高等數(shù)學第九章習題課 歡迎加入湘潭大學期末考試復(fù)習資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498

第九章習題課一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用多元函數(shù)微分法歡迎加入湘潭大學期末考試復(fù)習資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498班級集體復(fù)印復(fù)習資料超級便宜??！拒絕高價壟斷?。?！請各班學委/班長先聯(lián)系群主哦！一、基本概念連續(xù)性

偏導數(shù)存在

方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個基本概念的關(guān)系思考與練習提示:

利用知在點(0,0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在,但不可微.1.證明:故f

在(0,0)連續(xù);而所以f

在點(0,0)不可微!例1.已知求出的表達式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫變量關(guān)系圖)自變量個數(shù)=變量總個數(shù)–方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號3.利用一階微分形式不變性例2.設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對x

求導,得有一階導數(shù)或偏導數(shù),

求(1999考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導數(shù),且求解:練習題1.設(shè)函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)解答提示:第1題2.設(shè)函數(shù)求由方程所確定,解法1:則故解法2:方程兩邊同時對x求導,得得方程兩邊同時對y求導,得三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題3.在微分方程變形等中的應(yīng)用

最小二乘法例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小,并求切點.解:

設(shè)切點為則切平面的法向量為即切平面方程問題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問題.設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標軸上的截距為令由實際意義可知為所求切點.唯一駐點例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解:設(shè)為拋物面上任一點，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面令解此方程組得唯一駐點由實際意義最小值存在,故例6.求函數(shù)在區(qū)域上的最大最小值.解:閉區(qū)域上的最大最小值可能是區(qū)域內(nèi)部的極值點,也可能是邊界的最值點.由得在駐點(-1,-1)處,在直線x=0上,則在直線y=0上,則在直線x+y=-3上,則綜合可知,在點(0,-3)(-3,0)處取得最大值6,在駐點(-1,-1)處取得最小值-1.上求一點,使該點處的法線垂直于練習題：1.

在曲面并寫出該法線方程.提示:

設(shè)所求點為則法線方程為利用得平面法線垂直于平面點在曲面上2.

在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面使與三坐標面圍成的四面體體積最小,并求此體積.提示:

設(shè)切點為用拉格朗日乘數(shù)法可求出則切平面為所指四面體體積V最小等價于

f(