2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的對稱（附答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的對稱

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，點尸是NAOB內(nèi)任意一點，OP=5c7〃，點M和點N分別是射線OA和射線。8上

2.如圖，等腰三角形A8C的底邊8c長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線石廠分別交

AC,A8邊于￡尸點,若點。為8C邊的中點，點M為線段E尸上一動點，則△CQM

周長的最小值為（）

3.如圖，四邊形A8CD中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、尸分別是8C、。。上的點,

當(dāng)廠的周長最小時，NE4F的度數(shù)為（）

4.如圖，點P是NAO6為任意一點，且ZAO4=40°,點M和點N分別是射線OA和射

線03上的動點，當(dāng)△PMN周長取最小值時，則NMPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,A。、CE是△ABC的兩條中線，，是A。上一個動點,，則

下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

6.如圖，在矩形A8C。中，AB=5,AO=3,動點〃滿足S△陶片聶矩形A8m則點P到A、

J

B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）

D____________________C

A.V29B.>/34C.5V2D.同

7.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

?穆c_@O?

8.如圖，在RtZ\ABC中：/ACB=90°,AC=6,BC=8,A。是。的平分線.若P,

Q分別是4D和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

9.如圖，△ABC中，ZBAC=90°,A8=3,AC=4,點。是BC的中點，將△A4。沿AO

翻折得到△?1￡￡>,連C￡則線段CE的長等于（）

DB

10.如圖，在2X2的方格紙中有一個以格點為頂點的AABC,則與△ABC成軸對稱且以格

點為頂點三角形共有（）

C.5個D.6個

二.填空題（共5小題）

11.如圖，44。8=30°,點M、N分別在邊04、08上，且0M=l,0N=3,點P、Q

分別在邊08、上，貝hWP+PQ+QN的最小值是

12.如圖，矩形A8CQ中，AB=3,BC=4,點E是BC邊上一點,連接AE,把N8沿4E

折疊，使點B落在點B'處.當(dāng)△CEB'為直角三角形時，8E的長

13.如圖，正方形/WC。的邊長是16,點E在邊人B上，人石=3,點F是邊BC上不與點8,

。重合的一個動點，把△￡1"沿EF折疊，點B落在6處.若夕恰為等腰三角形,

則。夕的長為

A

14.如圖矩形ABC力中，AD=5,AB=7,點E為。C上一個動點，把AAOE沿AE折疊,

當(dāng)點。的對應(yīng)點D,茬在NABC的角平分線上時,。E的長為.

15.如圖是一張矩形紙片.點E在4B邊上，把△BCE沿直線CE對折，使點B落在對角線

4c上的點尸處，連接力F.若點E,F,D在同一條直線上，AE=2,則。F=,

BE=.

16.如圖在平面直角坐標系中，AABC各頂點的坐標分別為：A(4,0),B(-1,4),C

(-3,1)

(1)在圖中作B1。'使4A'B'C和△A8C關(guān)于x軸對稱:

(2)寫出點4',C’的坐標.

17.如圖所示，在平面直角坐標系中，已知人(0,I)、B(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐標系中畫出△48C,則△ABC的面積是；

(2)若點。與點C關(guān)于y軸對稱，則點。的坐標為；

(3)已知P為x軸上一點，若△AB尸的面積為4,求點P的坐標.

18.(I)如圖1,在A8直線一側(cè)C、。兩點，在A8上找一點P,使C、。、。三點組成的

三角形的周長最短，找出此點并說明理由.

(2)如圖2,在NAOB內(nèi)部有一點P,是否在。4、OB上分別存在點E、F,使得E、尸、

。三點組成的三角形的周長最短，找出￡、尸兩點，并說明理由.

(3)如圖3,在2人08內(nèi)部有兩點M、N,是否在08上分別存在點E、F,使得七、

F、M、N,四點組成的四邊形的周長最短，找出E、”兩點，并說明理由.

D

c

月---------------BO------------BOL----------------B

圖1圖2圖3

19.如圖，在AA皮？中，/A8C=45°,點〃為邊3。上的一點，6。=36尸，且/%8=1￡°,

點C關(guān)于直線出的對稱點為。，連接30,又△APC的PC邊上的高為A”

(I)求N8P。的大??；

(2)判斷直線BQ,AH是否平行？并說明理由；

(3)證明：ZBAP=ZCAH.

20.已知點P在NM0N內(nèi).

(1)如圖1,點尸關(guān)于射線OM的對稱點是G,點P關(guān)于射線ON的對稱點是從連接

OG.OH、OP.

①若/M0N=50°,則NGO〃=

②若PO=5,連接G”,請說明當(dāng)NMON為多少度時，GH=10；

(2)如圖2,若NMON=6U。，A、B分別是射線0做、ON上的任意一點，當(dāng)△陰B的

周長最小時，求NAP8的度數(shù).

圖1圖2

H

2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的對稱

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，點P是N4OB內(nèi)任意一點，OP=5c〃?，點M和點N分別是射線0A和射線。8上

的動點，△PMN周長的最小值是5c〃?，則NAO8的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】B

【分析】分別作點P關(guān)于OA、。8的對稱點C、D,連接CQ,分別交OA、OB于點M、

N,連接OC、OD、PM、PN、MN,由對稱的性質(zhì)得出PM=DM,OP=OC,ZCOA=

NPOA；PN=CN,OP=OD,/DOB=/POB,得出/AO8=*/C。。，證出△OCO是

等邊三角形，得出,即可得出結(jié)果.

【解答】解：分別作點。關(guān)于04、O"的對稱點C、D,連接CD,

分別交OA、OB于點、M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

???點P關(guān)于04的對稱點為D,關(guān)于0B的對稱點為C,

:?PM=DM,OP=OD,NOOA=/PQ4；

???點P關(guān)于0B的對稱點為C,

:.PN=CN,OP=OC,/COB=/POB,

：.OC=OP=OD,/AOB=3/COD,

???△PMN周長的最小值是5cm,

:,PM+PN+MN=5,

:.DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：.OC=OD=CD,

即△0C。是等邊三角形,

???/。。。=60°,

/.ZAOB=30°；

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌

握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，等腰三角形48c的底邊8C長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線正產(chǎn)分別交

AC,AB邊于E,F點.若點。為BC邊的中點，點M為線段E尸上一動點，則△COM

周長的最小值為（）

C.10D.12

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【答案】C

【分析】連接AD,由干AABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD_L8C,再根

據(jù)三角形的面積公式求出A。的長，再再根據(jù)E/是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)

于直線E尸的對稱點為點4,故4。的長為CM+M。的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接

???△ABC是等腰三角形，點。是8C邊的中點，

：,AD±BC,

：.S^ABC=\nC*AD=1x4XAO=16,解得AO=8,

???E廠是線段4C的垂直平分線，

???點C關(guān)于直線EF的對稱點為點4,

：,AD的長為CM+MD的最小值，

11

???△COM的周長最短=CM+MO+CO=AO+W8C=8+5X4=8+2=IO.

乙乙

故選：C.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答

此題的關(guān)鍵.

3.如圖，四邊形A3c。中，ZC=50°,N8=NO=90°,E、尸分別是8C、OC上的點，

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】。

【分析】據(jù)要使△4￡戶的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，

作出A關(guān)于8c和CO的對稱點A',A",即可得出/A4'E+NA"=ZHAA'=50°,

進而得出/A￡F+NAFE=2(ZAAfE+ZA"),即可得出答案.

【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A',A〃，連接A'A〃，交BC于E,交

CO于尸，則A'A"即為△人石廠的周長最小值.作D4延長線A”，

???NQA4=l30°，

AZHAA1=50°,

/.ZAA1E+NA”=ZHAA，=50°,

ZEA1A=ZEAA'.ZFAD=ZA'r,

：,ZEAA'+NA"A尸=50°,

???N￡AF=1300-50°=80°,

故選：D.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三

角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出產(chǎn)的位置是解題關(guān)鍵.

4.如圖，點尸是N4QB為任意一點，且NAO8=40°,點M和點N分別是射線。4和射

線08」二的動點，當(dāng)周長取最小值時，則NMPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100"C.50°D.40°

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】B

【分析】分別作點P關(guān)于OA、（加的對稱點為、P2,連P、P2,交OA于M,交。8于

N,△PMN的周長=產(chǎn)出2,然后得到等腰△OP1P2中，ZOPiP2+Z（?P2Pi=100°,即可

得出NMPN=/OPM+/OPN=/OPTM+NOP2N=100°.

【解答】解：分別作點P關(guān)于04、。3的對稱點Pi、尸2,連接PP2,交。4于M,交

OB于N,則

OP\=OP=OP2,NOP1M=NMPO,ZNPO=ZNPzO,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP=P1M,PN=P?N,則

△PMN的周長的最小值=2很2,

???/PIOP2=2NAOB=80°,

???等腰△OP1P2中，/0尸1尸2+/0尸2尸1=100°,

???ZMPN=ZOPM+ZOPN=ZOP\M+ZOP1N=100'，

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確正確作出輔助線，得到等腰△0PIP2

中NOPIP2+NOP2Pl=100°是關(guān)鍵.凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)

定理，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,A。、CE是△ABC的兩條中線，P是AO上一個動點，則

下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）

【考點】軸對稱-最短路線問題；等腰三角形的性質(zhì).

【答案】B

【分析】如圖連接PC,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC^CE,

推出P、C、E共線時，P8+尸E的值最小，最小值為CE的長度.

【解答】解：如圖連接尸C,

：.AD±BC,

:?PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

?；PE+PCeCE,

:?P、C、E共線時，P8+PE的值最小，最小值為CE的長度，

故選：B.

【點評】本題考查軸對稱■最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，在矩形A8CD中，AB=5,40=3,動點。滿足S△小。一;S矩形aoe,則點。到A、

B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）

A.V29B.x/34C.5近D.V41

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】空間觀念；幾何直觀；模型思想.

【答案】D

【分析】首先由S4PAB=gs電影ABCD，得出動點P在與48平行且與4B的距離是2的直線

/上，作A關(guān)于直線I的對稱點E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.然

后在直角三角形44笈中，由勾股定理求得AE的值，即RUPA的最小值.

【解答】解：設(shè)中A/3邊上的高是

S^PAB=矩形A8C。,

2

???仁豺。=2,

???動點戶在與A6平行且與A6的距離是2的直線/上，如圖，作A關(guān)丁直線/的對稱點

E,連接AE,連接BE,則8E的長就是所求的最短距離.

在RIZX48E中，?；/W=5,4E=2+2=4,

:.BE=y/AB2^-AE2=x/524-42=同，

即PA+PB的最小值為、41.

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理,

兩點之間線段最短的性質(zhì).得出動點P所在的位置是解題的關(guān)鍵.

7.在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）

?趣

【考點】軸對稱圖形.

【答案】4

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重

合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故笈不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；

。、不是軸對稱圖形，故D不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點.確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖

形兩部分折疊后可重合.

8.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,A￡>是N8AC的平分線.若P,

。分別是AQ和AC上的動點，則0C+PQ的最小值是（）

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【答案】C

【分析】過點。作CM1AB交48于點M,交4。于點P,過點P作PQJ_AC于點Q,

由A。是N84C的平分線.得出尸Q=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用

勾股定理求出AB,再運用S,?c=yB?CM=yC?8C,得出CM的值，即尸C+PQ的最

小值.

【解答】解：如圖，過點。作CMJ_A8交A8于點M,交4。于點P,過點。作PQ_LAC

于點Q，

YA。是N8AC的平分線.

：.PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

???AC=6,BC=8,NACB=90°,

：.AB=y/AC2+BC2=V62+82=10.

?；S"BC=^AB*CM=14c?BC,

ACBC6x8_24

:、CM=

~AB~To-=V1

?4

即PC+PQ的最小值為g

故選：c.

【點評】本題主要考杳了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點P

和。的位置.

9.如圖，△A8C中，ZBAC=90°,AB=3,4c=4,點。是BC的中點，將aAB。沿AO

翻折得到△AED,連CE,則線段CE的長等?。ǎ?/p>

【考點】翻折變換（折疊問題）：直角三角形斜邊上的中線：勾股定理.

【答案】。

【分析】如圖連接8E交A。于。，作A”_L8C于凡首先證明AO垂直平分線段BE,

△BC￡是直角三角形，求出8。、BE,在RtZ\8CE中，利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖連接班;交A。于0,作A”_L8c于〃.

在R48C中，VAC=4,AB=3,

：?BC=V32+42=5,

?；CD=DB,

：,ED=DC=DB=^,

11

V-J?AB?4C,

22

.12

..AAHU=虧，

\*AE=AB,

:.點A在BE的垂直平分線上.

?:DE=DB=DC,

工點。在8E的垂直平分線上，△BCE是直角三角形，

???A。垂直平分線段BE,

11

?：一?AD?B0="BD?AH,

22

???0B=

J

24

???BE=2O8=學(xué)

在RtABCE中，EC=y/BC2-BE2=卜一停尸=（，

解法二：連接8E,4。于點F,DF是三角形BCE中位線,求出。F,可得結(jié)論.

【點評】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高，屬于中考?？碱}型.

10.如圖，在2X2的方格紙中有一個以格點為頂點的AABC,則與△ABC成軸對稱且以格

點為頂點三角形共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點】軸對稱的性質(zhì).

【專題】網(wǎng)格型.

【答案】C

【分析】解答此題首先找到aABC的對稱軸，EH、GC、AD,8尸等都可以是它的對稱軸，

然后依據(jù)對稱找出相應(yīng)的三角形即可.

【解答】解：與△A4C成軸對稱且以格點為頂點三角形有△48G、△CQF、△AEF、△

DBH,△BCG共5個，

故選：C.

【點評】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)；找著對稱軸后畫圖是正確解答本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.如圖，/408=30°,點M、N分別在邊04、上，且OM=1,ON=3,點、P、Q

分別在邊。8、上，則MP+PQ+QN的最小值是

R

【考點】軸對稱-最短路線問題.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】作M關(guān)于05的對稱點M',作N關(guān)于0A的對稱點N',連接M'N',即

為MP+PQ+QN的最小值.

【解答】解：作M關(guān)于0B的對稱點“'，作N關(guān)于。人的對稱點N',

連接M'N',即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對稱的定義可知：0Q=NM'0B=30：NOMV'=60°,

:'△ONN'為等邊三角形，△0MM'為等邊三角形，

/.ZN'OM'=90°,

???在RtZX"ON'中，

M'N'=I*+12=^/Tn.

故答案為同.

【點評】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，

得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，矩形A8CO中，A8=3,BC=4,點E是BC邊上一點,連接AE,把沿AE

3

折疊，使點3落在點8,處.當(dāng)△CE8'為直角三角形時，的長為或3.

~2-----

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】當(dāng)ACER'為直角三角形時，有兩種情況:

①當(dāng)點"落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示.

連接AC先利用勾股定理計算出AC=5,根據(jù)折疊的性質(zhì)得/AB'E=/8=90°,而

當(dāng)△CE8'為直角三角形時，只能得到N￡8'C=90°,所以點A、夕、C共線，即/

8沿AE折疊，使點8落在對角線AC上的點8'處，則E3=EB',AB=AB'=3,可

計算出CZT=2,設(shè)則￡4,=x,CE=4-J,然后在中運用勾股定

理可計算出上

②當(dāng)點"落在A。邊上時，如答圖2所示.此時4BEB'為正方形.

連接AC,

在RlZ\A8C中，AB=3,BC=4,

：.AC=4+32=5,

???NB沿AE折疊，使點B落在點8'處，

AZAB'E=N8=90°,

當(dāng)△CE8'為直角三角形時，只能得到N&T。=90°,

???點A、夕、。共線，即N8沿AE折置，使點8落在對角線AC上的點4處,

：,EB=EB',AB=AB,=3,

:,CB'=5-3=2,

設(shè)8E=x,則EB'=A,CE=4-x,

在RtZXCE)中，

?:EB‘2+CB'2=c修,

/.?+22=(4-x)2,解得后參

3

???BE=*

②當(dāng)點8,落在AO邊上時，如答圖2所示.

此時A8E8'為正方形，，B￡：=AB=3.

綜上所述，BE的長為:或3.

故答案為：|或3.

【點評】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等.也

考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

13.如圖，正方形A8CO的邊長是16,點E在邊A8上，AE=3,點尸是邊BC上不與點8,

。重合的一個動點，把AEB尸沿E尸折疊，點B落在及處.若△CQ8'恰為等腰三角形，

則。8'的長為16或46.

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【專題】壓軸題；分類討論.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得"E的長，根據(jù)勾股定理，可得CE的長，根據(jù)等腰三

角形的判定，可得答案.

【解答】解：（i）當(dāng)*D=B'。時，

過夕點作G〃〃A。，則N"GE=90°,

當(dāng)"C=B'。時，AG=DH=1DC=8,

由A￡=3,AI3=\6,得8E=13.

由翻折的性質(zhì)，得"E=BE=13.

：.EG=AG-AE=S-3=5,

???"G=ylB'E2-EG2=V132-52=12,

：.B'H=GH-B'6=16-12=4,

：.DB'=yjB'H24-DH2=V42+82=475

5）當(dāng)。"=CQ時，則。*=16（易知點”在8c上且不與點C、6重合）.

（沆）當(dāng)CB'=CO時，則CB=ar,由翻折的性質(zhì)，得EB=EB'，：?點E、（：在BB'

的垂直平分線上，.??EC垂直平分8夕，由折疊，得石戶也是線段BB'的垂直平分線,

???點/與點C重合，這與已知“點尸是邊8c上不與點B,C重合的一個動點”不符,

故此種情況不存在，應(yīng)舍去.

綜上所述，。夕的長為16或4Vs.

故答案為：16或4vs.

【點評】本題考查了翻折變換，利用了翻折的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定.

14.如圖矩形人中，40=5,AB=7,點、E為DC上一個動點,把aA。七沿A石折疊,

當(dāng)點D的對應(yīng)點。'落在NABC的角平分線上時，。七的長為或

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接B?！?，aD1作交AB于點M,C。于點M作。'P_L5C交

BC于點P,先利用勾股定理求出M。'，再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【解答】解：如圖，連接8。'，過。'作MN_LAB,交AB于點M,C。于點M作》

P上8C交.8C于點P

???點D的對應(yīng)點Q'落在NA8C的角平分線上，

；?MD'=PD',

設(shè)M。'=x,則P。'=BM=x,

：.AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得AQ=A。'=5,

???/+(7-x)2=25,解得x=3或4,

BPMDf=3或4.

在RtAEN。'中，設(shè)EO'=a,

①當(dāng)A/。'=3時，AM=7-3=4,D'N=5-3=2,EN=4-a,

Aa2=22+(4-a)2,

解得〃=今即。七=今

②當(dāng)M。'=4時，AM=7-4=3,D'N=5-4=l,EN=3-a,

/.fl2=12+(3-4)2,

解得〃=米即OEJ

故答案為：:或"

23

【點評】本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)

相等的.

15.如圖是一張矩形紙片.點￡在人8邊上，把沿直線CE對折，使點8落在對角線

AC上的點尸處，連接QF.若點、E,F,。在同一條直線上，AE=2,則DF=2,BE

=_V5-J_.

【考點】翻折變換(折疊問題)；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4D=8C,ZADC=ZB=ZDAE=9Qa,根據(jù)折疊的性質(zhì)

得到b=3C,ZCFE=^B=90a,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QF=AE=2；

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形人8CO是矩形，

：.AD=BC,NADC=/B=NDAE=90°,

???把△BCE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點尸處，

：.CF=BC,/CFE=/B=90°,EF=BE,

：.CF=AD,ZCFD=90°,

???ZADE+ZCDF=ZCDF+ZDCF=9O0,

ZADF=NDCF,

：,/\ADE^^,FCD(ASA),

：.DF=AE=2；

???NAFE=NCFD=90°,

???NAFE=NOAE=90°,

*/ZAEF=ZDEA,

，XAEFs叢DEA,

?A_E_D_E

??,

EFAE

22+EF

??=9

EF2

.??所=?-1(負值舍去)，

:.BE=EF=居-1,

方法二：■:NB//CD,

:?SmCD=SxDCE,

SAACD-S/.DCF=SADCE-S/.DCF,

??SKADF=S?ECF,

由題意知，BC=CF,SMCD=SMBCfSdECF=SdBCE，

??SMCD-SMDF=SMBC-S^CEF=SAABC-SABCE,

.*.SADCF=SAACE.

11

???一xDF?CF=/E?8C,

22

?；CF=BC,

：.DF=AE=2,

設(shè)BE=x,

'：KE//CD.

:.AAEFsACDF,

?A_EEF

??，

CDDF

2x

**2+X-2

解得：戶近-1(負值舍去)，

???8E=V5-1.

故答案為：2?VS-1.

【點評】本題考查了翻折變換(折疊問題)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.如圖在平面直角坐標系中，△A8C各頂點的坐標分別為：A(4,0),B(-1,4),C

(?3,1)

(1)在圖中作△?!'B'C使夕C'和△AAC關(guān)于x軸對稱：

【考點】坐標與圖形變化-對稱.

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征得到點A'的坐標為（4,0）,點小的

坐標為（-1，-4）,點。，的坐標為（-3,-1）,然后描點；

（2）由（1）可得到三個對應(yīng)點的坐標.

【解答】解：（1）如圖，

（2）點的坐標為（4,0）,點4,的坐標為（-1,-4）,點C'的坐標為（-3,-

1）.

【點評】本題考查了關(guān)坐標與圖形-對稱：關(guān)于x軸對稱：橫坐標相等，縱坐標互為相

反數(shù)；關(guān)于y軸對稱：縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).

17.如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0,I）、B（2,0）、C（4,3）.

（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC,則△ABC的面積是3；

（2）若點。與點C關(guān)于），軸對稱，則點。的坐標為（-4,3）；

（3）已知尸為x軸上一點，若aABP的面積為4,求點尸的坐標.

【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標.

【專題】三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）直接利用AA8c所在矩形面積減去周隹三角形面積進而得出答案;

（2）利用關(guān)于），軸對稱點的性質(zhì)得出答案；

（3）利用三角形面積求法得出符合題意的答案.

【解答】解：（1）如圖所不：△ABC的面積是:3X4—^xlX2—ix2X4—x2X3=4；

乙乙乙

故答案為:4；

（2）點。與點C關(guān)于），軸對稱，則點。的坐標為：（-4,3）；

故答案為：（-4,3）；

（3）???尸為x軸上一點，△A8P的面積為4,

???BP=8,

???點P的橫坐標為：2+8=10或2-8=?6,

故尸點坐標為：（10,0）或（-6,0）.

【點評】此題主要考查了三角形面積求法以及關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)點

位置是解題關(guān)鍵.

18.（I）如圖1,在/W直線一側(cè)C、。兩點，在/W上找一點P,使C、。、P三點組成的

三角形的周長最短，找出此點并說明理由.

（2）如圖2,在NAOB內(nèi)部有一點P,是否在。4、08上分別存在點E、F,使得EF、

。三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由.

（3）如圖3,在NAO8內(nèi)部有兩點M、N,是否在OA、OB上分別存在點E、F,使得E、

A/、N,四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點,并說明理由.

D

c

月---------------BO-------BOL---------B

圖1圖2圖3

【考點】軸對稱?最短路線問題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由于△PC。的周長=PC+CQ+PD,而C。是定值，故只需在直線/W上找

一點P,使PC+PD最小.如果設(shè)。關(guān)于直線的對稱點為C,使PC+P。最小就是

使PC'+尸。最??；

(2)作P關(guān)于。4、08的對稱點。、。，連接C。角0A、0B于E、F.此時周

長有最小值；

(3)如圖3,作M關(guān)于04的對稱點C,關(guān)于OB的對稱點D,連接CD,交OA于E,

0B于F,此時使得七、F、M、M四點組成的四邊形的周長最短.

【解答】解：(1)如圖I,作C關(guān)于直線AB的對稱點C,

連接C'。交AB于點P.

則點P就是所要求作的點.

理由：在4B上取不同于產(chǎn)的點尸'，連接CP'、OP'、CP'.

???c和C'關(guān)于直線/對稱，

:.PC=PC，P'C=P'C',

而C'P+DP<C'P'+DP',

APC+DP<CP'+DP'

/.CD+CP+DP<CD+CPf+DPf

即△CQP周長小于△CQ。'周長；

(2)如圖2,作尸關(guān)于OA的對稱點C,關(guān)于08的對稱點。，連接C。，交0A于E,

0B于F,連接PC,PD,則點區(qū)廠就是所要求作的點，

理由：在。A,04上取不同于七，”的點,F',連接CE'、E'P、PF'、DF,,

E尸，

???C和P關(guān)于直線。A對稱，D和尸關(guān)于直線0B對稱,

:,PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF'，

/.PE+EF+PF=CE+EF+DF,PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F+DF,,

*：CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF',

：,PE+EF+PF<PEf+￡'F'+PF'：

(3)如圖3,作M關(guān)于OA的對稱點C,作N關(guān)于OB的對稱點D,連接CD,交OA

于石，OB于F,則點E,F就是所要求作的點.連接MC,ND.

理由：在Q4,08上取不同于E,/的點E',尸，連接CE'、七’尸，。尸，

丁C和M關(guān)于直線0A對稱，

；?ME=CE,CE'=ME',NF=DF,NF'=DF',

由（2）得知MN+ME+EF+N〃<MN+M￡'+EfF'+尸N.

【點評】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)

已知得出對稱點的位置是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在△A8C中，NA8C=45°，點P為邊8c上的一點，8C=38P,且N%8=15°,

點C關(guān)于直線PA的對稱點為D,連接3D,又XAPC的PC邊上的高為AH

(1)求N8PQ的大小;

（2）判斷直線BD,AH是否平行？并說明理由;

（3）證明：ZBAP=ZCAH.

【考點】軸對稱的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（I）根據(jù)點C關(guān)于直線PA的對稱點為。，即可得到△人OPgZXACP,進而得出

NAPC=NAPO=60°,即可得到NBP力=180°-120°=60°；

（2）先取PD中點連接BE,則△BEP為等邊三角形，△8DE為等腰三角形，進而

得到N。8P=90°,即8O_L8c.再根據(jù)△APC的PC邊上的高為A“，可得A”_LBC,

進而得出BD//AH-,

（3）過點A作30、。。的垂線，垂足分別為G、F.根據(jù)NGBA=Na%=45°,可得

點4在NGBC的平分線上，進而得到點A在NGOP的平分線上.再根據(jù)/GQP=150°,

即可得到NC=N/1DQ=75°,進而得到RtZXAC”中，NC4H=I5°,即可得出NB4P

=NC4H.

【解答】解：（1）;/以8=15°,NABC=45°,

/.ZAPC=\