2024年北京西城區(qū)高一上學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題含答案解析

第1頁/共1頁北京市西城區(qū)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高一數(shù)學(xué)2024.1本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知命題p：?x＜1，x2≤1，則￢p為（）A.?x≥1，x2≤1 B.?x＜1，x2＞1 C.?x＜1，x2＞1 D.?x≥1，x2＞13.如圖，在正六邊形中，（）A B. C. D.4.若，則（）A. B. C. D.5.已知，則的最小值為（）A.－2 B.0 C.1 D.6.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（）A. B. C. D.7.已知，，則（）A. B. C. D.8.已知集合，，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知為非零向量，且，，則“”是“存在實數(shù)，使得”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.一種細(xì)胞的分裂速度（單位：個/秒）與其年齡（單位：歲）的關(guān)系可以用下面的分段函數(shù)來表示：其中，而且這種細(xì)胞從誕生到死亡，它的分裂速度變化是連續(xù)的．若這種細(xì)胞5歲和60歲的分裂速度相等，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為_____________.12.下面莖葉圖記錄的是甲、乙兩位籃球運動員在最近場比賽中的得分，則甲得分中位數(shù)是_____，乙得分的方差為_____．13.已知,為一組不共線的向量，且向量，，能使得的一組實數(shù)的值可以為_____，_____.14.函數(shù).若，則的值為_____；若有兩個零點，則的取值范圍是_____.15.記函數(shù)的定義域為，若存在非負(fù)實數(shù)，對任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).①所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)；②具有性質(zhì)；③若，則一定存在正實數(shù)，使得具有性質(zhì)；④已知，若函數(shù)具有性質(zhì)，則.其中所有正確結(jié)論的序號是_____.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；（3）寫出函數(shù)的值域（結(jié)論不要求證明）.17.每年3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的飲食和適當(dāng)?shù)倪\動，是國際社會公認(rèn)的三項健康標(biāo)準(zhǔn).某校高一某班學(xué)生某天睡眠時間的頻率分布直方圖如圖所示（樣本數(shù)據(jù)分組為，單位：小時）.（1）求圖中的值，估計該校高一學(xué)生該天睡眠時間不小于9小時的頻率；（2）從該校高一學(xué)生中隨機抽取2人，用頻率估計概率，計算這兩位學(xué)生至少有1人該天睡眠時間不小于9小時的概率.18.已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知，使存在并且唯一，并完成下列問題.（1）求的值；（2）已知函數(shù)有兩個不同的正數(shù)零點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的值.條件①：；條件②：，；條件③：，.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.19.2023年10月17日至18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行，成為紀(jì)念“一帶一路”倡議十周年最隆重的活動.此次活動主題為“高質(zhì)量共建‘一帶一路’，攜手實現(xiàn)共同發(fā)展繁榮”，而作為“一帶一路”重要交通運輸?shù)闹袣W班列越來越繁忙.下表是從2018年到2022年，每年中歐班列運行的列數(shù)（單位：萬列）.年份20182019202020212022運行列數(shù)0.630821.241.51.6（1）計算中歐班列從2018到2022年的平均運行列數(shù)；（2）從2018年到2022年這5年中隨機選取2年，求這兩年運行列數(shù)和大于2.4（單位：萬列）的概率；（3）設(shè)2018年，2019年，2020年運行列數(shù)的方差為，2020年，2021年，2022年運行列數(shù)的方差為，從2018年到2022年這5年的運行列數(shù)的方差為，試判斷，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）求函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點坐標(biāo)；（3）若函數(shù)圖象恒在直線的下方，求的取值范圍.21.對于函數(shù)，記所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合；所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合.（1）分別判斷下列函數(shù)是否為集合中的元素，并說明理由，①；②；（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；（3）若，求證：是的充分不必要條件.北京市西城區(qū)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高一數(shù)學(xué)2024.1本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A2.已知命題p：?x＜1，x2≤1，則￢p為（）A.?x≥1，x2≤1 B.?x＜1，x2＞1 C.?x＜1，x2＞1 D.?x≥1，x2＞1【答案】C【解析】【分析】特稱命題否定為全稱命題，改量詞，否結(jié)論即可【詳解】命題p：?x＜1，x2≤1，則￢p：?x＜1，x2＞1；故選：C．3.如圖，在正六邊形中，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)換相等向量即可.【詳解】.故選：C4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用函數(shù)的單調(diào)性解逐一判斷四個選項即可.【詳解】因為為增函數(shù)，所以時，有，A錯誤；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不一定有，B錯誤；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，，若，同號，則，若，異號，則，所以C錯誤；為增函數(shù)，，則，所以，所以，D正確.故選：D5.已知，則的最小值為（）A.－2 B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求得最小值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．故選：B．6.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出，，，四點坐標(biāo)，利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，水平方向為軸，豎直方向為軸建立平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系下，，,，，所以,，，．故選：B7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將指數(shù)式化為對數(shù)式得到的表示，然后根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求解出的值.【詳解】因為，所以，因為，所以故選：B.8.已知集合，，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，，因為，且，所以，計算補集即可.詳解】由，可得，即，所以；由，可得，即，所以；若，且，則有.故選：D9.已知為非零向量，且，，則“”是“存在實數(shù)，使得”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“”與“存在實數(shù)，使得”的互相推出情況判斷屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時，則，所以，所以，所以，所以，所以同向，所以；當(dāng)“存在實數(shù)，使得且為非零向量”成立時，此時共線，又因為，不妨取，所以，此時不成立；所以“”是“存在實數(shù)，使得”成立的充分不必要條件，故選：A.10.一種細(xì)胞的分裂速度（單位：個/秒）與其年齡（單位：歲）的關(guān)系可以用下面的分段函數(shù)來表示：其中，而且這種細(xì)胞從誕生到死亡，它的分裂速度變化是連續(xù)的．若這種細(xì)胞5歲和60歲的分裂速度相等，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得以及，解方程組即可求出.【詳解】由已知細(xì)胞5歲和60歲的分裂速度相等，即，所以，整理得①，又分裂速度變化是連續(xù)的，則，整理得，所以，解得故選：B,第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式，列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，要使函數(shù)有意義，則需滿足，解得且.所以函數(shù)的定義域為：故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)定義域求解，是基礎(chǔ)題.12.下面莖葉圖記錄的是甲、乙兩位籃球運動員在最近場比賽中的得分，則甲得分的中位數(shù)是_____，乙得分的方差為_____．【答案】①.②.【解析】【分析】利用中位數(shù)的定義和方差公式可求得結(jié)果.【詳解】甲得分由小到大排列依次為：、、、、，所以，甲得分的中位數(shù)為，乙得分由小到大排列依次為：、、、、，所以，乙得分的平均數(shù)為，方差為.故答案為：；.13.已知,為一組不共線的向量，且向量，，能使得的一組實數(shù)的值可以為_____，_____.【答案】①.1②.4（答案不唯一，即可）【解析】【分析】根據(jù)，可知，由平面向量基本定理可得.【詳解】因為，所以存在實數(shù)使得，即，，由平面向量基本定理可得：，，即，所以.可取故答案為：1；414.函數(shù).若，則的值為_____；若有兩個零點，則的取值范圍是_____.【答案】①②.【解析】【分析】若，代入計算出的值，再計算的值；先確定出在各自定義域內(nèi)各有一個零點，然后列出關(guān)于零點的不等式組，由此求解出的取值范圍.【詳解】若，則；因為均至多有一個零點，所以在內(nèi)有一個零點，在內(nèi)有一個零點，且的零點為，的零點為，所以，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，所以的取值范圍是，故答案為：；.15.記函數(shù)的定義域為，若存在非負(fù)實數(shù)，對任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).①所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)；②具有性質(zhì)；③若，則一定存在正實數(shù)，使得具有性質(zhì)；④已知，若函數(shù)具有性質(zhì)，則.其中所有正確結(jié)論的序號是_____.【答案】①②④【解析】【分析】利用性質(zhì)可判斷①；利用基本不等式結(jié)合性質(zhì)可判斷②；根據(jù)函數(shù)的值域可判斷③；根據(jù)已知條件可得出可得出，結(jié)合不等式恒成立可得出的取值范圍，可判斷④.【詳解】對于①，設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意的，，所以，所有偶函數(shù)都具有性質(zhì)，①對；對于②，對任意的，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，又因為，故對任意的，，所以，具有性質(zhì)；對于③，因為，且函數(shù)的值域為，所以，不存在實數(shù)，使得，③錯；對于④，，因為，易知，因為，則，則，所以，，即，所以，，要使得恒成立，則，又因為，則，所以，若函數(shù)具有性質(zhì)，則，④對.故答案為：①②④.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；（3）寫出函數(shù)的值域（結(jié)論不要求證明）.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先分析定義域是否關(guān)原點對稱，然后根據(jù)與的關(guān)系作出判斷；（2）先取值，然后再計算的正負(fù)，由此可完成證明；（3）先根據(jù)解析式分析時的值域，再結(jié)合奇偶性可求的值域.【小問1詳解】是奇函數(shù).證明如下：的定義域為，因為，都有，且，所以是奇函數(shù).【小問2詳解】任取，且，，因為，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在上是減函數(shù).【小問3詳解】函數(shù)的值域為.證明如下：當(dāng)時，，又因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，綜上可知，值域為.17.每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的飲食和適當(dāng)?shù)倪\動，是國際社會公認(rèn)的三項健康標(biāo)準(zhǔn).某校高一某班學(xué)生某天睡眠時間的頻率分布直方圖如圖所示（樣本數(shù)據(jù)分組為，單位：小時）.（1）求圖中的值，估計該校高一學(xué)生該天睡眠時間不小于9小時的頻率；（2）從該校高一學(xué)生中隨機抽取2人，用頻率估計概率，計算這兩位學(xué)生至少有1人該天睡眠時間不小于9小時的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為求解出的值，根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)可求睡眠時間不小于9小時的頻率；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖先求各睡眠時間段的頻率并以此作為概率，然后根據(jù)對立事件的概率求解出結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以；該校高一學(xué)生該天睡眠時間不少于9小時的頻率為：.【小問2詳解】由題知，該校高一學(xué)生該天睡眠時間為小時的頻率分別為：，，，，，用頻率估計概率，該校高一學(xué)生該天睡眠時間為小時的概率分別為，，，，，記從該校高一學(xué)生中隨機抽取2人，這兩位學(xué)生至少有一人該天睡眠時間不小于9小時為事件，則.18.已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知，使存在并且唯一，并完成下列問題.（1）求的值；（2）已知函數(shù)有兩個不同的正數(shù)零點.（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┤?，求的值.條件①：；條件②：，；條件③：，.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）若選條件①②：先計算出的值，再根據(jù)對稱軸求解出，則結(jié)果可知；若選條件①③：先計算出的值，再根據(jù)最小值確定出對稱軸，所以可求，則結(jié)果可知，若選擇②③，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知存在但不唯一；（2）（i）先表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的零點分布列出不等式組，由此求解出的取值范圍；（ii）根據(jù)以及（i）中的范圍求解出的值.【小問1詳解】若選擇條件②③：則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，存在但不唯一；若選條件①②：由①得，由②得圖象的對稱軸為直線，所以，所以，滿足要求；若選條件①③：由①得，由③得為的最小值，所以對稱軸，所以，滿足要求.【小問2詳解】由（1）知，所以；（?。┮驗橛袃蓚€不同的正數(shù)零點，所以，所以或，解得，所以的取值范圍是.（ⅱ）因為，所以，又因為，所以.19.2023年10月17日至18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行，成為紀(jì)念“一帶一路”倡議十周年最隆重的活動.此次活動主題為“高質(zhì)量共建‘一帶一路’，攜手實現(xiàn)共同發(fā)展繁榮”，而作為“一帶一路”重要交通運輸?shù)闹袣W班列越來越繁忙.下表是從2018年到2022年，每年中歐班列運行的列數(shù)（單位：萬列）.年份20182019202020212022運行列數(shù)0.630.821.241.51.6（1）計算中歐班列從2018到2022年的平均運行列數(shù)；（2）從2018年到2022年這5年中隨機選取2年，求這兩年運行列數(shù)和大于2.4（單位：萬列）的概率；（3）設(shè)2018年，2019年，2020年運行列數(shù)的方差為，2020年，2021年，2022年運行列數(shù)的方差為，從2018年到2022年這5年的運行列數(shù)的方差為，試判斷，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）萬列（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)計算公式求解出結(jié)果；（2）列出所有可能的結(jié)果，然后分析滿足要求的結(jié)果數(shù)，根據(jù)比值求解出對應(yīng)概率；（3）根據(jù)運行列數(shù)的數(shù)據(jù)變化情況作出判斷.【小問1詳解】從2018年到2022年運行列數(shù)的平均值為：，所以中歐班列從2018到2022年的平均運行列數(shù)為萬列.【小問2詳解】從2018年到2022年隨機選取2年，所有可能的結(jié)果有10種，它們是：，，用表示“這兩年運行列數(shù)和大于萬列”這一事件，則中的結(jié)果有4個，它們是，故所求的概率.【小問3詳解】.（理由：這三年運行列數(shù)增長較慢，數(shù)據(jù)變化幅度小，所以方差最??；，這五年運行列數(shù)增長很快，且的運行列數(shù)約是年的倍，數(shù)據(jù)變化幅度很大，所以方差最大.）20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）求函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點坐標(biāo)；（3）若函數(shù)的圖象恒在直線的下方，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)指對數(shù)的運算求解即可；（2）代入可得，再整理成關(guān)于的二次方程求解即