2023年考研數(shù)學(xué)（一）真題及答案解析

2023年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)試題及參考答案(數(shù)學(xué)一)(科目代碼：301)要求的，請(qǐng)將所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置.(1)曲線的漸近線方程為()【答案】(B)【解析】所以斜漸近線方程【答案】(C)【解析】微分方程y"+ay'+by=0的特征方程為x2+aλ+b=0,當(dāng)△=a2-4b>0時(shí)，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根λ,2,則2,a2至少有一個(gè)不等于零，若C?,C?都不為零，則微分方程的解y=Ce-?×+C?e?×一當(dāng)△=a2-4b=0時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，若C?≠0,則微分方程的解在(-0,+)無(wú)界；當(dāng)△=a2-4b<0時(shí)，特征方程的根為i此時(shí)，要使微分方程的解在(-00,+o)有界，則a=0,再由△=a2-4b<0,知b>0.(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)由確定，則()【答案】(C)從而由得y'(0)=0;得y"(0)不存在.(4)已知a,<b?(n=1,2,…),若是絕對(duì)收斂的"(級(jí)與均收斂，則)絕對(duì)收斂”(A)充分必要條件(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件【答案】(A)【解析】由條件知為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)而絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂，則由|b|=|b?-a+a,|≤|b-a,|+|a,|與比較判別法，得絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂.(5)已知n階矩陣A,B,C滿足ABC=0,E為n階單位矩陣，記矩陣的秩分別為Y?,Y?,Y?,則((A)y?≤y?≤y?(C)y?≤y?≤y?【答案】(B)【解析】因初等變換不改變矩陣的秩，(B)y?≤y?≤Y?(D)y?≤y?≤Y?(6)下列矩陣中不能相似于對(duì)角矩陣的是()【解析】選項(xiàng)(A)矩陣的特征值為三個(gè)不同特征值，所以必可相似對(duì)角選項(xiàng)(C)矩陣特征值為1,2,2,二重特征值的重?cái)?shù)2=3-r(C-2E),所以必選項(xiàng)(D)矩陣特征值為1,2,2,二重特征值的重?cái)?shù)2≠3-r(D-2E),所以不可相似對(duì)角化.【答案】(D)故(x?,x?,y?,y?)=c(-3,1,所以r=-cβ?+cβ?=c(-1,-5,-8)'=-c(1,5,8)'=k(1,5,8)',k∈R.(8)設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(X-EX|)=()【答案】(C)【解析】由題可知E(X)=1,所以(9)設(shè)x,X?,,X。為來(lái)自總體N(A,o2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，Y,Y,…,為來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記【答案】(D)【解析】x,x,,x,的樣本方差則,兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，故選(D).(10)設(shè)X?,X?為來(lái)自總體N(μ,o2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中σ(o>0)是未知參數(shù).若σ=a|x?-X?|為σ的無(wú)偏估計(jì)，則a=()【答案】(A)【解析】由題可知X?-X?~N(0,2o2).令Y=X?-X?,則Y的概率密度為二、填空題：11～16小題，每小題5分，共30分.【解析】可得a+1=0,,即a=-1,b=2,故ab=-2.12)曲面==x+2y+In(1+x2+y2)在點(diǎn)(0,0,0)處的切平面方程為【答案】x+2y-z=0(13)設(shè)f(x)為周期為2的周期函數(shù)，且f(x)=1-x,x∈[0,1],若【解析】由f(x)展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)知，f(x)為偶函數(shù).由傅里葉系數(shù)計(jì)算公式有(14)設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足,則 ● 【答案】若y'α,=β1α,(i=1,2,3),則k2+k?2+k?2=—【解析】因?yàn)樗訶=0,1;P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}算步驟.(17)(本題滿分10分)設(shè)曲線y=y(x)(x>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),該曲線上任一點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距.(1)求y(x);(II)求函數(shù)在(0,+0)上的最大值.【解析】(I)設(shè)點(diǎn)(x,y)處的切線方程為Y-y=y(X-x),故y軸的截距為y-yx,則x=y-y'x,解得y=x(C-Inx),其中c為任意常數(shù).由y(1)=C=2,故y(x)=x(2-Inx).(II)由(1)知,故f'(x)=x(2-Inx)=0,則駐點(diǎn)為x=e2.故f(x)在x=e2處取得極大值，同時(shí)也取得最大值，且最大值為(18)(本題滿分12分)求函數(shù)f(x,y)=(y-x2(y-x3)的極值.【解析】,得駐點(diǎn)為(0,0),(1,1),f=-(2y+3xy-5x3)-x(3y-15x2),f"=-x(2+3x),f"=2.代入(0,0),則AC-B2=0,古充分條件失效，當(dāng)x→0時(shí)，取y=x2+k3(k>0),f(x,y)=(y-x2)(y-x3)=Ax3[x2+(k-1)x3]=kx3+o(x3),則,由極限的局部保號(hào)性：存在δ>0,當(dāng),則AC-B2>0且A>0,故是極小值點(diǎn)；為極小值.(19)(本題滿分12分)(D:x2+y2≤1)(20)(本題滿分12分)(1)若f(x)=0,則存在ξ∈(-a,a),使得(I)若f(x)在(-a,a)內(nèi)取得極值，則存在ne(-a,a)使得又f"(x)在[n?,n]上連續(xù)，則必有最大值M與最小值m,即由介值定理得：存在ξ∈有又,則(21)(本題滿分12分)g(y,y?,y?)=y2+y2+y32+(1)求可逆變換x=Py,將f(x?,x?,x)化為g(y,?,y?);(II)是否存在正交變換x=Qy,將f(xy,x?,x?)化為g(y,y?,y?).)化為規(guī)范形，從而建立兩者的關(guān)系.先將f(x?,x?,x?)化為規(guī)范形.f(x?,x?,x?)=x2+2x2+x2+2x?x=(x?+x?-x?)2+x2+x2+2x?x?=(x?+x?-x?)2+(x?+x?)2再將g(y?,y?,y?)化為規(guī)范形.g(y?,y?,y?)=y2+y2+y2+2y?y?=y2+(y?+y從而于是可易知r(4)=5,r(B)=3,