第08講 勾股定理-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第08講勾股定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．【基礎(chǔ)知識(shí)】一．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理．四．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R1，所以r：R＝1：1．【考點(diǎn)剖析】一．直角三角形的性質(zhì)（共6小題）1．（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，∠AOB是一個(gè)銳角，點(diǎn)C、D分別為邊OA、OB上的點(diǎn)，OC＝10，OD＝8，圖中可能互相垂直的兩條線是（）A．OA與OB B．CD與OB C．CD與OA D．沒(méi)有可能垂直的兩條線2．（2021春?畢節(jié)市期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022春?阜寧縣期中）直角三角形中，兩個(gè)銳角度數(shù)之比為1：5，則較小的銳角度數(shù)為．4．（2022春?大豐區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝∠C，則∠B＝．5．（2022春?濱海縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；（2）試說(shuō)明：∠AEF＝∠AFE．6．（2020秋?儀征市期末）下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A．2，4，5 B．3，4，5 C．4，4，5 D．5，4，5二．勾股定理（共5小題）7．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則AB＝（）A．12 B．13 C．14 D．158．（2021秋?宜興市期末）在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）A．30 B．40 C．50 D．609．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）A．6 B．2 C．11 D．2410．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足∠1＝∠2，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．（1）如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC＝2，AB＝4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．11．（2021秋?陽(yáng)山縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）A．5 B．6 C．12 D．13三．勾股定理的證明（共4小題）12．（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若小正方形邊長(zhǎng)為3，大正方形邊長(zhǎng)為15，則一個(gè)直角三角形的面積等于（）A．36 B．48 C．54 D．10813．（2022春?江都區(qū)期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為．14．（2022春?陽(yáng)高縣月考）4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c．現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說(shuō)明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?5．（2021秋?六合區(qū)期中）如圖是由4個(gè)全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的兩條直角邊分別為a、b（b＞a），斜邊為c，中間是正方形，請(qǐng)你利用這個(gè)圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理．四．等腰直角三角形（共6小題）16．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，若∠B＝45°，則線段BC的長(zhǎng)為．17．（2022春?泗洪縣期中）如圖，將一個(gè)含有45°角的直角三角尺放在兩條平行線m、n上，已知∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）A．65° B．70° C．45° D．75°18．（2020秋?邗江區(qū)月考）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連結(jié)DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．19．（2021秋?濱湖區(qū)期末）如圖，△ABC為等邊三角形，CD⊥AC，CD＝AC，則∠BDC＝°．20．（2021秋?句容市期末）如圖，將一副三角板擺放在直線AB上，∠ECD＝∠FDG＝90°，∠EDC＝45°，設(shè)∠EDF＝x，則用x的代數(shù)式表示∠GDB的度數(shù)為．21．（2020秋?鹽城期末）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝135°，將一個(gè)含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，此時(shí)∠BOM＝；在圖2中，OM是否平分∠CON？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）接著將圖2中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置所示，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠CON之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒4.5°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第秒時(shí)，∠COM與∠CON互補(bǔ)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?山亭區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．無(wú)法計(jì)算2．（2022春?泗洪縣期中）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．a(chǎn)2﹣b2＝c23．（2021秋?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝44．（2022春?江陰市期中）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB＝6，兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．105．（2021秋?東臺(tái)市期末）如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長(zhǎng)為8，則BE的長(zhǎng)為（）A．17 B．10 C．6 D．76．（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（）A．5 B．25 C． D．5或7．（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖是一正方體的平面展開圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．68．（2021秋?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD，已知∠ADB＝∠ACB＝90°，，則四邊形ABCD的面積為（）A． B．3 C． D．49．（2022春?新田縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來(lái)表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁10．（2021秋?宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時(shí)，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．二．填空題（共5小題）11．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是．12．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，則AB＝．13．（2022春?丹陽(yáng)市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，點(diǎn)D、E分別AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，且∠FDA＝∠BAE，則四邊形AFDE的周長(zhǎng)為．14．（2022春?海安市期中）如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始以每秒1個(gè)單位的速度，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為時(shí)，△BCP為等腰三角形．15．（2022春?如皋市校級(jí)月考）如圖，線段AB的長(zhǎng)為8，C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE長(zhǎng)的最小值是．三．解答題（共6小題）16．（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝1，AE，BE＝4，點(diǎn)F為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AF的長(zhǎng)．17．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求AF的長(zhǎng)．18．（2021秋?連云港期末）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面積為35．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求△ACB的面積．19．（2021秋?宜興市期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度數(shù)；（2）若BD＝1，CD＝3，