考研真題 《材料力學(xué)》（第5版）（下冊）配套題庫（真題 課后題 章節(jié)題 模擬題）

孫訓(xùn)方主編的《材料力學(xué)》(第5版)是我國高校力學(xué)類專業(yè)廣泛采用的權(quán)威教材之一，也被眾多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研考博專業(yè)課參考書目。為了幫助參加研究生入學(xué)考試指定考研參考書目為孫訓(xùn)方主編的《材料力學(xué)》(第5版)的考生復(fù)習(xí)專業(yè)課，我們根據(jù)教材和名校考研真題的命題規(guī)律精心編寫了孫訓(xùn)方《材料力學(xué)》(第5版)輔導(dǎo)用書(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級):1.孫訓(xùn)方《材料力學(xué)》(第5版)筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解[免費(fèi)下載]2.孫訓(xùn)方《材料力學(xué)》(第5版)(上冊)配套題庫【名校考研真題+課后習(xí)題+章節(jié)題庫3.孫訓(xùn)方《材料力學(xué)》(第5版)(下冊)配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習(xí)題+章節(jié)題庫第一部分為名校考研真題及詳解。本部分從指定孫訓(xùn)方主編的《材料力學(xué)》(第5版)為考考研真題既注重對基礎(chǔ)知識的掌握，讓學(xué)員具有扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)；又括教材中未涉及到的知識點(diǎn))進(jìn)行詳細(xì)闡釋，以使學(xué)員不遺漏任何一個(gè)重要知識點(diǎn)。第二部分為課后習(xí)題及詳解。本部分對孫訓(xùn)方主編的《材料力學(xué)》(第5版)教材每一章的第三部分為章節(jié)題庫及詳解。本部分嚴(yán)格按照孫訓(xùn)方主編的《材料力學(xué)》(第5版)教材內(nèi)第四部分為模擬試題及詳解。參照孫訓(xùn)方主編的《材料力學(xué)》(第5版)教材，根據(jù)各高校()提供全國各高校力學(xué)類專業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、力學(xué)類國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書等。本入學(xué)考試指定考研參考書目為孫訓(xùn)方《材料力學(xué)》(第5版)的考生，也可供各大院校學(xué)習(xí)1.直播答疑：掃碼下載本書手機(jī)版，找學(xué)友互動(dòng)學(xué)習(xí)，看名師直播答疑有學(xué)友，可精確查找學(xué)友的具體位置，可與學(xué)友互動(dòng)，交流學(xué)習(xí)(視頻、語音等形式);本2.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)3.質(zhì)量保證：每本e書都經(jīng)過圖書編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，年年升級4.手機(jī)掃碼即可閱讀，精彩內(nèi)容，輕松分享掃碼即可在手機(jī)閱讀，隨處隨學(xué)?？梢圆挥每蛻舳瞬挥觅~號，簡單方便!5.免費(fèi)升級：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級6.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識點(diǎn)串聯(lián)列舉——相同知識點(diǎn)內(nèi)容列表呈現(xiàn)，便于讀者記憶和復(fù)習(xí)，舉一反三，觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具，劃一條線，寫筆記，提交糾錯(cuò)?！惊?dú)家推出】(3)答案遮擋先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好?！惊?dú)家推出】(4)全文檢索輸入關(guān)鍵詞，本書相關(guān)內(nèi)容一覽無余?！惊?dú)家推出】7.多端并用：電腦手機(jī)平板等多平臺同步使用本書一次購買，多端并用，可以在PC端(在線和下載)、手機(jī)(安卓和蘋果)、平板(安卓和蘋果)等多平臺同步使用。同一本書，使用不同終端登錄，可實(shí)現(xiàn)云同步，即更換不同為您處理!()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過班、網(wǎng)授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個(gè)考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類),合計(jì)近萬小時(shí)的面授班、網(wǎng)授如您在購買、使用中有任何疑問，請及時(shí)聯(lián)系我們，我們將竭誠為您服務(wù)!詳情訪問：http://(理工類)第一部分名?？佳姓骖}第10章彎曲問題的進(jìn)一步研究第11章考慮材料塑性的極限分析第13章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究第14章應(yīng)變分析、電阻應(yīng)變計(jì)法基礎(chǔ)第15章動(dòng)荷載、交變應(yīng)力第16章材料力學(xué)性能的進(jìn)一步研究第二部分課后習(xí)題第10章彎曲問題的進(jìn)一步研究第11章考慮材料塑性的極限分析第12章能量法第15章動(dòng)荷載、交變應(yīng)力第16章材料力學(xué)性能的進(jìn)一步研究第三部分章節(jié)題庫第10章彎曲問題的進(jìn)一步研究第11章考慮材料塑性的極限分析第12章能量法第15章動(dòng)荷載、交變應(yīng)力第16章材料力學(xué)性能的進(jìn)一步研究第四部分模擬試題孫訓(xùn)方《材料力學(xué)》(第5版)配套模擬試題及詳解第一部分名?？佳姓骖}第10章彎曲問題的進(jìn)一步研究為彎曲中心，C為截面形心)。它們的變形形式分別為_。[同濟(jì)大學(xué)2001研]圖10-1【答案】(A)平面彎曲；(B)斜彎曲；(C)平面彎扭組合；(D)斜彎曲和扭轉(zhuǎn)；(E)【解析】(A)、(E)兩結(jié)構(gòu)外力(作用線)過彎心，且與形心主慣性軸平行，故為平面彎曲。(C)結(jié)構(gòu)當(dāng)F從形心向彎心簡化后，得F(過形心),T=Fa(作用于彎心的扭矩),故為Fy同C為平面彎曲與扭轉(zhuǎn)組合，故為斜彎曲與扭轉(zhuǎn)組合。在組合變形情況下，直桿長為1的橫截面上同時(shí)存在軸力N(x)、扭矩Mn(x)和彎矩M(x),試寫出組合變形時(shí)計(jì)算整個(gè)桿件總變形能的積分表達(dá)式U=。[武漢理工大學(xué)2010研]【答案】查看答案二、選擇題某線彈性結(jié)構(gòu)在F?單獨(dú)作用下的外力],在F?單獨(dú)作用下的外力功W?=國，其中△1和△2為沿相應(yīng)載荷方向的位移，設(shè)在F?和F?共同作用下的外力功為W總，則()。[北京航空航天大學(xué)2006研]【答案】B查看答案【解析】F?、F?共同作用時(shí)，除了有F?在F?作用點(diǎn)引起的位移，還有F?在F?作用點(diǎn)引起的位移三。此時(shí)總的外力功為：三、計(jì)算題1.平面剛架如圖12-1所示，剛架各部分截面相同，彎曲剛度是EI。試用能量法求截面A的垂直位移和轉(zhuǎn)角。[北京科技大學(xué)2011研]圖12-1解：在已知力作用下，剛架的彎矩圖如圖12-2(a)所示。(1)為求得截面A的垂直位移，故在A點(diǎn)施加豎直向下的單位載荷，在單位載荷作用下剛架的彎矩圖如圖12-2(b)所示。由圖乘法得A點(diǎn)垂直位移：圖12-2(2)為求得截面A的轉(zhuǎn)角，故在A點(diǎn)施加單位彎矩，相對應(yīng)剛架的彎矩圖如圖12-2(c)2.圖12-3所示平面剛架AB柱受有水平載荷q的作用，BC梁自由端C受有鉛直載荷P的作用，試計(jì)算BC梁中點(diǎn)D的鉛直位移δp。[武漢理工大學(xué)2010研]圖12-3解：(1)建立如圖12-4所示坐標(biāo)系，該剛架的彎矩方程為：為求得D截面的鉛垂位移，在D截面施加一豎直向下的單位力，此時(shí)剛架的彎矩方程：圖12-42.如圖12-5所示，已知?jiǎng)偧艿膹澢鷦偠葹镋I,試求支座C的反力并畫出剛架的彎矩圖。[中國礦業(yè)大學(xué)2009研]圖12-5解：(1)解除C鉸支座約束，代之以約束反力X,得基本靜定系統(tǒng)，如圖12-6(a)所示，圖12-6由變形協(xié)調(diào)條件知B點(diǎn)的鉛垂位移為零，根據(jù)卡(2)彎矩圖如圖12-6(b)所示。解：(1)作剛架彎矩圖或取面A、B沿AB方向的相對線位移圖12-8第13章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究第14章應(yīng)變分析、電阻應(yīng)變計(jì)法基礎(chǔ)1.圖14-1所示為一直徑為D的圓周，受扭矩Mn及軸向拉力P的作用，欲用電測法確定Mn及P之值，試問最少要貼幾片電阻片且如何布置貼片位置?請寫出扭矩Mn及軸向拉力P學(xué)2010研]圖14-1圖14-2(1)軸向拉力P:由剪切胡克定律一可得扭矩Mn:圖14-3圖14-4解：(1)沿橫截面取圖14-4所示單元體，由已知得解：(1)沿橫截面取圖14-4所示單元體，由已知得(2)斜截面=45°上的正應(yīng)力為(3)將45°、45°代入廣義胡克定律，則E=45°方向的正應(yīng)變?yōu)榈?5章動(dòng)荷載、交變應(yīng)力大學(xué)2002年]圖15-1【答案】查看答案其中，在初速度=條件下，相當(dāng)于物體從高處自由落體；=為靜位移，2.圖15-2所示為一非對稱循環(huán)的交變應(yīng)力曲線，則交變應(yīng)力的循環(huán)特性r=,應(yīng)力幅圖15-2二、選擇題1.重物減速向下運(yùn)動(dòng)，則繩內(nèi)動(dòng)張力Fa()。[中國礦業(yè)大學(xué)2009研]A.大于靜張力B.小于靜張力C.等于靜張力D.可能為零圖15-3【答案】A查看答案【解析】重物以減速向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度∈向上，則繩子張力為2.如圖15-4所示，在σa-0m坐標(biāo)系中(oa為交變應(yīng)力的幅度，σm為平均應(yīng)力),C?、C?兩點(diǎn)均位于一條過原點(diǎn)0的直線上，設(shè)C、C?兩點(diǎn)對應(yīng)的兩個(gè)應(yīng)力循環(huán)特征為ri、r2,最大應(yīng)力分別為omaxI、Omax2,則()。[哈爾濱工業(yè)大學(xué)2009年]圖15-4相同，且C?的最大應(yīng)力比C?的大。1.已知圖15-5所示桿BC的橫截面面積為A,梁AD的慣性矩,桿和梁的彈性模量均為E,重物P自由下落沖擊于梁上的點(diǎn)D,求桿BC的最大動(dòng)應(yīng)力。[南京航空航天大學(xué)2012研]圖15-5圖15-6D點(diǎn)豎直向下單位力作用下的彎矩圖如圖15-7所示圖15-72.圖15-8所示水平面內(nèi)剛架ABC的各桿均為直徑等于d的實(shí)心圓截面桿，材料彈性模量為E,泊松比為μ。重量為W的物體自高度h處自由下落在C點(diǎn)。剛架質(zhì)量不計(jì)，略去剪力的影響。試用能量法求截面C的最大豎直位移。[北京航空航天大學(xué)2005研]圖15-8圖15-93.一重量為F的物體，以速度v水平?jīng)_擊剛架的C點(diǎn)，如圖15-10所示。試求剛架的最大沖擊應(yīng)力。已知?jiǎng)偧芨鱾€(gè)部分的抗彎剛度EI為常量，抗彎截面系數(shù)為W。[西北工業(yè)大學(xué)2004研]圖15-10圖15-11解：(1)求剛架中最大靜應(yīng)力Ost,max將重量為F的物體沿沖擊方向靜載于剛架C點(diǎn)，分別作出剛架C點(diǎn)在F和單位載荷作用下剛架的彎矩圖，分別如圖15-11(a)、(b)所示，知?jiǎng)偧苤凶畲髲澗貫镸max=Fh,故最大(2)在水平方向載荷沖擊作用下的動(dòng)荷系數(shù)：又第16章材料力學(xué)性能的進(jìn)一步研究第二部分課后習(xí)題第10章彎曲問題的進(jìn)一步研究10-1截面為16a號槽鋼的簡支梁，跨長1=4.2m,受集度為q=2kN/m的均布荷載作用。梁放在F=20°韻斜面上，如圖10-1所示。若不考慮扭轉(zhuǎn)的影響，試確定梁危險(xiǎn)截面上A點(diǎn)和B點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力。圖10-1解：查型鋼表得16a槽鋼截面的幾何性質(zhì)：將載荷q沿圖10-2中所示坐標(biāo)軸進(jìn)行分解，可得與之相對應(yīng)的最大彎矩值均發(fā)生在梁的跨根據(jù)非對稱純彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式，其中慣性積一同，得：10-2圖10-2所示跨長為1=4m的簡支梁，由200mm×200mm×20mm的等邊角鋼制成，在梁跨中點(diǎn)受集中力F=25kN作用。試求最大彎矩截面上A、B和C點(diǎn)處的正應(yīng)力。圖10-2解：查型鋼表得200mm×200mm×20mm等邊角鋼截面的幾何性質(zhì)：梁的最大彎矩發(fā)生在跨中截面上，將力F沿圖10-2中所示坐標(biāo)軸進(jìn)行分解，則與之相對應(yīng)的最大彎矩值：A點(diǎn)坐標(biāo)：B點(diǎn)坐標(biāo)：C點(diǎn)坐標(biāo)：A點(diǎn)的正應(yīng)力：B點(diǎn)的正應(yīng)力：C點(diǎn)正應(yīng)力：負(fù)號表示為壓應(yīng)力。10-3z形截面簡支梁在跨中受一集中力作用，如圖10-3所示。已知該截面對通過截面形心的一對相互垂直的軸y、z的慣性矩和慣性積分別為E=5.75×10?m?、E=1.83×104m?和-三=2.59×10?m?。試求梁的最大彎曲正應(yīng)力。圖10-3該截面中性軸n-n與y軸之間的夾角θ,且,則由中性軸的位置如圖10-4所示，可能危險(xiǎn)點(diǎn)為a、b、c、d四點(diǎn)，根據(jù)對稱性，只需計(jì)算a、c圖10-4根據(jù)廣義彎曲正應(yīng)力公式，有因此，梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在c、d兩點(diǎn)，且10-4由兩種材料制成的矩形截面組合梁如教材圖1-6a所示。在對稱純彎曲時(shí)橫截面上的彎矩為M,其中性軸位置由圖中的yn定出，試證明：面面積；截面形心到橫截面底邊的距離；截面對中性軸的慣性矩。y為所求點(diǎn)的坐標(biāo)。證明令中性軸z到截面底部的距離為。由平面假設(shè)知，應(yīng)變沿梁的截面高度線性變化，即利用拉壓胡克定律知兩種材料在距離中性軸距離為y的截面上正應(yīng)力分別為：①②③命題(1)得證。(2)將式①代入式③得：④整理可得中性層的曲率：④命題(2)得證。(3)將式④代入式①即可得到彎曲正應(yīng)力：命題(3)得證。10-5一用鋼板加固的木梁承受集中荷載F=30kN,如圖10-5所示。鋼和木材的彈性模量分別為EE=200GPa及E==10GPa。試求危險(xiǎn)截面上鋼和木材部分的最大彎曲正應(yīng)力。圖10-5解：(1)確定中性軸位置令中性軸z到截面底部的距離為Yn,則：(2)截面幾何性質(zhì)的確定木材和鋼截面對中性軸的慣性矩分別為：(3)計(jì)算最大正應(yīng)力分析木梁，由平衡條件知,且梁中最大彎矩發(fā)生在集中載荷F作用點(diǎn)處，鋼材部分的最大彎矩正應(yīng)力發(fā)生在截面下邊緣，為拉應(yīng)力：10-6試判斷圖示各截面的彎曲中心的大致位置。若圖10-6所示橫截面上的剪力Fs指向向圖10-6故圖10-6中所示各截面彎曲中心的大致位置和切應(yīng)力方向分別如圖10-7所示。圖10-710-7試確定圖10-8所示薄壁截面的彎曲中心A的位置。圖10-8圖10-9解：如圖10-9(a)所示，設(shè)上下翼緣的剪力分別為一=、=,由于腹板的壓力很小，忽略不計(jì)，合力作用點(diǎn)在A點(diǎn)，則：①率半徑相同，即②二圖10-10解：(1)求腹板上的切應(yīng)力截面A?對z軸的慣性矩：(2)確定彎曲中心A的位置為使梁不發(fā)生扭轉(zhuǎn)，力F作用下應(yīng)通過彎曲中心A,則根據(jù)靜力學(xué)關(guān)系知剪力和切應(yīng)力的合解得彎曲中心A的位置10-9由兩根不同材料的矩形截面×h桿粘結(jié)而成的懸臂梁，如圖10-11所示。兩材料的彈性模量分別為E和E2,且EE>E2。若集中荷載F作用在梁的縱對稱面(即粘合面)內(nèi)，試求材料1和2截面上所承受的剪力FE和F三，并確定彎曲中心A的位置。圖10-11解：由平面假設(shè)可知，梁兩部分變形曲率日相同，設(shè)距離固定端x處截面上，梁的兩部分由此聯(lián)立==,可解得x截面梁兩部分承受的剪力：如圖10-12所示，彎曲中心A距O點(diǎn)的距離為e,則由平衡條件可得：圖10-1210-10圖10-13所示一半徑為的鋼制曲桿，桿的橫截面為圓形，其直徑d=20mm。曲桿橫截面m-m上的彎矩M=-60N·m。試按計(jì)算三的精確公式和近似公式分別求出曲桿橫截面m-m上的最大彎曲正應(yīng)力,并與按直梁正應(yīng)力公式計(jì)算的結(jié)果相比較。圖10-13解：(1)按=的精確公式計(jì)算由于橫截面為圓形，則根據(jù)精確計(jì)算公式可得中性軸與形心軸之間的距離：分析可知曲桿m-m截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在曲桿內(nèi)側(cè)，且為拉應(yīng)力，則(2)按的近似公式計(jì)算(3)根據(jù)直梁應(yīng)力公式計(jì)算比較(1)、(2)計(jì)算結(jié)果可知，按近似公式計(jì)算的誤差：比(1)、(3)的計(jì)算結(jié)果可知，按直梁公式計(jì)算的誤差：第11章考慮材料塑性的極限分析11-1一組合圓筒，承受荷載F,如圖11-1(a)所示。內(nèi)筒材料為低碳鋼，橫截面面積為A1,彈性模量為E1,屈服極限為；外筒材料為鋁合金，橫截面面積為A2,彈性模量為E2,屈服極限為F。假設(shè)兩種材料均可理想化為彈性-理想塑性模型，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖11-1(b)所示。試求組合筒的屈服荷載F和極限荷載FE。圖11-1解：(1)求組合筒的屈服載荷由圖11-1(b)可知一=,兩筒的變形量相同，隨著載荷F的增加，內(nèi)筒首先達(dá)到屈服狀態(tài)，而鋁合金仍處于線彈性狀態(tài)，此時(shí)二者承受的載荷分別為：又此時(shí)，內(nèi)筒和外筒的變形量相同，即有：因此，外筒承受的載荷：(2)求組合筒的極限載荷內(nèi)筒達(dá)到屈服極限時(shí)，隨著載荷F的繼續(xù)增加，1,內(nèi)筒的應(yīng)力保持為=不變，外筒鋁合金部分的應(yīng)力繼續(xù)增大，此時(shí)組合筒處于彈塑性狀態(tài)。當(dāng)外筒的應(yīng)力也達(dá)到屈服極限：=時(shí)，該組合筒進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，即為極限狀態(tài)。故組合筒的極限載荷：11-2一水平剛性桿AC,A端為固定鉸鏈支承，在B、C處分別與兩根長度1、橫截面面積A和材料均相同的等直桿鉸接，如圖11-2所示。兩桿的材料可理想化為彈性-理想塑性模型，其彈性模量為E、屈服極限為-。若在剛性桿的D處承受集中荷載F,試求結(jié)構(gòu)的屈服荷載F和極限荷載FF。圖11-2圖11-3解：(1)求屈服載荷對剛性桿AC進(jìn)行受力分析，受力及變形圖如圖11-3所示。當(dāng)F不大時(shí)，結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)，有①②因?yàn)閮蓷U材料相同，所以桿2首先達(dá)到屈服極限，此時(shí)代入式①得：,故結(jié)構(gòu)的屈服載荷(2)求極限載荷隨著載荷F繼續(xù)增加，,桿2的應(yīng)力保持=不變，桿1的應(yīng)力繼續(xù)增大，此時(shí)結(jié)構(gòu)處于彈塑性狀態(tài)。當(dāng)桿1的應(yīng)力也達(dá)到屈服極限三時(shí)，該結(jié)構(gòu)進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，為11-3剛性梁AB由四根同一材料制成的等直桿1、2、3、4支承，在D點(diǎn)處承受鉛垂荷載F,如圖11-4所示。四桿的橫截面面積均為A,材料可視為彈性一理想塑性，其彈性模量為E、屈服極限為°。試求結(jié)構(gòu)的極限荷載。圖11-4圖11-5解：(1)計(jì)算各桿軸力對剛性梁AB進(jìn)行受力分析，如圖11-5所示。將各式代入式②,并聯(lián)立方程組①可解得各桿軸力：(2)確定極限載荷,故桿3和桿4先達(dá)到極限應(yīng)力，載荷F繼續(xù)增大，桿2應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，結(jié)構(gòu)進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，即為極限狀態(tài)，此時(shí)由平衡方程：11-4例題2-1中的三桿鉸接超靜定結(jié)構(gòu)，若在荷載達(dá)到極限荷載Fs=0.A(1+2cosa)后，卸除荷載，試求中間桿3內(nèi)的殘余應(yīng)力。解：由教材例題2-1可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)時(shí)，各桿的應(yīng)力：由題可知，三桿均屈服時(shí)，,結(jié)構(gòu)極限載荷：桿3中應(yīng)力變化值為：桿1,桿2中應(yīng)力變化值為：可見,所以卸載過程中，結(jié)構(gòu)不發(fā)生反向屈服。故桿3中的殘余應(yīng)力為卸載時(shí)的應(yīng)力值與卸載過程中應(yīng)力變化值一三的差，即：11-5等直圓軸的截面形狀分別如圖11-6所示，實(shí)心圓軸的直徑d=60mm,空心圓軸的內(nèi)、圖11-6圖11-711-6一半徑為R的等直實(shí)心圓軸，材料可視為彈性-理想塑性，如圖11-8所示。在扭轉(zhuǎn)時(shí)處于彈性-塑性階段，即橫截面上的扭矩T處于Ts<T<T。試證明彈性區(qū)的半徑為rs=圖11-8證明當(dāng)，軸在彈性區(qū)一E三內(nèi)任一位置橫截面上的切應(yīng)力;在理想塑性區(qū)二內(nèi)任一位置橫截面上的切應(yīng)力國。由合力矩定理知橫截面上的扭矩T為：命題得證。11-7直徑為d的等直圓桿AC,兩端固定，在截面B處承受轉(zhuǎn)矩(扭轉(zhuǎn)外力偶矩)M=,如圖11-9所示。材料可視為彈性-理想塑性，切變模量為G,剪切屈服極限為4=。試求圓桿的屈服轉(zhuǎn)矩和極限轉(zhuǎn)矩。圖11-9解：(1)求圓桿的屈服轉(zhuǎn)矩由于圓桿AC兩端固定，可得變形協(xié)調(diào)方程：②其中，,代入式②,并與式①聯(lián)立可得：(2)求極限轉(zhuǎn)矩11-8試驗(yàn)證下列截面的塑性彎曲截面系數(shù)與彈性彎曲截面系數(shù)的比值：解：(1)圓形截面的塑性彎曲截面系數(shù)：(2)薄壁圓筒橫截面如圖11-10所示的圓環(huán)截面。圖11-10作、乍分別為橫截面的中性軸上、下兩部分面積對中性軸的靜矩(的中性軸為對稱軸，因此一[。取微面積dA,則截面的塑性彎曲截面系數(shù)：11-9矩形截面b×h的直梁承受純彎曲，梁材料可視為彈性-理想塑性，彈性模量為E,屈服極限為0。當(dāng)加載至塑性區(qū)達(dá)到h/4的深度(如圖11-11),梁處于彈性-塑性狀態(tài)時(shí)，卸除圖11-11解：(1)卸載前梁橫截面上正應(yīng)力的分布為：解：(1)卸載前梁橫截面上正應(yīng)力的分布為：(2)由上可知為使梁軸線恢復(fù)到直線狀態(tài)，需加載的反向外力偶矩：11-10矩形截面簡支梁受載如圖11-12所示。已知梁的截面尺寸為b=60mm,h=120mm;梁圖11-12解：對梁AB進(jìn)行受力分析，如圖11-13所示。圖11-13由此可繪制梁AB的彎矩圖，如圖11-13所示。由圖可知，梁的最大彎矩發(fā)生在D截面，值11-11受均布荷載作用的簡支梁如圖11限=235MPa。試求梁的極限荷載。圖11-14解：(1)確定截面幾何性質(zhì)先確定中性軸位置：設(shè)中性軸到底邊的距離為y,則橫截面中中性軸以上和以下部分的面積*11-12教材圖2-9a所示一端固定、另一端鉸支的超靜定梁，承受均布荷載q。梁材料可視為彈性一理想塑性，已知其極限彎矩為Mu。試證明梁的極限荷載為q==11.66Mu/I2。(提示：除固定端的塑性鉸外，另一塑性鉸的位置與彈性性鉸距固定端為a,可由,求得另一塑性鉸的位置a。)證明在彈性范圍內(nèi)求解超靜定梁，并作彎矩圖。由圖11-15中彎矩圖中，可知梁最大彎矩值發(fā)生在固定端截面處，圖11-15到極限彎矩而出現(xiàn)塑性鉸時(shí)，梁達(dá)到極限狀態(tài)，此時(shí)載荷為極限載荷。假設(shè)在距離固定端A處，出現(xiàn)塑性鉸C,如圖11-15所示，則：①②將②式對a求導(dǎo)得：聯(lián)立①、②兩式可得：即當(dāng)?shù)诙€(gè)塑性鉸出現(xiàn)在距離固定端處時(shí)，整個(gè)梁達(dá)到極限狀態(tài)，此時(shí)可得：代入式①得到極限載荷：命題得證。12-1圖12-1所示各桿均由同一種材料制成，材料為線彈性，彈性模量為E。各桿的長度相同。試求各桿的應(yīng)變能。圖12-1解：(1)整個(gè)桿件的應(yīng)變能：(2)桿上距離下端x處截面上的軸力為：,故桿件的應(yīng)變能為：12-2拉、壓剛度為EA的等截面直桿，上端固定、下端與剛性支承面之間留有空隙△,在中間截面B處承受軸向力F作用，如圖12-2所示。桿材料為線彈性，當(dāng)F>時(shí)，下端支承面的反力為：于是，力F作用點(diǎn)的鉛垂位移為：從而得外力F所作的功為：而桿的應(yīng)變能為：結(jié)果，桿的應(yīng)變能不等于外力所作的功V≠w,試分析其錯(cuò)誤的原因，并證明V=W。圖12-2解：由于在桿件C截面與下端剛性支撐面接觸前后，B截面位移與力F的線性關(guān)系不同，故計(jì)算力F做功應(yīng)分兩個(gè)過程：接觸前：軸力,在F?作用下，B端位移故F做功：所以。12-3直徑d?=1.5d?的階梯形軸在其兩端承受扭轉(zhuǎn)外力偶矩M=,如圖12-3所示。軸材料為線彈性，切變模量為G。試求圓軸內(nèi)的應(yīng)變能。圖12-3解：對該階梯軸進(jìn)行分段計(jì)算應(yīng)變能再求和，其中,可得：12-4圖12-4所示各結(jié)構(gòu)材料均為線彈性，其彎曲剛度為EI,拉桿的拉伸剛度為EA,不計(jì)剪力的影響，試計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能。圖12-4解：(1)建立如圖12-5(a)所示的坐標(biāo)系。由平衡條件求得支反力：(2)建立如圖12-5(b)所示的坐標(biāo)系，得剛架的彎矩方程：AB段BC段圖12-5(3)對梁ABD進(jìn)行受力分析，如圖12-5(c)所示，并建立坐標(biāo)系，由平衡條件可得約束12-5圖12-6所示三角架承受荷載F,AB、AC兩桿的橫截面面積均為A。若已知A點(diǎn)的水平位移△E(向左)和鉛垂位移△-(向下),試按下列情況分別計(jì)算三角架的應(yīng)變能Vz,將(2)若三角架由非線性彈性材料制成，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為—=(圖b),B為常數(shù)，且拉伸圖12-6圖12-7故三角架的應(yīng)變能用△-、△=表達(dá)為：(2)若三角架由非線性彈性材料制成，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為，可得其應(yīng)變能密度：兩桿的變形關(guān)系不變，可知兩桿各點(diǎn)處的應(yīng)變?yōu)椋簝蓷U應(yīng)變能密度分別為：故三角架的應(yīng)變能：2-6試求習(xí)題12-5兩種情況下的余能。解：(1)在線彈性情況下，余能與應(yīng)變能相等，故：12-7試用卡氏第二定理求習(xí)題12-4各分題中截面A的鉛垂位移。解：(1)如圖12-8(a)所示，在截面A處虛設(shè)一豎直向下的集中力F,并建立如圖所示圖12-8(2)為求A點(diǎn)鉛垂位移，在A截面處虛設(shè)一豎直向下的集中力F,并建立如圖12-8(b)剛架的應(yīng)變能為：由卡氏第二定理可得截面A的鉛垂位移：(3)由12-4(c)結(jié)果已知結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能：則根據(jù)卡氏第二定理可得截面A的鉛垂位移：12-8彎曲剛度均為EI的各剛架及其承載情況分別如圖12-9所示。材料為線彈性，不計(jì)軸力和剪力的影響，試用卡氏第二定理求各剛架截面A的位移和截面B的轉(zhuǎn)角。圖12-9解：(1)由于截面A有豎直方向的約束，故該截面豎直方向上的位移為求截面A的水平位移和轉(zhuǎn)角，在截面A虛設(shè)水平方向的力F和外力偶矩MA;同理在B截面虛設(shè)一力偶矩MB,分別如圖12-10(a)所示。圖12-10(a)①求截面A水平位移在集中力偶=和力F作用下，剛架的彎矩方程為：AC段②求截面A轉(zhuǎn)角AC段白，(0≤y?≤a)③求截面B轉(zhuǎn)角M和力偶矩MB作用下，剛架的彎矩方程為：在集中力偶MA;同理在B截面虛設(shè)一力偶矩MB,分別如圖12-圖12-10(b)AD段DB段②求截面A水平位移AD段④求截面B轉(zhuǎn)角在均布載荷q和力偶MB作用下，剛架的彎矩方程為：根據(jù)卡氏第二定理可得截面B轉(zhuǎn)角：(3)為求得截面A轉(zhuǎn)角，在截面A虛設(shè)外力偶矩MA,如圖12-10(c)所示。圖12-10(c)①由于AB桿為軸向壓桿，若略去軸力的影響，剛架AB段不承受橫向力，所以AB段不發(fā)生彎曲變形，故截面A處鉛垂位移同一。②求截面A水平位移根據(jù)卡氏第二定理可得截面A水平位移：③求截面A的轉(zhuǎn)角在集中力F,均布載荷q和力偶MA作用下，剛架的彎矩方程為：④求截面B的轉(zhuǎn)角由于AB桿為軸向壓桿，若略去軸力的影響，剛架AB段不承受橫向力，所以AB段不發(fā)生彎曲變形，故截面B的轉(zhuǎn)角等于截面A的轉(zhuǎn)角，即(逆時(shí)針)。12-9彎曲剛度均為EI的各剛架及其承載情況分別如圖12-11所示。材料為線彈性，不計(jì)軸力和剪力的影響，試用卡氏第二定理求圖示剛架上點(diǎn)A、B間的相對線位移和C點(diǎn)處兩側(cè)圖12-11解：(1)求鉸C兩側(cè)截面的相對角位移為求得鉸C兩側(cè)截面的相對角位移，在鉸C兩側(cè)虛設(shè)一對集中力偶，如圖12-12(a)所示，則剛架的應(yīng)變能：由卡氏第二定理得鉸C兩側(cè)截面的相對角位移：圖12-12(a)由于結(jié)構(gòu)具有對稱性，故取其左半部分進(jìn)行分析即可，如圖12-12(b-1)所示?？闪袆偧軓澗胤匠蹋簞t剛架的應(yīng)變能：由卡氏第二定理得AB之間的相對水平位移：(b-1)圖12-12②求鉸C兩側(cè)截面的相對角位移在鉸C兩側(cè)施加一對集中力偶，并建立坐標(biāo)系，如圖12-12(b-2)所示，可列出剛架的彎矩方程：AD段于是剛架的應(yīng)變能：由卡氏第二定理得鉸C兩側(cè)截面的相對角位移：方向與圖中所施加力偶方向相同。(3)①求AB間相對鉛垂位移如圖12-12(c-1)所示，建立坐標(biāo)系。由此可列出剛架各段彎矩方程：圖12-12②求AB間相對水平位移為求得AB間相對水平位移，在A、B截面處分別施加一水平力F?,并建立坐標(biāo)系，如圖DH段：≤編≤2m)12-10由直徑為d的圓桿制成平均半徑為R的開口圓環(huán)，在開口處承受一對垂直于圓環(huán)平面的集中力F作用，如圖12-13所示。材料為線彈性，其彈性模量為E、切變模量為G,試用卡氏第二定理求開口圓環(huán)A、B兩點(diǎn)間相應(yīng)于力F的相對位移。圖12-13解：在題圖中所示載荷作用下，開口圓環(huán)的內(nèi)力方程：彎矩方程：扭矩方程：由此可得該圓環(huán)的應(yīng)變能：由卡氏第二定理可得到AB間相對位移：12-11矩形截面b×h的簡支梁AB,在C點(diǎn)處承受集中荷載F,如圖12-14所示。梁材料為線彈性，彈性模量為E、切變模量為G,需考慮剪力的影響。試用卡氏第二定理求截面C的撓度。圖12-14圖12-15解：如圖12-15所示，由平衡條件求得支反力,并建立如圖所示坐標(biāo)系。由此可列出梁各段彎矩方程及剪應(yīng)力：由上可得該梁考慮剪力影響時(shí)的應(yīng)變能：根據(jù)卡氏第二定理可得到C截面的撓度：12-12彎曲剛度為EI的超靜定梁及其承載情況分別如圖12-16(a)和(b)所示。梁材料為線彈性，不計(jì)剪力的影響，試用卡氏第二定理求各梁的支反力。圖12-16解：(1)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定梁。解除彈簧支座D處多余約束，代之以約束反力X,可得到如圖12-17(a)所示基本靜定系統(tǒng)，建立圖示坐標(biāo)系。由平衡條件可得到A、B處鉸支座的支反力：由此可得到各段彎矩方程及其偏導(dǎo)數(shù)：與原結(jié)構(gòu)相比，可得基本靜定系得變形協(xié)調(diào)條件：其中，由第二卡氏定理得到D點(diǎn)撓度：由此可得各支座約束反力：圖12-17(2)該結(jié)構(gòu)為二次超靜定結(jié)構(gòu)。解除B端約束，代之以約束反力X?、X?,如圖12-17(b)所示，建立圖示坐標(biāo)系。由此可得梁AB的彎矩方程及其偏導(dǎo)數(shù)：由于原結(jié)構(gòu)中B端固定，故可知靜定系統(tǒng)中，B截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零。①根據(jù)=,由卡氏第二定理可得：整理可得：②根據(jù),由卡氏第二定理可得：整理可得：整理可得：12-13材料為線彈性，拉壓剛度為EA的超靜定桁架及其承載情況如圖12-18所示，試用卡氏第二定理求各桿的軸力。圖12-18圖12-19解：該結(jié)構(gòu)為一次超靜定，解除桿2的約束，代之以約束反力X,得基本靜定系統(tǒng)如圖12-19所示。取節(jié)點(diǎn)G為研究對象，由平衡方程可得各桿的內(nèi)力：于是該桿系的應(yīng)變能：由變形協(xié)調(diào)條件知G點(diǎn)相應(yīng)于X的位移為零，根據(jù)卡氏第二定理可得：12-14材料為線彈性，彎曲剛度為EI的各超靜定剛架分別如圖12-20所示，不計(jì)軸力和剪力的影響，試用卡氏第二定理求剛架的支反力。圖12-20解：(1)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定剛架，解除B端約束，代之以約束反力X,得基本靜定系統(tǒng)，如圖12-21(a)所示，建立圖示坐標(biāo)系。由此可得到各段彎矩方程：DA段(2)該結(jié)構(gòu)為二次超靜定剛架，解除A、B端約束，分別代之以約束反力X?、X?,可得基本靜定系統(tǒng)，如圖12-21(b)所示，建立圖示坐標(biāo)系則①由此可得各段彎矩方程：剛架的應(yīng)變能：由變形協(xié)調(diào)條件剛架的水平位移為零，根據(jù)卡氏第二定理得：根據(jù)平衡條件可得到剛架各支反力：圖12-21(3)該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)，解除鉸鏈C的約束，代之以約束反力X,由該結(jié)構(gòu)對稱性知分析左半部分即可，得基本靜定系統(tǒng)如圖12-21(c)所示，建立圖示坐標(biāo)系，由此可列各段彎矩方程及其偏導(dǎo)數(shù)：解得：,其中負(fù)號表示方向與圖中所示方向相反。逆時(shí)針)F=F(←),F=F(←),逆時(shí)針)(4)該結(jié)構(gòu)為二次超靜定剛架，解除A端約束，代之以約束反力X?、X?,可得基本靜定系統(tǒng)，如圖12-21(d)所示，并建立坐標(biāo)系，由此可列出各段彎矩方程及其偏導(dǎo)數(shù)：12-15材料為線彈性，彎曲剛度為EI,扭轉(zhuǎn)剛度為GI-的各圓截面曲桿及其承載情況分別圖12-22解：(1)為求截面A的位移和轉(zhuǎn)角，在截面A處虛設(shè)水平集中力Fx和集中力偶MA。如圖圖12-23(a)①求截面A鉛垂位移②求截面A水平位移根據(jù)卡氏第二定理得到截面A水平位移：③求截面A轉(zhuǎn)角(2)為求截面A的位移和轉(zhuǎn)角，在截面A處虛設(shè)水平集中力X?、豎直方向上的集中力X?和集中力偶X3,如圖12-23(b)所示。圖12-23(b)①求截面A水平位移圖12-23②求截面A鉛垂位移在載荷F和虛設(shè)載荷X?作用下，任一截面上的彎矩方程及M(O)=FR(1-cosθ)+X?R[cos60°+cos③求截面A轉(zhuǎn)角在載荷F和集中力偶X?作用下的彎矩方程及其偏導(dǎo)數(shù)：(3)①求截面A鉛垂位移在原載荷F作用下，根據(jù)卡氏第二定理得到截面A的鉛垂位移：②求截面A水平位移如圖12-23(c-2)所示，為求得截面A水平位移，在A處虛設(shè)水平附加力X?,可得此時(shí)曲③求截面A在水平面xoy平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為求截面A在水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，如圖12-23(c-3)所示，在截面A處虛設(shè)水平面內(nèi)的集中④求截面A在鉛垂面yoz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為求截面A在鉛垂面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，如圖12-23(c-4)所示，在截面A處虛設(shè)鉛垂面內(nèi)集中力偶X3,由圖可知，曲桿的彎矩方程和扭矩方程及偏導(dǎo)：⑤求截面A在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為求截面A在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角，如圖12-23(c-5)所示，在截面A處虛設(shè)集中力偶X4,由根據(jù)卡氏第二定理得到截面A在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角：方向與圖中所虛設(shè)力偶X?的方向一致。12-16由四根材料相同、長度均為1、橫截面面積均為A的等直桿組成的平面桁架，在結(jié)點(diǎn)G處受水平力F?和鉛垂力F?作用，如圖12-24所示。已知各桿材料均為線彈性，其彈性模量為E。試按卡氏第一定理求結(jié)點(diǎn)G的水平位移△G和鉛垂位移△Gy。圖12-24圖12-25解：設(shè)各桿對應(yīng)的伸長量分別為,則根據(jù)圖12-25所示的幾何關(guān)系可得到各桿伸長量與結(jié)點(diǎn)G位移的關(guān)系：①②聯(lián)立①、②兩式解得結(jié)點(diǎn)G的水平位移和鉛垂位12-17由同一材料制成的三桿鉸接成超靜定桁架，并在結(jié)點(diǎn)A承受鉛垂荷載F,如圖12-26且n>1,試用卡氏第一定理計(jì)算各桿的軸力。圖12-26點(diǎn)位移F的關(guān)系為：根據(jù)式得各桿的應(yīng)變：據(jù)題已知應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可得各桿應(yīng)變能密度：故該桿系的應(yīng)變能為：由上式解得A點(diǎn)的位移：*12-18材料為線彈性，彎曲剛度為EI的各梁及其承載情況分別如圖12-27所示，不計(jì)剪力的影響，試用單位力法求各梁截面A的撓度和轉(zhuǎn)角，以及截面C的撓度。圖12-27①求截面A的撓度在截面A處施加豎直向下的單位力，梁AB的彎矩方程：②求截面A的轉(zhuǎn)角在截面A處施加逆時(shí)針的單位力偶，則梁AB的彎矩方程：③求截面C的撓度在截面C處施加豎直向下的單位力，梁AB的彎矩方程：AC段②求截面A的轉(zhuǎn)角AC段BC段AB段AB段BD段②求截面A的轉(zhuǎn)角：在截面A處施加逆時(shí)針的單位力偶，則梁AD的彎矩方程：在截面C處施加豎直向下的單位力，梁AD的彎矩方程：ABAB段*12-19材料為線彈性，拉壓剛度為EA的桿系及其承載情況分別如圖12-28(a)和(b)所圖b:結(jié)點(diǎn)B的水平位移和結(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移。圖12-28解：(1)在題圖已知原載荷的作用下，各桿的軸力為：在結(jié)點(diǎn)A、B間施加一對單位力，如圖12-29(a-1)所示。此時(shí)，各桿的軸力為：結(jié)點(diǎn)A、B間相對位移由得：②求結(jié)點(diǎn)C、D間相對位移在結(jié)點(diǎn)C、D間施加一對單位力，如圖12-29(a-2)所示。此時(shí)，各桿的軸力為：圖12-29①求C點(diǎn)鉛垂位移如圖12-29(b-1)所示，在結(jié)點(diǎn)C處施加豎直向下的單位力，此時(shí)各桿軸力：②求B點(diǎn)的水平位移如圖12-29(b-2)所示，在結(jié)點(diǎn)B處施加水平向右的單位力，此時(shí)各桿軸力：故結(jié)點(diǎn)B的水平位移：*12-20彎曲剛度為EI,扭轉(zhuǎn)剛度為GIF的圓截面剛架及其承載情況分別如圖12-30所示，圖c:截面C的鉛垂位移和角位移。圖12-30解：(1)在原載荷作用下，折桿各段的彎矩方程：圖12-31①求D截面水平位移如圖12-31(a-1)所示，在D截面施加水平向右的單位力，如圖12-31(a-1)所示，此時(shí)折根據(jù)單位力法得到D截面水平位移：②求D截面鉛垂位移如圖12-31(a-2)所示，在D截面施加豎直向下的單位力，此時(shí)折桿的彎矩方程為：如圖12-31(a-3)所示，在D截面施加順時(shí)針的單位力偶，此時(shí)折桿的彎矩方程為：根據(jù)單位力法可得到D截面角位移：(2)建立坐標(biāo)系如圖12-31(b-1)所示坐標(biāo)系。桿系的彎矩方程為：(3)建立如圖12-31(3)建立如圖12-31(c-1)所示坐標(biāo)系。BC段AB段故由單位力法可得C截面鉛垂位移：②求C截面在平行于紙面的平面內(nèi)的角位移如圖12-31(c-2)所示，在C截面施加平行于紙面的單位力偶，可得折桿的彎矩和扭矩方程：段段故C截面在平行于紙面的平面內(nèi)的角位移：負(fù)號表示方向與圖中所施加單位力偶的方向相反，為順時(shí)針。③求C截面在垂直于紙面的平面內(nèi)的角位移如圖12-31(c-3)所示，在C截面施加垂直于紙面的單位力偶，可得折桿的彎矩和扭矩方程：故C截面在垂直于紙面的平面內(nèi)的角位移：方向與圖中所施加單位力偶的方向相同。12-21試用單位力法求解習(xí)題12-15各分題中截面A的水平位移、鉛垂位移及轉(zhuǎn)角。解：(1)如圖12-32(a)所示，在原載荷F作用下，曲桿的彎矩方程：①求A截面的鉛垂位移如圖12-32(a-1)所示，在截面A處施加豎直向下的單位力，則曲桿的彎矩方程：則由單位力法得A截面鉛垂位移：圖12-32如圖12-32(a-2)所示，在截面A處施加水平向右的單位力，則曲桿的彎矩方程：③求A截面的轉(zhuǎn)角如圖12-32(a-3)所示，在截面A處施加順時(shí)針的單位力偶，則曲桿的彎矩方程：則由單位力法得A截面轉(zhuǎn)角：(2)如圖12-32(b)所示，在原載荷F作用下，曲桿的彎矩方程：圖12-32如圖12-32(b-1)所示，在截面A處施加水平向左的單位力，則曲桿的彎矩方程：②求A截面的鉛垂位移如圖12-32(b-2)所示，在截面A處施加豎直向上的單位力，則曲桿的彎矩方程：則由單位力法得A截面鉛垂位移：③求A截面的轉(zhuǎn)角如圖12-32(b-3)所示，在截面A處施加順時(shí)針的單位力偶，則曲桿的彎矩方程：則由單位力法得A截面的轉(zhuǎn)角：(3)做原圖的俯視投影圖，并以符號F表示力F?？傻玫皆谠d荷F作用下曲桿的內(nèi)力方圖12-32①求A截面的鉛垂位移如圖12-32(c-1)所示，在截面A處施加豎直向上的單位力，則曲桿的彎矩方程：則由單位力法得A截面鉛垂位移：②求A截面在豎直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角如圖12-32(c-2)所示，在垂直于截面A的豎直平面內(nèi)施加單位彎曲力偶，則曲桿的彎矩則由單位力法得該平面內(nèi)A截面轉(zhuǎn)角：方向與圖中所施加力偶的方向一致。③求A截面在橫截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角如圖12-32(c-3)所示，在橫截面A內(nèi)施加扭轉(zhuǎn)單位力偶，則曲桿的彎矩方程：12-22變截面梁及其承載情況分別如圖12-33(a)、(b)所示，梁材料為線彈性，彈性模量為E,不計(jì)剪力的影響。試用單位力法求截面B處的撓度和截面A處的轉(zhuǎn)角。圖12-33解：(1)如圖12-33(a)所示，建立如圖坐標(biāo)系。列梁在F力作用下各段的彎矩方程：圖12-33①求截面B的撓度如圖12-33(a-1)所示，在截面B處施加豎直向下的單位力，在該力作用下，梁彎矩方程：BC段則由單位力法得B截面撓度：②求截面A的轉(zhuǎn)角如圖12-33(a-2)所示，在截面A處施加逆時(shí)針的單位力偶，此時(shí)梁的彎矩方程：AB段(2)如圖12-33(b)所示，建立如圖坐標(biāo)系。由于該梁結(jié)構(gòu)和載荷具有對稱性，取梁的左半部分進(jìn)行分析計(jì)算即可，由此可列出梁在F圖12-33如圖12-33(b-1)所示，在截面B處施加豎直向下的單位力，在該力作用下，梁彎矩方程：如圖12-33(b-2)所示，在截面A處施加順時(shí)針的單位力偶，此時(shí)梁的彎矩方程：*12-23矩形截面b×h的簡支梁AB,上表面溫度為t1,下表面的溫度由t?升高至t?(t?>t1),且從上到下表面的溫度按線性規(guī)律變化(如圖12-34)。設(shè)材料的線膨脹系數(shù)為=,試用單位力法求端截面A的轉(zhuǎn)角和跨中截面C的撓度。圖12-34圖12-35①求截面A的轉(zhuǎn)角如圖12-35(a)所示，在截面A處施加順時(shí)針的單位力偶，根據(jù)圖中所示坐標(biāo)系得到此時(shí)②求截面C撓度如圖12-35(b)所示，在截面C處施加豎直向下的單位力，根據(jù)梁和載荷的對稱性，并由12-24兩材料和截面b×h均相同的懸臂梁AC和CD,在C處以活動(dòng)鉸鏈相接，并在梁AC的跨中B處承受鉛垂荷載F,如圖12-36所示。設(shè)材料可視為彈性-理想塑性，屈服極限為=。圖12-36解：(1)求解超靜定梁將梁沿鉸鏈C斷開，代之以約束反力X,如圖12-37所示。圖12-37根據(jù)梁的變形，易知AC梁與CD梁在鉸接點(diǎn)C處的位移相等，即有變形協(xié)調(diào)方程一=。(2)由上分析知，梁截面A先形成塑性鉸，除固定端A外，另一截面也形成塑性鉸時(shí)，結(jié)分析知截面D彎矩大于B截面彎矩，因此D截面較B先形成塑性鉸，即結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài)第13章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究13-1起重機(jī)械中的一部件如圖13-1(a)所示。試問：(1)當(dāng)求部件的臨界力=時(shí)，取圖13-1(b)、(c)中的哪一力學(xué)模型較為合理?(3)若「,則按兩種簡圖所得的一：之比為多少?圖13-1解：(1)選取圖13-1(c)所示力學(xué)模型較為合理。油缸雖不受壓，但是由于活塞桿受壓彎曲時(shí)，力的傳遞可能會(huì)導(dǎo)致油缸的失效，從而影響臨界力的大小。(2)當(dāng)圖13-1(c)中所示壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡，其撓曲線如圖13-2所示，建立如圖13-2所示坐標(biāo)系，可列出各段彎矩方程。圖13-2各段撓曲線近似微分方程為：對于式③,根據(jù)邊界條件可確定積分常數(shù)：①②③④⑤由邊界條件,代入式②可得：⑥將⑦由式⑦解得=的最小非零解，并由可得壓桿的臨界壓力值為：o(3)根據(jù)題意，若1,則代入式⑦可得：解得三最小非零解：故按圖13-1(c)有壓桿的臨界壓力：按圖13-1(b)有壓桿的臨界壓力：13-2一根下端固定、上端自由的細(xì)長等直壓桿如圖13-3(a度中央增設(shè)旁撐(圖b),使其在該處不能橫移。試求加固后壓桿的歐拉臨界力計(jì)算公式，并圖13-3圖13-4解：對于圖13-3(b)在微彎狀態(tài)下保持平衡，其撓曲線由AB、BC兩部分組成，建立坐標(biāo)系，如圖13-4所示。①②③對于式①,由邊界條件可確定積分常,且有：④,代入各一階導(dǎo)方程中得：,代入各一階導(dǎo)方程中得：該方程的最小非零解：加固前該壓桿的臨界壓力：加固前后臨界力的比值：13-3桿系中AB為細(xì)長桿，其彎曲剛度為EI,BD為剛性桿，兩桿在B點(diǎn)處剛性連接，如圖13-5所示。試求桿系在xy平面內(nèi)發(fā)生彈性失穩(wěn)時(shí)的臨界力。圖13-5圖13-6解：桿系中當(dāng)AB處于微彎狀態(tài)時(shí)，其撓曲線如圖13-6所示。此時(shí)，在臨界力作用下，由平衡方程可得支座反力：建立如圖13-6所示坐標(biāo)系，可得AB桿的彎矩方程：則其撓曲線近似微分方程為：上式變形為：上式的通解及其一階導(dǎo)：①根據(jù)邊界條件可得：,代入式①中得：即13-4三根直徑及長度均相同的圓截面桿，下端與剛性塊固結(jié)，兩側(cè)的兩桿(桿2)上端固定，中間桿(桿1)上端自由，并在該自由端作用有軸向壓力F,如圖13-7(a)所示。各桿微彎后的側(cè)視圖如圖13-7(b)所示。圖13-7示的坐標(biāo)系及撓曲線形狀列出的下列撓曲線微分方程，特別是其即(2)上兩列微分方程的解分別為為求桿系能在微彎形態(tài)下保持平衡的最小壓力，亦即臨界力將下列五個(gè)條件代入以上四式，然后根據(jù)A1、B1、A2、B2、δ不能均為零，亦即撓曲線存在的條件來求F。試分析x=0,(0)=0;x=0,F(O)=0;x=1,=(1解：(1)該分析過程是正確的。根據(jù)圖13-7(b)所示坐標(biāo)系可得桿1、2的彎矩方程分別為：(2)該分析過程是正確的。①②(3)該分析過程是正確的。將邊界及連續(xù)性條件代入方程②、③,整理后得：④⑤若使一底有非零解，則必須使④、⑤組成的13-5一端固定、另一端自由的大柔度直桿，壓力F以小偏心距e作用于自由端，如圖13-8圖13-8解：(1)當(dāng)桿受偏心壓力作用而彎曲時(shí)，其任一橫截面x處的彎矩：①(2)分析該梁可知，最大彎矩值發(fā)生在梁的固定端截面上，由彎矩方程可得：(3)桿內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在桿的固定端截面上的凹側(cè)邊緣，值為：解：桿在軸向壓力F和橫向力F?的作用下發(fā)生縱橫彎曲。(1)建立如圖13-10所示的坐標(biāo)系，任意x截面的彎矩：桿的撓曲線微分方程：令,上式可變形為：上述微分方程的通解及其一階導(dǎo)為：由邊界條件確定積分常數(shù)：得桿的撓曲線方程：顯然，最大撓度發(fā)生在自由端，即整理上式并解得：(2)最大彎矩發(fā)生在梁的固定端截面上，由彎矩方程可得：其中，將最大撓度值代入可得：(3)桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在固定端截面的凹側(cè)邊緣上，且為壓應(yīng)力，其值為：與之對應(yīng)的強(qiáng)度條件：13-7直徑d=200mm的大柔度實(shí)心圓截面桿，受力如圖13-11所示。已知F=4.5kN,木材的彈性模量E=10GPa。試求桿的最大正應(yīng)力。圖13-11解：將作用力分解為沿軸線方向的力T和垂直于軸線方向的力I,由此利用習(xí)題13-6的解知桿的最大正應(yīng)力為壓應(yīng)力，且：①其中，桿橫截面面積：橫截面的慣性矩：桿的彎曲截面系數(shù)：將各數(shù)據(jù)代入式①可得該桿的最大正應(yīng)力：13-8矩形截面簡支梁，受軸向壓力和橫向力共同作用，如圖13-12所示。已知F?=40kN,F=2kN,b=40mm,h=80mm,E=200GPa。試求梁的最大正應(yīng)力。圖13-12解：由對稱性可知，梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在梁跨中截面處，且：①其中，梁的最大撓度=根據(jù)疊加原理可得：梁在軸向力梁在軸向力F?單獨(dú)作用下，在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的臨界力=:由力F引起的梁跨中截面的彎矩值為：截面幾何性質(zhì)：橫截面面積：橫截面對中性軸z軸的慣性矩：第14章應(yīng)變分析、電阻應(yīng)變計(jì)法基礎(chǔ)14-1一矩形截面b×h的等直桿，承受軸向拉力F,如圖14-1所示。若在桿受力前，其表面畫有直角∠ABC,桿材料的彈性模量為E、泊松比為v,試求桿受力后，線段BC的變形及圖14-1根據(jù)剪切胡克定律得直角一的改變量：14-2一邊長為10m的正方形平板，變形后各邊仍為直線，其形狀如圖14-2所示。試求平板解：繪制坐標(biāo)軸=,根據(jù)已知,和三值分別作垂直于軸的的直線再從應(yīng)變圓上量得,故一=一，方向如圖14-3所示。圖14-3==400×106,F=14-4用45°應(yīng)變花測得構(gòu)件表面上某點(diǎn)處又因?yàn)闉椤Ｒ阎獥U材料的彈性常數(shù)E=200GPa,v=0.25;圓桿的直徑d=100mm。試求扭轉(zhuǎn)外力偶矩Me。圖14-4解：(1)受扭圓桿橫截面上的最大切應(yīng)力二其中，根據(jù)剪切胡克定律可得外力偶矩M二根據(jù)題意可知==,故根據(jù)主應(yīng)變計(jì)算公式可得：則外力偶矩：14-6由電阻應(yīng)變計(jì)法測得鋼梁表面上某點(diǎn)處F=500×10?,三=-465×10?,已知：E=210GPa,v=0.33。試求二及一=值。解：鋼梁表面的某點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，一|:=,由廣義胡克定律得：聯(lián)立以上兩式得：14-7有一處于平面應(yīng)力狀態(tài)下的單元體，其上的兩個(gè)主應(yīng)力如圖14-5所示。設(shè)E=70GPa,v=0.25。試求單元體的三個(gè)主應(yīng)變，并用應(yīng)變圓求出其最大切應(yīng)變口。圖14-5解：根據(jù)題意可知，單元體上的主應(yīng)力：由廣義胡克定律得，單元體上的三個(gè)主應(yīng)變?yōu)椋豪L制坐標(biāo)軸,故最大切應(yīng)變：圖14-614-8一直徑d=20mm的實(shí)心鋼圓軸，承受軸向拉力F與扭轉(zhuǎn)力偶矩Me的組合作用，如圖14-7所示。已知軸材料的彈性常數(shù)E=200GPa,v=0.3,并通過45°應(yīng)變花測得圓軸表面上a點(diǎn)處的線應(yīng)變?yōu)閍點(diǎn)處的線應(yīng)變?yōu)椋?2×10,圖14-7解：(1)圓軸上的軸向拉力：(2)受扭圓桿橫截面上的最大切應(yīng)力o其中，根據(jù)剪切胡克定律t-G/w,可得外力偶矩o綜上可得外力偶矩：14-9在一鋼結(jié)構(gòu)表面的某點(diǎn)處，用45°應(yīng)變花測得三個(gè)方向的線應(yīng)變?yōu)橛?42×10年，90°=-10×10=。結(jié)構(gòu)材料的彈性常數(shù)E=210GPa,v=0.28。試用應(yīng)變圓求主應(yīng)變，并求該點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值及方向。解：繪制坐標(biāo)軸根據(jù)已知分別作垂直于E軸的直線三、三、三，分別交E軸于點(diǎn)A、B、C。平分AC得圓心O?,在直線「取一=,以O(shè)?A?為半徑作應(yīng)變圓，交8軸于點(diǎn)一=,如圖14-8所示。圖14-814-10在一液壓機(jī)上橫梁的表面上某點(diǎn)處，用45°應(yīng)變花測得三=51.6×10E,一==為鑄鐵，E=110解：繪制坐標(biāo)軸,根據(jù)已知80,8和8分別作垂直于E軸的直線La、L、L,分別交8軸于點(diǎn)A、B、C。平分AC得圓心O?,在直線La上取AA?=BO?,以O(shè)?A?為半徑作應(yīng)變圓，交ε軸于點(diǎn)D?、D?,如圖14-9所示。圖14-9根據(jù)廣義胡克定律求得主應(yīng)力：=1000×10°,=-650×106,曰=750×10?,試求該點(diǎn)處沿x,y方向的應(yīng)變分量，圖14-10解：根據(jù)任意角度的應(yīng)變計(jì)算公式：圖14-11聯(lián)立以上三式，解得該點(diǎn)的應(yīng)變分量：又由主應(yīng)變計(jì)算公式可得主應(yīng)變大?。?4-12在一液壓機(jī)上橫梁的表面上某點(diǎn)處，用60°應(yīng)變花測得三個(gè)方向的線應(yīng)變?yōu)?0°=28.5×10,60=-2.0×10F,==10.0×10F。已知液壓機(jī)材料的彈性常數(shù)E=210GPa,v=0.3。試用應(yīng)變圓求主應(yīng)變，并求該點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值及方向。上任一點(diǎn)B作直線BA、BC,與L夾角均為60°,并且分別交La、L于點(diǎn)A、C。分別作線段BA、BC的中垂線，交于點(diǎn)O?,以O(shè)?為圓心，以O(shè)?A為半徑做應(yīng)變圓，交E軸于Di、D?兩點(diǎn)，如圖14-11所示。主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向相同，即二==。第15章動(dòng)荷載、交變應(yīng)力15-1用鋼索起吊P=60kN的重物，并在第一秒鐘內(nèi)以等加速上升2.5m。試求鋼索橫截面上圖15-115-2一起重機(jī)重P?=5kN,裝在兩根跨度I=4m的20a號工字鋼梁上，用鋼索起吊P?=50kN的重物。該重物在前3s內(nèi)按等加速上升10m。已知[o]=170MPa,不計(jì)梁和鋼索的自重，試圖15-2根據(jù)動(dòng)靜法，重物受慣性力重力P?以及鋼索拉力F三，且梁中最大彎矩發(fā)生在梁跨查型鋼表可知20a工字鋼的彎曲截面系數(shù)故跨中截面上梁的最大正應(yīng)力為：15-3用繩索起吊鋼筋混凝土管如圖15-3所示。如管子的重量P=10kN,繩索的直徑d=40mm,許用應(yīng)力[o]=10MPa,試校核突然起吊瞬時(shí)繩索的強(qiáng)度。圖15-3圖15-4解：分析吊鉤受力，如圖15-7所示，可知：若緩慢吊起，則一，繩索中的最大應(yīng)力：若突然吊起，當(dāng)同時(shí)，繩索的應(yīng)力：故當(dāng)突然起吊加速度超過重力加速度g時(shí)，繩索不滿足強(qiáng)度要求，是不安全的。15-4一桿以角速度w繞鉛垂軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。已知桿長為1,桿的橫截面面積為A,重量為P1。另有一重量為P的重物連接在桿的端點(diǎn)，如圖15-5所示。試求桿的伸長。圖15-5圖15-6桿的受力分析如圖15-6所示。桿上距轉(zhuǎn)動(dòng)中心x處的軸向慣性力分布集度,由此可得長為F桿的慣性力：15-5調(diào)速器由水平剛性桿AB和彈簧片BC剛性連接而成，并在彈簧片的自由端C裝有重調(diào)速器工作時(shí)，以勻角速度繞軸O-0旋轉(zhuǎn)，試由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度求調(diào)速器的許可轉(zhuǎn)速，以圖15-7根據(jù)強(qiáng)度條件此時(shí)C點(diǎn)的撓度：15-6圖15-8所示機(jī)車車輪以等角速n=300r/min旋轉(zhuǎn)，兩輪之間的連桿AB的橫截面為矩連桿AB橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力。圖15-8解：根據(jù)題意可得，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度：AB桿作平移，當(dāng)連桿AB運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)，慣性力方向向下，梁上的均布載荷q最大，連桿上的最大彎矩發(fā)生在跨中截面上，為：代入數(shù)據(jù)得故連桿AB上最大正應(yīng)力：15-7圖15-9所示重量為P、長為1的桿件AB,可在鉛垂平面內(nèi)繞A點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)桿以等角速w繞鉛垂軸y旋轉(zhuǎn)時(shí)，試求：(2)桿上離A點(diǎn)為x處橫截面上的彎矩和桿的最大彎矩；圖15-9根據(jù)動(dòng)靜法，由根據(jù)動(dòng)靜法，由AB桿的平衡條件：可得即(2)如圖15-10(a)所示，桿上x處截面的彎矩為：綜上，當(dāng)一時(shí)，二(舍去);圖15-10(3)彎矩圖如圖15-10(b)所示。由(2)知，處有彎矩極大值，且根據(jù)彎矩二階導(dǎo)數(shù)為零，求得在處出現(xiàn)拐15-8在直徑d=100mm的軸上，裝有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Io=0.5kNm.s2的飛輪，軸以300r/min的勻角速度旋轉(zhuǎn)，如圖15-11所示?，F(xiàn)用制動(dòng)器使飛輪在4秒內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)軸的質(zhì)量和軸承圖15-1115-9重量為P=5kN的重物，自高度h=15mm處自由下落，沖擊到外伸梁的C點(diǎn)處，如圖15-12所示。已知梁為20b號工字鋼，其彈性模量E=210GPa,不計(jì)梁的自重，試求梁橫截圖15-12截面慣性矩：=,彎曲截面系數(shù)：如圖15-12所示，在重物P靜載作用時(shí)，C點(diǎn)的撓度：重物P靜載作用時(shí)，梁在B截面處有最大彎矩，產(chǎn)生的最大靜應(yīng)力：15-10圖15-13所示為等截面剛架，重物(重量為P)自高度h處自由下落沖擊到剛架的A點(diǎn)處。已知P=300N,h=50mm,E=200GPa,不計(jì)剛架的質(zhì)量，以及軸力、剪力對剛架變形的影響，試求截面A的最大鉛垂位移和剛架內(nèi)的最大圖15-13則重物P自由下落，沖擊動(dòng)荷因數(shù)為：15-11重量P=2kN的冰塊，以v=1m/s的速度沿水平方向沖擊在木樁的上端，如圖15-14圖15-1415-12長度為1,橫截面面積為A的鋼桿，以速度v=2m/s水平撞擊剛性壁，如圖15-15所示。設(shè)鋼的密度p=7.95×103kg/m3,彈性模量E=210GPa。若鋼桿沖擊時(shí)產(chǎn)生的橫截面上圖15-15沖擊時(shí)，沖擊物的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為變形能，根據(jù)能量守恒一得：15-13長度為F、彎曲剛度為EI的懸臂梁AB,在自由端裝有絞車，將重物P以勻速v下降。當(dāng)鋼繩下降至長度為時(shí)，鋼繩突然被卡住，如圖15-16所示。若鋼繩的彈性模量為E,橫截面面積為A,試求鋼繩橫截面上的動(dòng)應(yīng)力。圖15-16解：懸臂梁AB對應(yīng)端點(diǎn)B撓度的剛度系數(shù);鋼繩的剛度系數(shù)其中，系統(tǒng)動(dòng)能減少量：;勢能減少量：式中，=為系統(tǒng)總變形引起的重物位移，Ast為重物靜載引起的重物位移重量為P?=15N的物體上，如圖15-17所示。已知彈簧的平均直徑D=40mm,簧桿直徑d=6mm,彈簧有效圈數(shù)n=12,其切變模量G=80GPa。若將沖擊物P和物體P?當(dāng)作剛體，彈簧圖15-17解：設(shè)P撞上P?后，速度為vi,則根據(jù)動(dòng)量守恒定理有,則：沖擊物P和物體P?的動(dòng)能變化：15-15一截面為矩形b×8、平均半徑為R的圓環(huán)，繞鉛垂軸O-0以等角速度w旋轉(zhuǎn)，如圖15-18所示。圓環(huán)材料的密度為p,彈性模量為E,不計(jì)軸力和剪力的影響，試求：圖15-18解：(1)根據(jù)圓環(huán)結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，取圓環(huán)的二分析即可。圖15-19(a)如圖15-19(a)所示，為求得B截面轉(zhuǎn)角，在B截面施加一逆時(shí)針的單位力偶，可得彎矩則AB段彎矩方程為：(2)在A、C截面上施加一對反向單位力，如圖15-最大應(yīng)力最小應(yīng)力應(yīng)力比圖15-200015-17圖15-21(a)所示為直徑d=30mm的鋼圓軸，受橫向力F?=0.2kN和軸向拉力F?=5kN的聯(lián)合作用。當(dāng)軸以勻角速o轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試?yán)L出跨中截面上k點(diǎn)處的正應(yīng)力隨時(shí)間變化的曲圖15-21由此可繪制k點(diǎn)正應(yīng)力隨時(shí)間變化的曲線如圖15-22所示。圖15-22圖15-2215-18某裝配車間的吊車梁由22a號工字鋼制成，并在其中段焊上兩塊橫截面為120mm×10mm、長度為2.5m的加強(qiáng)鋼板，如圖15-23所示。吊車每次起吊50kN的重物，在略去吊車及鋼梁的自重時(shí)，該吊車梁所承受的交變荷載可簡化為F三=50kN,F三=0。已知焊接段橫截面對中性軸z的慣性矩IF=6574×10-8m?。焊接段采用手工焊接，屬于第3圖15-23解：(1)計(jì)算跨中截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力幅時(shí)，跨中截面下邊緣上有最大拉應(yīng)力，且：故應(yīng)力幅MPa。(2)確定許用應(yīng)力幅查教材表6-1得第三類構(gòu)件：故焊接量的常幅疲勞許用應(yīng)力幅：綜上，工作應(yīng)力幅小于許用應(yīng)力幅，故梁滿足疲勞強(qiáng)度要求。第16章材料力學(xué)性能的進(jìn)一步研究16-1含有長度為2a的I型貫穿裂紋的無限大平板，材料為30CrMnSiNiA,在遠(yuǎn)離裂紋處受均勻拉應(yīng)力σ作用，如圖16-1所示。已知材料的平面應(yīng)變斷裂韌性=(84MPa)三，裂紋的臨界長度a=8.98mm。試求裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)的拉應(yīng)力σ值。圖16-1解：當(dāng)裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)，裂紋達(dá)到臨界長度ac,根據(jù)脆斷判據(jù)有：16-2用矩形截面純彎曲梁來測定材料的平面應(yīng)變斷裂韌性值時(shí)，所用梁的高度為b=90mm,圖16-2第三部分章節(jié)題庫第10章彎曲問題的進(jìn)一步研究1.如圖10-1所示薄壁截面梁承受分布載荷q的作用，已知粱的長度為1,兩端簡支，支座慮約束扭轉(zhuǎn)的影響)。圖10-1解：(1)求彎曲中心位置在與y軸夾角處θ處，其剪應(yīng)力為①圖10-2由圖12-4得設(shè)彎曲中心在A點(diǎn)處，取O點(diǎn)為力矩中心得則將分布載荷向彎曲中心簡化后，梁承受平面彎曲載荷q所示圖10-3B截面的彎矩為最大拉應(yīng)力在b點(diǎn)，最大壓應(yīng)力在b'點(diǎn)B截面的扭矩為最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力發(fā)生在周邊處，在θ=0處沿壁厚的分布及方向如圖10-4所示。圖10-4彎曲剪應(yīng)力在θ=0處最大，故B截面的最大彎曲剪應(yīng)力為方向如圖10-5所示，沿壁厚均勻分布圖10-5圖10-6因此B截面剪應(yīng)力分布如圖10-6所示，最大剪應(yīng)力為2.試確定如圖10-7所示開口薄壁圓環(huán)截面的剪心位置。圖10-7圖10-8解：如圖10-8所示，剪心E在對稱軸z上，下面確定E與y軸的距離ez。截面對z軸的慣角度為一之間圓弧截面對z軸的靜矩為3.一木梁因承載力不足，在梁的頂部和底部用鋼板加固，如圖10-9(a)所示，鋼板和木材的彈性模量和許用應(yīng)力分別為E?=210GPa,[σ]?=160MPa,E?=10.5GPa,[o]?=10Mpa。試圖10-9其相當(dāng)截面見圖(b),對中性軸z的慣性矩為得得4.試確定圖10-10所示各截面的彎曲中心。圖10-10解：圖10-10(a),(b)所示截面均有一個(gè)對稱軸z,所以彎曲中心必在截面的對稱軸z因彎曲變形而引起彎曲切應(yīng)力。且當(dāng)剪力方向指向下時(shí)，切應(yīng)力流的方向如圖(a),(b)的切向內(nèi)力必然沿著它的中線。兩個(gè)矩形上的內(nèi)力相交于它們中線的交點(diǎn)A,于是整個(gè)截面的切向內(nèi)力系的合力，亦即截面上的剪力，也必然通過這個(gè)交點(diǎn)A,所以這一交點(diǎn)A就是5.圖10-11所示槽形截面梁在xy面內(nèi)產(chǎn)生平面彎曲(這里x代表梁的軸線方向，y代表橫截面的非對稱形心主軸，xy面為梁的非對稱形心主慣性平面)。已知橫截面上剪力為Fs,圖10-11解：(1)求翼緣與腹板上的彎曲切應(yīng)力。上、下翼緣與腹板上任一點(diǎn)的彎曲切應(yīng)力均可用公式進(jìn)行計(jì)算，其中S的計(jì)算變量不同。對于上下翼緣，為翼緣面積對中性軸的靜矩，變量為中線弧長s,其值為對于腹板，三為腹板面積對中性軸z的靜矩，變量為y,其值為記槽形截面對中性軸z的慣性矩為Iz,由此可得翼緣和腹板上的切應(yīng)力分別為其方向由切應(yīng)力流確定，如圖10-11(b)所示。(2)繪制彎曲切應(yīng)力沿截面中線的分布規(guī)律圖。圖10-126.圖10-13所示外伸梁，承受集中載荷F與矩為Me的力偶作用，且Me=FA,試?yán)闷娈惡瘮?shù)法計(jì)算橫截面A的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。圖10-13①將上述條件分別代入式①,得積分常數(shù)：將所得積分常數(shù)值及x=0代入式①,即得截面A的撓度為7.一圓形薄壁梁，橫截面如圖10-14所示，剪力Fs位于對稱軸y,且方向向上，試畫橫截圖10-14解：(1)問題分析。對稱彎曲時(shí)，橫截面上的彎曲切應(yīng)力分布對稱于截面的縱向?qū)ΨQ軸y,因此，在該對稱軸上各點(diǎn)處，不存在垂直于該軸方向的切應(yīng)力。由此可見，圓環(huán)形閉口薄壁梁縱向?qū)ΨQ軸上A點(diǎn)處的彎曲切應(yīng)力為零，其切應(yīng)力分布與A處開口的圓環(huán)形薄壁梁相同(圖(b)所示)。(2)建立彎曲切應(yīng)力方程。如圖(a)所示，設(shè)中心線上任一點(diǎn)B的位置用極角表示，則該點(diǎn)處的彎曲切應(yīng)力為②將式②與上式代入式①,于是得(3)計(jì)算最大彎曲切應(yīng)力。根據(jù)式③,得圓環(huán)形薄壁梁的彎曲切應(yīng)力分布如圖(c)所示。8.圖10-15所示懸壁梁，左半部承受集度為q的均布載荷作用，試?yán)闷娈惡瘮?shù)法建立梁的撓曲線方程。設(shè)彎曲剛度EI為常值。圖10-15解：為了利用奇異函數(shù)建立彎矩的通用方程，將作用在梁左半部的均布載荷q,延展至梁的右端C(圖(b)所示),同時(shí)，在延展部分施加反向同值均布載荷，于是得彎矩通用方程為將上述條件分別代入式①與②,得積分常數(shù)：將所得C與D值代入式②,得撓曲線的通用方程為由此得AB與BC段的撓曲線方程分別為第11章考慮材料塑性的極限分析1.在圖11-1所示靜不定結(jié)構(gòu)中，設(shè)三桿的材料相同，橫截面面積同為A。試求使結(jié)構(gòu)開始出現(xiàn)塑性變形的載荷F?、極限載荷Fp。圖11-1①載荷繼續(xù)增加，中間桿的軸力FN?保持為Aos,兩側(cè)桿件仍然是彈性的。直至兩側(cè)的桿件的軸力Fn,也達(dá)到Aos,相應(yīng)的載荷即為極限載荷Fp。這時(shí)由節(jié)點(diǎn)的平衡方程知。加載過程中，載荷與點(diǎn)位移的關(guān)系已表示2.在純彎曲情況下，計(jì)算矩形截面梁和圓截面梁開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)的彎矩M?和極限彎距Mp。圖11-2矩形截面和圓截