第06講 等邊三角形的性質(zhì)與判定-【暑假自學課】2022年新八年級數(shù)學暑假課（蘇科版）

第06講等邊三角形的性質(zhì)與判定【學習目標】1.了解等邊三角形的有關概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法?！净A知識】一．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．二．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．三．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．【考點剖析】一．等邊三角形的性質(zhì)（共5小題）1．（2020秋?濮陽期末）三個等邊三角形的擺放位置如圖所示，若∠1+∠2＝100°，則∠3的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．45° D．30°2．（2022春?江都區(qū)月考）如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF＝（）A．8 B．9 C．12 D．153．（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，C是線段AB上一動點，△ACD，△CBE都是等邊三角形，M，N分別是CD，BE的中點，若AB＝4，則線段MN的最小值為（）A． B． C．2 D．4．（2021秋?無錫期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為．5．（2021秋?寶應縣期中）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，BD交AC于點D，DE∥BC，DE交AB于點E．（1）判斷△ADE的形狀，并說明理由．（2）判斷AE與AB的數(shù)量關系，并說明理由．二．等邊三角形的判定（共4小題）6．（2021秋?淮安期末）三角形的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么這個三角形一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰非等邊三角形 D．鈍角三角形7．（2021秋?澠池縣期末）下列對△ABC的判斷，錯誤的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形 B．若AB＝BC，∠C＝50°，則∠B＝50° C．若AB＝BC，∠A＝60°，則△ABC是等邊三角形 D．若∠A＝20°，∠C＝80°，則△ABC是等腰三角形8．（2017秋?興化市期中）有一個角是的等腰三角形是等邊三角形．9．（2019秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，點D在線段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求證：△ADE為等邊三角形．三．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）10．（2021秋?淮安區(qū)期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，則AC＝cm．11．（2020秋?河北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)．（2）求證：DC＝CF．12．（2021春?龍口市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點E為AD上一點，連接BD，CE交于點F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長．【過關檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，則△ADE的周長為（）A．5 B．36 C．21 D．152．（2021秋?鼓樓區(qū)月考）在等邊三角形ABC中，AD是高，∠B的平分線交AD于E，下面判斷中錯誤的是（）A．點E在AB的垂直平分線上 B．點E到AB、BC、AC的距離相等 C．點E是AD的中點 D．過點E且垂直于AB的直線必經(jīng)過點C3．（2021秋?鼓樓區(qū)期中）已知三個城鎮(zhèn)中心A、B、C恰好位于等邊三角形的三個頂點，在A、B、C之間鋪設光纜連接，實線為所鋪的路線，四種方案中光纜鋪設路線最短的是（）A． B． C． D．4．（2020秋?東臺市期中）一邊上的中線等于這邊的一半，此三角形一定是（）A．等邊三角形 B．有一角為鈍角的等腰三角形 C．直角三角形 D．頂角是36°的等腰三角形5．（2021春?羅湖區(qū)校級期末）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面的結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④二．填空題（共3小題）6．（2021秋?淅川縣期末）如圖，兩塊完全一樣的含30°角的直角三角板，將它們重疊在一起并繞其較長直角邊的中點M轉動，使上面一塊三角板的斜邊剛好過下面一塊三角板的直角頂點C．已知AC＝4，則這兩塊直角三角板頂點A、A′之間的距離等于．7．（2020秋?韓城市期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，則BC等于．8．（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B＝30°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點且OP＝OC，下面的結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP．其中正確的為．（填序號）三．解答題（共6小題）9．如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．10．（2018秋?盱眙縣期中）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，過點D作DE∥AB交AC于點E．（1）求證：∠C＝∠CDE．（2）若∠A＝60°，試判斷△DEC的形狀，并說明理由．11．（2020秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）若點D為線段EC的中點，求證：△ADE是等邊三角形．12．（2020秋?黃陂區(qū)期中）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求證：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．13．（2019秋?桐城市期末）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝110°，∠