第07講 含30度直角三角形與斜邊上的中線-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第07講含30度直角三角形與斜邊上的中線【學(xué)習(xí)目標(biāo)】重難點(diǎn)：含30度角的直角三角形的性質(zhì)定理和直角三角形斜邊上中線的發(fā)現(xiàn)與證明【基礎(chǔ)知識】一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．二．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?云浮期末）已知直角三角形中30°角所對的直角邊為2cm，則斜邊的長為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．（2021秋?興化市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，若CD＝4，那么AB的長是（）A．4 B．8 C．12 D．243．（2021秋?寧德期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝12，則CD的長是（）A．12 B．6 C．4 D．34．（2021秋?江岸區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D、E、F分別為邊AC、AB、CB上的點(diǎn)，且△DEF為等邊三角形，若ADCD．則的值為（）A． B． C． D．5．（2021秋?丹陽市期末）如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．則∠EBD的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．40° D．55°二．填空題（共5小題）6．（2021秋?濱?？h期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AB＝6，則CD的長是．7．（2022春?濟(jì)源期中）直角三角形的兩邊長為5、12，則斜邊上的中線長為．8．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝6，則CD＝．9．（2021秋?海門市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰長為30cm，則腰AB上的高為cm．10．（2021秋?海門市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，點(diǎn)D在邊AC上，以BD為邊在BD左上方作等邊△BDE，若∠CBD＝45°，則點(diǎn)E到AB邊的距離為cm．三．解答題（共5小題）11．（2020秋?丹陽市期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（2）已知△ADE的周長11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為27cm，求OA的長．12．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AC＝CD＝1，求直角邊BC的長．13．（2021秋?東臺市月考）如圖，BN、CM分別是△ABC的兩條高，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、MN的中點(diǎn)．（1）求證：DE⊥MN；（2）若BC＝10，MN＝6，求DE．14．（2020秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于點(diǎn)D，DE垂直平分AB于點(diǎn)E，DE＝3cm．求線段AC的長．15．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的長．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共9小題）1．（2021秋?博興縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以頂點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點(diǎn)D、E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若BG＝1，P為邊AB上一動點(diǎn)，則GP的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．22．（2021秋?如皋市期中）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（）A．3 B．2.5 C．2 D．13．（2020秋?崇川區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，若BC＝2，則CE的長為（）A． B．2 C． D．34．（2021?蘇州模擬）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝10，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021?蘇州模擬）如圖，已知∠ACB＝60°，PC＝12，點(diǎn)M，N在邊CB上，PM＝PN．若MN＝3，則CM的長為（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．（2021秋?信都區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是AC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、A不重合），設(shè)點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接MC、MF．若∠CBA＝50°，則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中∠CMF的大小為（）A．80° B．100° C．130° D．發(fā)生變化，無法確定7．（2021秋?安陸市期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則BD的長是（）A．12 B．9 C．6 D．38．（2020秋?南平期末）四邊形ABCD中，△ACD是邊長為6的等邊三角形，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，則對角線BD的長的取值范圍是（）A．3＜BD≤3+3 B．3＜BD＜6 C．6＜BD≤3+3 D．3＜BD≤39．（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得AB的長為3.6km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km二．填空題（共5小題）10．（2022?鹽城一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD，若CD＝5，BE＝4，則AC＝．11．（2022春?大豐區(qū)校級月考）一副三角板按如圖所示的位置擺放，△BDE的直角邊BD恰好經(jīng)過Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)M，BE交AC于點(diǎn)F，則∠BFM＝°．12．（2021秋?江都區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，CD＝6，則AB＝．13．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN＝．14．（2022?邳州市一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延長AB到點(diǎn)D，使BD＝BC，連接CD，若AC＝2，則CD的長為．三．解答題（共6小題）15．（2021秋?溧水區(qū)期末）在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．16．（2021秋?京口區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度數(shù)．17．（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，連接BD，若AC＝12．（1）求證：BD⊥BC．（2）求DB的長．18．（2021秋?淮安期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB邊的中線，CE是B