第十三章-相交線-平行線（能力提升） 帶解析

第十三章相交線平行線（能力提升）考試時間：90分鐘注意事項：本試卷滿分100分，考試時間90分鐘，試題共25題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題（共6小題）1.如圖，下列不能判定DF∥AC的條件是（）A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠A+∠ADF＝180°【答案】B【分析】根據(jù)同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，兩直線平行即可判斷．【解答】解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，兩直線平行，可判斷DF∥AC；B．∠2＝∠4，不能判斷DF∥AC；C．∠1＝∠3由內錯角相等，兩直線平行，可判斷DF∥AC；D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁內角互補，兩直線平行，可判斷DF∥AC；故選：B．【知識點】平行線的判定2.如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．105° D．110°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質即可求解．【解答】解：延長BC至G，如下圖所示，由題意得，AF∥BE，AD∥BC，∵AF∥BE，∴∠1＝∠3（兩直線平行，同位角相等），∵AD∥BC，∴∠3＝∠4（兩直線平行，同位角相等），∴∠4＝∠1＝40°，∵CD∥BE，∴∠6＝∠4＝40°（兩直線平行，同位角相等），∵這條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，∴∠5＝∠6＝40°，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：B．【知識點】平行線的性質3.如圖，AB∥CD，∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∠E﹣∠F＝36°，則∠E＝（）A．82° B．84° C．97° D．90°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質即可求解．【解答】解：過E作直線MN∥AB，如下圖所示，∵AB∥MN，∴∠3+∠4+∠BEM＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠MEC＝∠1+∠2（兩直線平行，內錯角相等），∴∠BEC＝∠MEC+∠BEM＝180°﹣∠3﹣∠4+∠1+∠2，∵∠DCE的角平分線CG的反向延長線和∠ABE的角平分線BF交于點F，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BEC＝180°﹣2∠4+2∠1，∴∠4﹣∠1＝90°﹣，∵四邊形BECF內角和為360°，∴∠4+∠BEC+∠180°﹣∠1+∠F＝360°，∴+∠F＝90°，由，∴，故選：B．【知識點】平行線的性質4.如圖，小敏在作業(yè)中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小敏的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)．其依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．同旁內角互補，兩直線平行 C．內錯角相等，兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求解．【解答】解：根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到直線a和直線b的夾角與直線b和直線PC的夾角相等．故選：A．【知識點】平行線的判定與性質5.已知l1∥l2，一塊含30°的直角三角板如圖所示放置，∠1＝20°，則∠2＝（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】先根據(jù)三角形外角的性質求出∠EDG的度數(shù)，再由平行線的性質得出∠4CEF度數(shù)，由直角三角形的性質即可得出結論．【解答】解：如圖，根據(jù)對頂角的性質得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠EDG是△ADG的外角，∴∠EDG＝∠A+∠3＝30°+20°＝50°，∵l1∥l2，∴∠EDG＝∠CEF＝50°，∵∠4+∠FEC＝90°，∴∠FEC＝90°﹣50°＝40°，∴∠2＝40°．故選：C．【知識點】平行線的性質6.如圖，下列推理及括號中所注明的推理依據(jù)錯誤的是（）A．∵∠1＝∠3∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行） B．∵AD∥BC∴∠2＝∠4（兩直線平行，內錯角相等） C．∵∠BAD+∠ABC＝180°∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行） D．∵∠DAM＝∠CBM∴AD∥BC（兩直線平行，同位角相等）【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定與性質逐一進行推論即可．【解答】解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）；所以A正確；B．∵AD∥BC，∴∠2＝∠4（兩直線平行，內錯角相等）；所以B正確；C．∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）；所以C正確；D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行），所以D錯誤．故選：D．【知識點】平行線的判定與性質二、填空題（共12小題）7.如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，∠BED＝25°，則∠D＝°．【答案】130【分析】根據(jù)平行線的性質可求∠ABE＝25°，∠ABD+∠D＝180°，再利用角平分線的定義可求解∠ABD的度數(shù)，進而可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠BED＝25°，∴∠ABE＝∠BED＝25°，∠ABD+∠D＝180°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝50°，∴∠D＝180°﹣∠ABD＝180°﹣50°＝130°，故答案為130．【知識點】平行線的性質8.如圖，將一個寬度相等的紙條沿AB折疊一下，如果∠1＝136°，那么∠2＝．【答案】112°【分析】根據(jù)平行線的性質可求解∠EAB+∠2＝180°，∠DAE＝136°，再利用折疊的性質可求解．【解答】解：如圖，AC∥BD，∴∠EAB+∠2＝180°，∠DAE＝∠1，∵∠1＝136°，∴∠DAE＝136°，由折疊可知：∠DAB＝∠EAB＝∠DAE，∴∠EAB＝68°，∴∠2＝180°﹣68°＝112°．故答案為112°．【知識點】平行線的性質9.如圖，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝105°，則∠4＝．【答案】75°【分析】由同旁內角互補，兩直線平行可得l1∥l2，可得∠3+∠6＝180°，即可求解．【解答】解：如圖，∵∠2＝∠5＝100°，∠1＝80°，∴∠1+∠2＝180°，∴l(xiāng)1∥l2，∴∠3+∠6＝180°，∴∠6＝180°﹣∠3＝75°，∴∠4＝∠6＝75°，故答案為：75°．【知識點】平行線的判定與性質10.如圖，將一個矩形紙片沿BC折疊，若∠ABC＝24°，則∠ACD的度數(shù)為．【答案】132°【分析】根據(jù)平行線的性質可得∠ABC＝∠1＝24°，根據(jù)折疊可得∠2＝24°，然后再算∠ACD的度數(shù)即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝24°，由折疊得：∠1＝∠2＝24°，∴∠ACD＝180°﹣24°﹣24°＝132°，故答案為：132°．【知識點】平行線的性質11.如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．若AD＝10，則點P到BC的距離是．【答案】5【分析】作PE⊥BC于E，根據(jù)平行線的性質得到AD⊥CD，根據(jù)角平分線的性質計算，得到答案．【解答】解：過點P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，∴PA＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即點P到BC的距離是5，故答案為：5．【知識點】平行線的性質、角平分線的性質12.如圖，點F在∠BAC的平分線AP上，點E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，則∠AFE＝°．【答案】20【分析】根據(jù)平行線的性質和角平分線的性質，可以得到∠AFE的度數(shù)．【解答】解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵EF∥AC，∴∠EFA＝∠CAP，∴∠BAP＝∠EFA，∵∠BEF＝40°，∠BEF＝∠BAP+∠EFA，∴∠BAP＝∠EFA＝20°，即∠AFE＝20°，故答案為：20．【知識點】平行線的性質13.如圖，直線AB、CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，∠MON＝90°．若∠MOC＝35°，則∠BON的度數(shù)為．【答案】55°【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠MOA的度數(shù)，根據(jù)鄰補角的性質計算即可．【解答】解：∵射線OM平分∠AOC，∠MOC＝35°，∴∠MOA＝∠MOC＝35°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠MOA＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故選：55°．【知識點】余角和補角、對頂角、鄰補角、角平分線的定義14.如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角∠ACG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長為cm．【答案】5【分析】只要證明△BDF和△CEF為等腰三角形，即可解決問題．【解答】證明：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF為等腰三角形；∵DF＝BD，CE＝EF，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5（cm），故答案為：5．【知識點】等腰三角形的判定與性質、平行線的性質15.如圖，三角形ABC中，D是AB上一點，F(xiàn)是BC上一點，E，H是AC上的點，EF的延長線交AB的延長線于點G，連接DE，DH，DE∥BC．若∠CEF＝∠CHD，∠EFC＝∠ADH，∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，則∠ADE的度數(shù)為．【答案】76°【分析】根據(jù)平行線的性質和三角形的內角和解答即可．【解答】解：∵∠CEF＝∠CHD，∴DH∥GE，∴∠ADH＝∠G，∵∠EFC＝∠ADH，∵∠BFG＝∠EFC，∴∠G＝∠BFG，∴∠ABC＝∠G+∠BFG＝2∠EFC，∵∠CEF：∠EFC＝5：2，∠C＝47°，∴∠EFC＝38°，∴∠ABC＝76°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝76°，故答案為：76°．【知識點】平行線的性質16.如圖所示，把長方形紙片ABCD紙沿對角線折疊，若∠BDE＝20°，那么∠BED＝．【答案】140°【分析】由AD∥BC，利用“兩直線平行，內錯角相等”可得出∠CBD的度數(shù)，由折疊的性質可得出∠EBD的度數(shù)，結合∠CBE＝∠CBD+∠EBD可得出∠CBE的度數(shù)，由AD∥BC，利用“兩直線平行，同旁內角互補”可求出∠BED的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝20°．由折疊的性質可知：∠EBD＝∠CBD＝20°，∴∠CBE＝∠CBD+∠EBD＝40°．∵AD∥BC，∴∠BED＝180°﹣∠CBE＝140°．故答案為：140°．【知識點】平行線的性質、翻折變換（折疊問題）17.如圖，下列結論：①∠2與∠3是內錯角；②∠2與∠B是同位角；③∠A與∠B是同旁內角；④∠A與∠ACB不是同旁內角，其中正確的是（只填序號）．【答案】①②③【分析】根據(jù)同位角、內錯角、同旁內角的意義，結合圖形逐個判斷即可．【解答】解：∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對內錯角，因此①符合題意；∠2與∠B是直線CD、直線BC，被直線AB所截的一對同位角，因此②符合題意；∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對同旁內角，因此③符合題意，∠A與∠ACB是直線AB、直線BC，被直線AC所截的一對同旁內角，因此④不符合題意，故答案為：①②③．【知識點】同位角、內錯角、同旁內角18.如圖，AE∥CF，∠ACF的平分線交AE于點B，G是CF上的一點，∠GBE的平分線交CF于點D，且BD⊥BC，下列結論：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③與∠DBE互余的角有2個；④若∠A＝α，則∠BDF＝．其中正確的有．（把你認為正確結論的序號都填上）【答案】①②④【分析】求出∠EBD+∠ABC＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根據(jù)角平分線的定義即可判斷①；根據(jù)平行線的性質得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根據(jù)平行線的判定即可判斷②；根據(jù)余角的定義即可判斷③；根據(jù)平行線的性質得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝EBG＝，根據(jù)平行線的性質得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判斷④．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，∵BD平分∠EBG，∴∠EBD＝∠DBG，∴∠ABC＝∠GBC，即BC平分∠ABG，故①正確；∵AE∥CF，∴∠ABC＝∠BCG，∵CB平分∠ACF，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠ABC＝∠GBC，∴∠ACB＝∠GBC，∴AC∥BG，故②正確；與∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4個，故③錯誤；∵AC∥BG，∠A＝α，∴∠EBG＝∠A＝α，∵∠EBD＝∠DBG，∴∠EBD＝EBG＝，∵AB∥CF，∴∠EBD+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正確；故答案為：①②④．【知識點】平行線的判定與性質、余角和補角三、解答題（共7小題）19.如圖，在△ABC的三邊上有D，E，F(xiàn)三點，點G在線段DF上，∠1與∠2互補，∠3＝∠C．（1）若∠C＝40°，求∠BFD的度數(shù)；（2）判斷DE與BC的位置關系，并說明理由．【分析】（1）由∠1與∠2互補，利用“同旁內角互補，兩直線平行”可得出AC∥DF，再利用“兩直線平行，同位角相等”可求出∠BFD的度數(shù)；（2）由（1）可知∠BFD＝∠C，結合∠C＝∠3可得出∠BFD＝∠3，再利用“內錯角相等，兩直線平行”即可找出DE∥BC．【解答】解：（1）∵∠1與∠2互補，∴AC∥DF，∴∠BFD＝∠C＝40°；（2）DE∥BD，理由如下：由（1）可知：∠BFD＝∠C，∵∠C＝∠3，∴∠BFD＝∠3，∴DE∥BC．【知識點】平行線的判定與性質20.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，P為AD延長線上一點，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度數(shù)．【分析】在△ABC中，利用三角形內角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，結合角平分線的定義可得出∠CAD的度數(shù)，在△ACD中，利用三角形內角和定理可求出∠ADC的度數(shù)，結合對頂角相等可得出∠PDE的度數(shù)，再在△PDE中利用三角形內角和定理可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝80°，∠B＝24°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝76°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝38°．在△ACD中，∠ACD＝80°，∠CAD＝38°，∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝62°，∴∠PDE＝∠ADC＝62°．∵PE⊥BC于E，∴∠PED＝90°，∴∠P＝180°﹣∠PDE﹣∠PED＝28°．【知識點】三角形內角和定理、角平分線的定義、對頂角、鄰補角21.已知：如圖∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，請你說明∠1與∠2相等嗎？為什么？解：因為∠AED＝∠C（已知）所以∥（）所以∠B+∠BDE＝180°（）因為∠DEF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180°（）所以∥（）所以∠1＝∠2（）．【答案】【第1空】DE

【第2空】BC

【第3空】同位角相等，兩直線平行

【第4空】兩直線平行，同旁內角互補

【第5空】等量代換

【第6空】EF

【第7空】AB

【第8空】同旁內角互補，兩直線平行，

【第9空】兩直線平行，內錯角相等【分析】先判斷出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代換，即可判斷出EF∥AB即可．【解答】解：因為∠AED＝∠C（已知）所以DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）所以∠B+∠BDE＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）因為∠DEF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180°（等量代換）所以EF∥AB（同旁內角互補，兩直線平行）所以∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）．故答案為：DE，BC，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，同旁內角互補，等量代換EF，AB，同旁內角互補，兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等．【知識點】平行線的判定與性質22.如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，判斷∠AED與∠C的大小關系．閱讀下面的解答過程，填空并填寫理由．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠4＝180°（鄰補角定義），∴∠2＝∠4（）．∴AB∥EF（）．∴∠3＝（）．又∵∠3＝∠B（已知），∴（）＝∠B（等量代換）．∴DE∥BC（）．∴∠AED＝∠C（）．【答案】【第1空】同角的補角相等

【第2空】內錯角相等，兩直線平行

【第3空】∠ADE

【第4空】∠ADE

【第5空】同位角相等，兩直線平行

【第6空】兩直線平行，同位角相等【分析】根據(jù)平行線的判定與性質即可完成填空．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1+∠4＝180°（鄰補角定義），∴∠2＝∠4（同角的補角相等）．∴AB∥EF（內錯角相等，兩直線平行）．∴∠3＝∠ADE．又∵∠3＝∠B（已知），∴∠ADE＝∠B（等量代換）．∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）．∴∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等）故答案為：同角的補角相等，內錯角相等，兩直線平行；∠ADE，∠ADE，同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．【知識點】平行線的判定與性質23.探究：如圖①，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C，點D在線段AB上，過點D作DE∥BC交AC于點E，過點E作EF∥AB交BC于點F，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度數(shù)．請將下面的解答過程補充完整，并填空解：∵DE∥BC∴∠DEF＝．（）∵EF∥AB，∴＝∠ABC．（）∴∠DEF＝∠ABC．（等量代換）∵∠ABC＝50°，∴∠DEF＝．應用：如圖②，直線AB，BC，AC兩兩相交，交點分別為A、B、C，點D在線段AB的延長線上，過點D作DE∥BC交AC于點E，過點E作EF∥AB交BC于點F，若∠ABC＝65°，則∠DEF＝．【答案】【第1空】∠EFC

【第2空】兩直線平行，內錯角相等

【第3空】∠EFC

【第4空】兩直線平行，同位角相等

【第5空】50°

【第6空】115°【分析】探究：依據(jù)兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同位角相等，即可得到∠DEF＝50°．應用：依據(jù)兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補，即可得到∠DEF＝180°﹣65°＝115°．【解答】解：探究：∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC．（兩直線平行，內錯角相等）∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC．（兩直線平行，同位角相等）∴∠DEF＝∠ABC．（等量代換）∵∠ABC＝50°，∴∠DEF＝50°．故答案為：∠EFC，兩直線平行，內錯角相等，∠EFC，兩直線平行，同位角相等，50°；應用：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝60°．（兩直線平行，同位角相等）∵EF∥AB，∴∠ADE+∠DEF＝180°．（兩直線平行，同旁內角互補）∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115°．【知識點】平行線的性質、相交線24.已知點A在射線CE上，∠BDA＝∠C．（1）如圖1，若AC∥BD，求證：AD∥BC；（2）如圖2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，請證明∠DAE+2∠C＝90°；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DF∥BC交射線CE于點F，當∠DFE＝8∠DAE時，求∠BAD的度數(shù)．（直接寫出結果）【分析】（1）根據(jù)AC∥BD，可得∠DAE＝∠C，再根據(jù)∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠D，則結論得證；（2）根據(jù)∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根據(jù)△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，進而得出2∠C+∠DAE＝90°；（3）設∠DAE＝α，則∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根據(jù)DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根據(jù)2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，由三角形內角和定理得到∠BAD的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AC∥BD，∴∠DAE＝∠BDA，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE＝∠C，∴AD∥BC；（2）證明：如圖2，設CE與BD相交于點G，∠BGA＝∠BDA+DAE，∵BD⊥BC，∴∠BGA+∠C＝90°，∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE+2∠C＝90°；（3