第12講 方差-【暑假自學(xué)課】新九年級數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第12講方差【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解方差的意義和求法，體會它們刻畫數(shù)據(jù)波動的不同特征．體會用樣本方差估計總體方差的思想，掌握分析數(shù)據(jù)的思想和方法．【基礎(chǔ)知識】一．方差（1）方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結(jié)果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可簡單記憶為“方差等于差方的平均數(shù)”）（3）方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．二．計算器-標(biāo)準(zhǔn)差與方差由于不同的計算器，其操作不完全相同，可以根據(jù)計算器的說明書進(jìn)行操作．以如圖的計算器為例說明：首先，按2ndf鍵，再按on/c（清零）鍵，即進(jìn)入統(tǒng)計狀態(tài)，右上角有stat顯示．接著，進(jìn)入數(shù)據(jù)輸入存儲狀態(tài)，輸入一個數(shù)據(jù)后按M+鍵，即對數(shù)據(jù)進(jìn)行儲存，可顯示1，表示輸入了第一個數(shù)據(jù)，依次再輸入，顯示2，為第二個數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)輸入完成后，就可進(jìn)行計算，按2ndf，再按RM，即顯示為平均值，其他同此．先按2ndf鍵再按其他鍵，表示選擇的是該鍵上方的功能．【考點剖析】一．方差（共9小題）1．（2022?貴陽模擬）七年級某班甲、乙、丙、丁四位同學(xué)準(zhǔn)備選一人參加學(xué)?！疤K”比賽．經(jīng)過三輪測試，他們的平均成績都是每分鐘180個，方差分別是s甲2＝65，s乙2＝56.5，s丙2＝53，s丁2＝50.5，你認(rèn)為派哪一個同學(xué)去參賽更合適（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022春?北侖區(qū)期中）用如下算式計算方差：S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是這組數(shù)據(jù)的（）A．最小值 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．眾數(shù)3．（2022春?溫州期中）現(xiàn)有甲、乙兩支排球隊，每支球隊隊員身高的平均數(shù)均為1.82米，方差分別為S3.7，S4.2，則身高較整齊的球隊是隊．4．（2022春?朝陽區(qū)校級期中）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名射箭選手10次測試成績的平均數(shù)與方差：甲乙丙丁平均數(shù)（分）9.29.59.59.2方差3.63.67.48.1要選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的選手參加射箭比賽，應(yīng)該選擇（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022春?諸暨市期中）已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3的平均數(shù)是5，方差是2．則數(shù)據(jù)2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的平均數(shù)是，方差是．6．（2022春?嘉興期中）一組數(shù)據(jù)1，2，a，3的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的方差是．7．（2022春?龍港市期中）某研究員隨機(jī)從甲、乙兩塊試驗田中各抽取100株雜交水稻苗測試高度，經(jīng)測量、計算平均數(shù)和方差的結(jié)果為12cm，12cm，S3.2cm2，S8.6cm2，則雜交水稻長勢比較整齊的是試驗田．（填“甲”或“乙”）8．（2022?寧波模擬）某射擊隊從甲、乙、丙、丁四人中選拔一人參加射擊比賽，在隊內(nèi)選拔賽中，每人射擊10次，四人成績的平均數(shù)（單位：環(huán)）及方差（單位：環(huán)2）如表所示：甲乙丙丁平均數(shù)8.58.28.58.2方差1.72.321.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)選擇其中一人參加比賽，最合適的人選是．9．（2022?建鄴區(qū)一模）2021年7月24日，楊倩獲得了東京奧運會的首枚金牌，這也激發(fā)了人們對射擊運動的熱情．李雷和林濤去射擊場館體驗了一次射擊，兩人成績?nèi)缦拢豪罾?0次射擊成績統(tǒng)計表命中環(huán)數(shù)命中次數(shù)5環(huán)26環(huán)17環(huán)38環(huán)39環(huán)1（1）完成下列表格：平均數(shù)（單位：環(huán)）中位數(shù)（單位：環(huán)）方差（單位：環(huán)2）李雷77林濤75（2）李雷和林濤很謙虛，都認(rèn)為對方的成績更好．請你分別為兩人寫一條理由．二．計算器-標(biāo)準(zhǔn)差與方差（共2小題）10．先簡化數(shù)據(jù)，再用科學(xué)計算器分別計算下列各組數(shù)據(jù)的方差：（1）8241，8250，8248，8253，8245；（2）12341，12340，12349，12349，12344．11．用科學(xué)計算器分別計算下面各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差：甲組12345乙組100200300400500（1）比較這兩組數(shù)據(jù)，它們的對應(yīng)關(guān)系是什么？它們的平均數(shù)和方差各有什么關(guān)系？（2）如果用科學(xué)計算器計算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均數(shù)和方差，你能根據(jù)（1）的結(jié)論，用簡化數(shù)據(jù)的方法計算嗎？請你試一試．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）甲、乙、丙、丁四位選手各10次射擊成績的平均數(shù)和方差的數(shù)值如下表：選手甲乙丙丁平均數(shù)9.29.39.59.1方差0.0350.0150.0250.027則這四人中成績發(fā)揮最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022?皇姑區(qū)一模）某數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本班同學(xué)一周課外閱讀的時間，隨機(jī)調(diào)查了5名同學(xué)，并將所得數(shù)據(jù)整理如表：學(xué)生編號12345一周課外閱讀時間（小時）754□8表中有一個數(shù)字被污染后而模糊不清（該處用□表示），但曾計算得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差和中位數(shù)分別為（）A．1.5，4 B．2，4 C．2，6 D．6，63．（2022?海陵區(qū)一模）小麗同學(xué)住在學(xué)校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花時間（單位：分鐘）分別為11，10，11，9，x，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為（）A． B． C． D．4．（2022?椒江區(qū)二模）對甲、乙、丙、丁四名選手進(jìn)行射擊測試，每人射擊10次，平均成績均為9.5環(huán)，方差如表所示：則四名選手中成績最穩(wěn)定的是（）選手甲乙丙丁方差1.340.162.560.21A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022?鹽池縣二模）甲、乙兩人5次數(shù)學(xué)考試成績?nèi)绫恚簞t以下判斷中正確的是（）甲8486858387乙8485868585A．， B．， C．， D．，二．填空題（共7小題）6．（2022?烏海一模）某超市銷售五種飲料，單價分別為（單位：元）3，3，x，5，7．若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2x，則這組數(shù)據(jù)的方差為．7．（2022?遵義模擬）若數(shù)據(jù)2，1，a，3，0的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的方差是．8．（2022?興寧區(qū)校級模擬）2022年冬奧會將在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，北京成為奧運史上第一個既舉辦夏季奧運會又舉辦冬季奧運會的城市．為了激發(fā)同學(xué)們對冬奧會的熱情，某校開設(shè)了冰球選修課，12名同學(xué)被分成甲、乙、丙三組進(jìn)行訓(xùn)練，經(jīng)過5次測試，若甲、乙、丙三組的平均成績相同，且方差，，則應(yīng)選擇組參加全市中學(xué)生冰球聯(lián)誼賽．9．（2022?李滄區(qū)一模）某班50名同學(xué)參加了“預(yù)防溺水，珍愛生命”為主題的安全知識競賽，競賽成績統(tǒng)計如表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋．關(guān)于成績的三個統(tǒng)計量：①平均數(shù)，②方差，③眾數(shù)，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是．（填寫序號即可）成績/分919293949596979899100人數(shù)123577101210．（2022?東城區(qū)校級模擬）有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如表所示：甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則．（填“＞”，“＜”或“＝”）甲1012131416乙121213141411．（2022?銅仁市一模）甲、乙二人五次數(shù)學(xué)考試成績?nèi)缦拢杭祝?35，134，132，138，136；乙：134，135，135，135，136．則甲、乙兩人成績比較穩(wěn)定的是．12．（2022春?金華期中）在樣本方差的計算公式，數(shù)字10表示，數(shù)字20表示．三．解答題（共5小題）13．（2022?如東縣一模）在一次體操比賽中，6個裁判員對某一運動員的打分?jǐn)?shù)據(jù)（動作完成分）如下：9.6??8.8??8.8??8.9??8.6??8.7對打分?jǐn)?shù)據(jù)有以下兩種處理方式：方式一：不去掉任何數(shù)據(jù)，用6個原始數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計；平均分中位數(shù)方差8.9a0.107方式二：去掉一個最高分和一個最低分，用剩余的4個數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計；平均分中位數(shù)方差b8.8c（1）a＝，b＝，c＝；（2）你認(rèn)為把哪種方式統(tǒng)計出的平均分作為該運動員的最終得分更合理？寫出你的判定并說明理由．14．（2022?宛城區(qū)一模）北京冬奧會的開幕式驚艷了世界，在這背后離不開志愿者們的默默奉獻(xiàn)，這些志愿者很多來自高校，在志愿者招募之時，甲、乙兩所大學(xué)就積極組織了志愿者選拔活動，對報名的志愿者進(jìn)行現(xiàn)場測試，現(xiàn)從兩所大學(xué)參加測試的志愿者中分別隨機(jī)抽取了20名志愿者的測試成績進(jìn)行整理和分析（成績得分用x表示，滿分100分，共分成五組：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面給出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成績在D組的數(shù)據(jù)是：90，91，91，92．b．乙校20名志愿者的成績成績是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．d．兩校抽取的志愿者成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示：學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲92a9536.6乙9292.5b31.4根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）由上表填空：a＝，b＝，α＝°．（2）你認(rèn)為哪個學(xué)校的志愿者測試成績較好，請說明理由（寫出一條即可）．（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者參加了此次側(cè)試，估計此次參加測試的志愿者中，成績在90分以上的志愿者有多少？15．（2022春?如皋市期中）八年級某老師對一、二兩班學(xué)生進(jìn)行了一次“安全知識競賽”，并將成績進(jìn)行了統(tǒng)計，繪制了如圖圖表（滿分10分，學(xué)生得分均為整數(shù)）．（1）補(bǔ)充完成下列的成績統(tǒng)計分析表：班級平均分中位數(shù)眾數(shù)方差一班7.162.69二班6.985.89（2）小亮同學(xué)說：“這次競賽我得了7分，在我們班中排名屬中游略偏上!”觀察表可知，小亮是班學(xué)生（填“一”或“二”）；（3）甲同學(xué)依據(jù)平均分推斷，一班學(xué)生安全知識水平更好些．乙同學(xué)不同意甲的推斷，請給出兩條支持乙同學(xué)觀點的理由．16．（2022春?朝陽區(qū)校級月考）某醫(yī)院醫(yī)生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調(diào)查來院就診的病人的兩個生理指標(biāo)x，y，于是他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機(jī)選取20人作為調(diào)查對象，將收集到的數(shù)據(jù)整理后，繪制統(tǒng)計圖如圖：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在這40名被調(diào)查者中，①指標(biāo)y低于0.4的有人；②將20名患者的指標(biāo)x的平均數(shù)記作，方差記作s12，20名非患者的指標(biāo)x的平均數(shù)記作，方差記作s22，則，s12s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來該院就診的500名未患這種疾病的人中，估計指標(biāo)x低于0.3的大約有人；（3）若將“指標(biāo)x低于0.3，且指標(biāo)y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據(jù)，則發(fā)生漏判的有人．17．（2022春?拱墅區(qū)期中）八年級舉