2025屆高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 微專題9　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點（課件）

板塊一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題9導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點高考定位導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題是高考的熱點題型和常見題型：(1)判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù)；(2)已知零點存在情況求參數(shù)范圍；(3)函數(shù)零點性質(zhì)的研究.【

難點突破

】高考真題(2024·渭南質(zhì)檢改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－4sinx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，證明：f(x)在[0，＋∞)上有兩個零點.樣題1設(shè)g(x)＝f′(x)＝ex－4cosx，則g′(x)＝ex＋4sinx.顯然當(dāng)x∈[0，π]時，g′(x)>0，當(dāng)x∈[π，＋∞)時，g′(x)>eπ－4>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增.已知函數(shù)f(x)＝elnx＋bx2e1－x.若f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)恰有兩個零點，求b的取值范圍.樣題2直線y＝b與曲線y＝g(x)的圖象分別有兩個交點，即函數(shù)f′(x)恰有兩個零點.

樣題3當(dāng)x>1時，n′(x)<0，n(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<1時，n′(x)>0，n(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝1時，函數(shù)n(x)有最大值n(1)＝0，因此有n(x)＝lnx－x＋1≤0?lnx≤x－1.設(shè)j(x)＝2lnx－xlnx－1，則j(x)≤2(x－1)－xlnx－1＝2x－xlnx－3.設(shè)k(x)＝2x－xlnx－3，則在區(qū)間(1，e)上，k′(x)＝1－lnx>0，k(x)單調(diào)遞增，k(x)<k(e)＝e－3<0，故j(x)≤k(x)<e－3<0，即h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(1，e)上，h(x)的值域為(e2－e，＋∞)，所以實數(shù)a的取值范圍是(e2－e，＋∞).1.三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)；

第三步：結(jié)合圖象求解.2.已知零點求參數(shù)的取值范圍：(1)結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點；(2)依據(jù)零點確定極值的范圍；(3)對于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進行討論.規(guī)律方法訓(xùn)練(2)試討論關(guān)于x的方程f(x)＝kx(k>0)的根的個數(shù)，并說明理由.當(dāng)x∈(0，1)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，∴hmax(x)＝h(1)＝0.當(dāng)lnk>0，即k>1時，方程無解；當(dāng)lnk＝0，即k＝1時，方程有1個解；當(dāng)lnk<0，即0<k<1時，方程有2個解.【精準(zhǔn)強化練】1.已知函數(shù)f(x)＝x3－kx＋k2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；

f(x)＝x3－kx＋k2，f′(x)＝3x2－k，當(dāng)k≤0時，f′(x)≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)k＞0時，令f′(x)＞0，

(2)若f(x)有三個零點，求k的取值范圍.2.已知函數(shù)f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R，試討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).令f(x)＝0，得ex＝a(x－2)，當(dāng)a＝0時，ex＝a(x－2)無解，∴f(x)無零點.3.(2024·淄博模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－sinx－1.(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性；函數(shù)f(x)＝ex－sinx－1，當(dāng)x>0時，f′(x)＝ex－cosx>1－cosx>0，所以f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)遞增.(2)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(－π，0]上有且僅