安徽省阜陽市阜陽第一中學2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷（含解析）

阜陽一中2024—2025學年高二年級（上）月考試卷說明：1．考試時間：120分鐘試卷滿分：150分考試時間：2024．112．答題前請把答題卷上的所有信息填寫完整，并把所有答案填寫在答題卷上.一、選擇題Ⅰ（本大題共8題，每題5分，共計40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項最符合題目要求.）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．不存在2．已知圓關于直線對稱，則（

）A． B．1 C． D．03．已知橢圓的一個短軸端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．如圖，在正方體中，為的中點，則（

）A． B． C． D．5．從點向圓引兩條切線，，切點分別為，，且四邊形的面積為2，則不滿足條件的點所在區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．6．已知為坐標原點，拋物線的焦點為，過點的直線與交于，兩點，若，則線段中點的橫坐標為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在三棱錐中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線的左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、．現(xiàn)有如下命題：①右支上存在點滿足為等腰三角形，，且；②右支上不存在點滿足為等腰三角形，，且．那么下列判斷正確的是（

）A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題二、選擇題Ⅱ（本大題共3題，每題6分，共計18分.在每小題列出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9．已知直線，圓，則（

）A．不過定點 B．與相交C．圓心到的距離的最大值為1 D．是的一個方向向量10．如圖，在四棱錐，平面，底面是平行四邊形，與交于點，則（

）A．B．C．點到的距離為D．11．已知曲線，其中，則（

）A．曲線關于原點對稱B．曲線上存在橫坐標大于1的點C．若，曲線與軸圍成的面積大于D．三、填空題（本大題共3題，每題5分，共計15分.）12．將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的直線方程是．13．空間中，，，，，且平面，則．14．已知曲線與圓交于，，，四個點，且四邊形的面積為4，則圓的面積為．四、解答題（本大題共5題，共計77分.）15．已知向量，，，且．(1)求；(2)若向量與垂直，求．16．已知直線，，，．(1)證明：與的交點不在軸上；(2)已知與交于點，，分別與軸交于，點，記的面積為，求的取值范圍．17．已知點，，動點滿足，記其軌跡為，與軸交于點，過（異于點）作直線的垂線．(1)求曲線的方程；(2)記到的距離為，到的距離為，證明：為定值．18．如圖，多面體中，四邊形為等腰梯形，四邊形為矩形，為上一點，且，．

(1)證明：平面平面；(2)若二面角為直二面角，當三棱錐的體積最大時，求：①多面體的體積；②平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．如圖，已知拋物線，直線依次與，軸交于點，直線依次與，軸交于點，其中，．(1)若，且，求；(2)若，點關于軸的對稱點為，證明：①；②．

答案1．A解析：由且，易知斜率為1，直線傾斜角為.故選：A2．B解析：由題意直線過圓心，則.故選：B3．A解析：由題設，焦點三角形的周長為，面積為，又其內(nèi)切圓半徑為，所以.故選：A4．C解析：由題設，易知，且，.故選：C5．B解析：由題設，易知，，且，所以，即，當且僅當時等號成立，所以滿足條件的點所在區(qū)域以為圓心，半徑范圍為，則不滿足條件點所在區(qū)域以為圓心，半徑范圍為，故面積為.故選：B6．B解析：由題設，令，聯(lián)立拋物線得，顯然，所以，，則，所以，可得，又，故線段中點的橫坐標為4.故選：B7．B解析：若分別是中點，連接，若，則，可得，所以，即，所以，即，所以，充分性成立；若，則，所以，即，必要性成立，故選：B8．D解析：若，且，設，則，由，則，此時為雙曲線的右頂點，即重合，與為等腰三角形矛盾，①為假命題；若，則，又，即，則，此時，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)知重合，與為等腰三角形矛盾，②為假命題；

故選：D9．BC解析：由過定點，圓心，半徑為，而，即在圓內(nèi)，A錯，B對，如下圖，當時，圓心到的距離的最大值為1，C對；由，故是的一個方向向量，顯然不與向量平行，所以不是的一個方向向量，錯.故選：BC10．ABD解析：A：由題意有，所以，對；B：，由平面，平面，則，，所以，對；C：由，則，所以點到的距離為，錯；D：由，由，則，對.故選：ABD11．ACD解析：A：曲線任取一點，其關于原點對稱的點，代入曲線，得，即，所以曲線關于原點對稱，對；B：由對稱性，只需研究部分曲線，此時，所以，對應關于的二次函數(shù)開口向上，對稱軸，若存在橫坐標大于1的點，即方程在上有解，所以，即，與矛盾，錯；D：結(jié)合對稱性，只需研究部分，且，當時，或，所以為與曲線交點縱坐標，是與曲線交點縱坐標，聯(lián)立與曲線，得，即，將代入左側(cè)，得，即；聯(lián)立與曲線，得，即，將代入左側(cè)，得，即，綜上，，對；C：由對稱性，只需研究且的曲線部分，其上界滿足，當時，當時，所以，而，顯然，對于圓，其面積為，上界高于曲線的上界，下界高于曲線的下界，且，上述圓與已知曲線均過，即它們的左右邊界重合，易知該部分曲線圍成的圖形面積大于，對；故選：ACD12．解析：因為直線的斜率為1，所以其傾斜角為.將其順時針旋轉(zhuǎn)，所得直線的傾斜角為，所以所求直線的斜率為：.所以所求直線方程為：即.故答案為：13．解析：因為，，，，，，所以；設平面的一個法向量為，則，令，可得，可得法向量，由平面可得，即可得，經(jīng)檢驗均滿足題意.故答案為：.14．解析：由，即為過一、三象限的雙曲線，如下圖示，根據(jù)對稱性，、分別關于原點對稱，且四邊形為矩形，不妨令且，則，則，故，所以，又，所以，即，所以，若（負值舍），此時，則，圓的面積為；若（負值舍），此時，則，圓的面積為；綜上，圓的面積為.故答案為：15．(1)；(2).解析：（1）由，即，所以，整理得；（2）由，又向量與垂直，所以，所以.16．(1)證明見解析；(2).解析：（1）聯(lián)立，可得，又，，所以，即與的交點不在軸上；（2）由（1）知，，由，令，有，由，令，可得，則，所以，故，令，則，對于，當且僅當，即時取等，所以，故，則.所以.17．(1)且；(2)證明見解析；解析：（1）由題設，則，所以所求曲線方程為且.（2）由題設及圓的性質(zhì)，顯然直線斜率必存在，如下圖，不妨設，且，則到的距離為，到的距離為，令且，則，故，所以，則，綜上，，為定值.18．(1)證明見解析(2)①；②解析：（1）

取中點為，連接，因為，．所以，，又因為四邊形為等腰梯形，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以三角形為等腰三角形，又因為，，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，所以，所以又因為四邊形為矩形，所以，又因為，面，所以面，又因為面，所以平面平面（2）①過點作與交于點，連接，由（1）知，面，面，所以，又因為，所以，又因為四邊形為矩形，所以，所以為二面角的平面角，因為二面角為直二面角，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以三棱錐的體積最大時，，所以多面體的體積.②取中點為，過作的平行線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，所以，則，，，設面的法向量為m=x則，令，則，則，設面的法向量為n=x則，令，則，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19．(1)2(2)①證明見解析；②證明見解析解析：（1）由直線，直線，可知，如圖，設兩平行線之間的距離為，則點到邊的距離與點到邊的距離都等于