記為+10%，那么“虧損6%”記為．二．有理數(shù)（共2小題）4．（2021秋?寶應(yīng)縣期末）在下列數(shù)，﹣π，2，﹣3中，為負(fù)整數(shù)的是（）A． B．﹣π C．2 D．﹣35．（2021秋?無錫期末）在數(shù)﹣12，π，﹣3.4，0，+3，中，屬于非負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1三．無理數(shù)（共2小題）6．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．11 B．2π C．﹣0.5 D．07．（2022春?如皋市校級(jí)月考）下列各數(shù)﹣5，，4.1212112，0，，0.中，無理數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)四．?dāng)?shù)軸（共3小題）8．（2021秋?如東縣期末）如圖，若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，則a+b的值可能是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣29．（2021秋?松滋市期末）點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣2、1，若B、C兩點(diǎn)之間的距離為2，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為（）A．5 B．1 C．1或5 D．410．（2021秋?儀征市期末）數(shù)在數(shù)軸上的位置可以是（）A．點(diǎn)A與點(diǎn)B之間 B．點(diǎn)B與點(diǎn)O之間 C．點(diǎn)O與點(diǎn)D之間 D．點(diǎn)D與點(diǎn)E之間五．相反數(shù)（共2小題）11．（2022?石城縣模擬）﹣2022的相反數(shù)是（）A．﹣2022 B．2022 C． D．12．（2021秋?相城區(qū)月考）﹣|﹣（﹣2.5）|的相反數(shù)是（）A．﹣2.5 B．2.5 C．﹣（） D．六．絕對(duì)值（共4小題）13．若|x|+|x﹣4|＝8，則x的值為（）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不對(duì)14．（2022春?宜興市校級(jí)月考）|﹣9|的值是（）A．9 B．﹣9 C． D．±915．（2021秋?襄都區(qū)校級(jí)期末）||的相反數(shù)是（）A． B． C． D．16．（2021秋?常州期末）已知x，則|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|的值是．七．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值（共3小題）17．（2021秋?東臺(tái)市月考）若|a﹣1|+|b+3|＝0，則b﹣2a的值是（）A．﹣5 B． C．﹣1 D．418．（2022春?東臺(tái)市期中）|x﹣2|+9有最小值為．19．（2022春?興化市校級(jí)月考）若|2a﹣1|+|2a+b|＝0，且（c+1）2＝0，求c2?（a3﹣b5）的值．【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共9小題）1．（2019秋?江陰市期中）如果向西走5m，記作+5m，那么﹣15m表示（）A．向東走15m B．向南走15m C．向西走15m D．向北走15m2．（2022?廣西模擬）下列數(shù)中，﹣2的相反數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．3．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）在0，，1.333…，，3.14中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．11 B．2π C．﹣0.5 D．05．（2021秋?惠山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A是數(shù)軸上一點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)可能為（）A．﹣2.5 B．﹣1.5 C．﹣0.5 D．1.56．（2021秋?泗洪縣期末）在數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)整數(shù)a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)整數(shù)b，若|a﹣b|＝2022，當(dāng)a取最大值時(shí)，b值是（）A．2023 B．2021 C．1011 D．17．（2021秋?雄縣期末）如圖，M，N，P，R分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中有一點(diǎn)是原點(diǎn)，并且MN＝NP＝PR＝2．?dāng)?shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在M與N之間，數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在P與R之間，若|a|+|b|＝6，則原點(diǎn)是（）A．M或N B．N或P C．M或R D．P或R8．（2021秋?錫山區(qū)期末）兩數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)+b＜0 C．a(chǎn)﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞09．（2021秋?宜興市月考）若|a﹣1|+|b+2|＝0，則a+b的值是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3二．填空題（共1小題）10．（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2021的值是．三．解答題（共10小題）11．（2021秋?儀征市期中）現(xiàn)有一批橘子共7筐，以每筐15kg為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足的質(zhì)量分別用正、負(fù)數(shù)來表示，統(tǒng)計(jì)如下（單位：kg）：第1筐第2筐第3筐第4筐第5筐第6筐第7筐﹣312.5﹣0.5﹣2﹣1.50.5（1）這批橘子中，最重的一筐比最輕的一筐重kg；（2）已知橘子每千克售價(jià)8元，求售完該批橘子的總金額．12．（2021秋?高新區(qū)月考）如圖所示，將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合圈內(nèi)：，﹣7，+2.8，﹣900，﹣3，99.9，0，4．13．（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）泰州市海陵路正在進(jìn)行舊城改造工程，為加強(qiáng)宣傳力度，市政府決定派一輛宣傳車宣傳相關(guān)政策，如果車上的GPS系統(tǒng)設(shè)定以“萬象城”為原點(diǎn)，1公里為單位長(zhǎng)度，向南為正方向，下表是宣傳車?？奎c(diǎn)的位置，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：宣傳車出發(fā)點(diǎn)宣傳點(diǎn)1宣傳點(diǎn)2宣傳點(diǎn)3宣傳點(diǎn)4回出發(fā)點(diǎn)顯示位置﹣9﹣4+5﹣1﹣3.5﹣9（1）如果宣傳車在上午8：00從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)8公里的速度向南行駛，在8點(diǎn)45分時(shí)，車上GPS顯示的數(shù)字是多少？（2）如果宣傳車在上午8：00從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)8公里的速度行駛，在每個(gè)宣傳點(diǎn)宣傳政策的時(shí)間是45分鐘，那么回到出發(fā)點(diǎn)的時(shí)間是下午幾點(diǎn)？14．（1）﹣[﹣（+2）]＝（2）﹣[﹣（﹣2007）]＝（3）﹣[+（﹣27）]＝（4）．15．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它們的相反數(shù)．16．（2020秋?饒平縣校級(jí)期末）已知a、b、