備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題66 解三角形的最值（范圍）及圖形切割含詳解

專題6.6解三角形的最值(布圍)及圖形切割

三(題型目錄

題型一利用基本不等式求最值(范圍)

題型二利用二角函數(shù)值域求角的范圍

題型三利用三角函數(shù)值域求邊的范圍

題型四圖形切割

題型五角平分線的應(yīng)用

題型六中線的應(yīng)用

題型七解二角形的結(jié)構(gòu)不良

才典例集練

題型一利用基本不等式求最值(范圍)

例1.(2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè))已知中，角A,B,C所對(duì)邊分別為。，力，J若滿

足a(sin2A—cos“cQsC)+/)sinAsinC=0.

(I)求角A的大??；

(2)若。=2,求.月次?面積的取值范圍.

例2.(2023春?浙江?而二期中)已知平面向量a=kinx,2Gcosx),/?=(2sinx,sinx),函數(shù)〃x)=aZ>+l.

⑴求/W的單調(diào)增區(qū)間.

⑵在AAAC中，a,b,。分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若〃A)=4,a=2,求&44C周長(zhǎng)的取值范圍.

舉一反三

練習(xí)I.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知》水?的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為/?.r.5acainB=b2-(a-c)2.

⑴求sinB：

(2)求的最小值.

cr+c'

練習(xí)2.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在一A8C中，a、b、c?分別是用4B、C所對(duì)的邊，向量

//=(c-2/?,?),v=(cosAcosC),且〃JLy.

(I)求角A的大??；

⑵若泥.湘=2,求必〃。外接圓半徑的最小值.

練習(xí)3.(2023春?四川南充?高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知向量〃?=(siM,l),〃=(6cosxScos2，，

函數(shù)y(x)=〃?〃.

(1)求函數(shù)/(力的最大值及相應(yīng)自變量的取值集合；

(2)在中，角AB,C的對(duì)邊分別為〃力,c,若/(A)=g,a=2,求/3C面積的最大值.

練習(xí)4.(2023?河南洛陽?模擬預(yù)測(cè))已知SBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,若耳csinB=a-bcosC.

⑴求A;

(2)若DC=AO，4D=2,求”4。的面積的最大值.

練習(xí)5.(2023春.內(nèi)蒙古赤峰.高三?？茧A段練習(xí))在中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊為〃，b,「，且A=g,

則下列說法正確的是.

①〃=2asinb；②sinAisinA；③一"C周長(zhǎng)的最大值為3；④罰.送的最大值為)

題型二利用三角函數(shù)值域求角的范圍

例3.(2023春?全國(guó)信二專題練習(xí))銳角△AAC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,C,若/=〃(〃+)),則siM

的取值范圍是()

八?亭季B.(界)C.(l,f)D.(0與)

例4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在銳角一43c中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為〃、b、c,且乃sinA=Ga.

⑴求角B；

⑵求cosA+cosA+cosC的最大值.

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí)）銳角_A￡?C中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,a=\,且

Z?cosA-cosB=l,則Gsin8+2sin2A的取值范圍為（）

A.（0,6+1）B.（2,6+1）C.D.（2,石］

練習(xí)7.（2023春?河南南陽?高三河南省桐柏縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┘褐J角./8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別

為a,b,c,且$「必卜『+/?2-（？）=。"2$訪8-$111。）.

⑴求A;

⑵求sinB+sinC的取值范圍.

練習(xí)8.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模）已知，力"分別為.工8C的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊，八叢AC=4，且msinA=8sinA.

⑴求A;

（2）求sinAsinBsinC的取值范圍.

練習(xí)9.（2023春?河南平頂山?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知_A3C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,若一ABC的

面積S邛（/+02一/），則角8=,sinAsinC的最大值為.

練習(xí)10.（2023春?四川成都?高三成都實(shí)外校聯(lián)考階段練習(xí)）在BBC中，先A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

6/tanC=2csinA,則sinA+sin8的取值范圍為.

題型三利用三角函數(shù)值域求邊的范圍

例5.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角58C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b,c,其面積為S,且

?</3

（b-a）（b+a）+accosB=----S.

⑴求角4的大?。?/p>

⑵若。=26，求S的取值范圍.

sinC+sinB

例6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）記-A8C的內(nèi)角力，B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知tanA=

cosC+cosB

(1)求A的值;

(2)若“灰:是銳角三角形，求史g的取值范圍.

a"

舉一反三

練習(xí)11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在.45。中，角A叢C的對(duì)邊分別為〃也c,已知〃=7,且但=學(xué)嗯

csinA-sinfi

(1)求"AC的外接圓半徑/?；

(2)求A8C內(nèi)切圓半徑廣的取值范圍.

練習(xí)12.(2023春?浙江寧波?高二余姚中學(xué)?？计谥?在中，角人叢。的對(duì)邊分別為且

a=2>/2,>/2(/sin4+J=/?.

⑴求角C；

(2)若一ABC為銳角三角形，。為A3邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍.

練習(xí)13.(2023?高三單元測(cè)試)在銳用三角形A8C中，sin2B+sin2C-sin2(B+C)=V2sinBsinC,AC=2,則AC邊

上的高的取值范圍是()

A.(1,2>/2)B.(1,>/2)C.(75,272)D.(1,2)

練習(xí)14.(2023春?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))在銳角中，分別是角ARC

所對(duì)的邊，csinB+C=sinC,且a=l.

2

⑴求A；

(2)若一A8c周長(zhǎng)的范圍

練習(xí)15.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在銳角ABC中，角4,8,C所對(duì)的邊為己知+而=0,

Z?csinC=3ccosA+3〃cosC.

(1)求C\

(2)求a+〃的取值范圍.

題型四圖形切割

例7.（2023春?陜西榆林?高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在..ABC中，4C=V13,。為N48C的角平分線上一點(diǎn)，且

與B分別位于邊AC的兩側(cè)，若NA￡>C=150,AO=2.

（1）求，D4C的面積;

(2)若乙ABC=120，求3￡＞的長(zhǎng).

例8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在梯形A8CO中，已知AD〃8C,AD=1,BD=2M，NCAO==,

(2)-4CO的面積.

舉一反三

練習(xí)16.（2023秋?浙江?高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在58C中，點(diǎn)。在邊BC上,

BDsinZCAD=ABsin/BAD

(2)若CD=28。，sin/BAO=!，求cosC.

練習(xí)17.（2023?山東?煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面四邊形A8CD中，AB//CD,BC=&D,/BAD=2/BCD.

⑴求/M。；

（2）若CD=4,ZABD=ZADB,求四邊形A4CO的面積.

練習(xí)電（2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在..A6C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知匕=3,

c=6,sin2C=sinZ?,且A。為BC邊上的中線，4E為/8AC的角平分線.

（1）求cosC及線段AC的長(zhǎng);

⑵求VA￡>￡的面積.

練習(xí)19.（2023春?廣?東深圳?高三深圳外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖,在平面四邊形A8c。中，若AB=6,8c=10,

67）=12,AD=2>/7?2（ACcosZ.BAC+BCcosB）cosB+AB=0.

⑴求B：

(2)求證：ZACB=ZACD.

練習(xí)2d.（2023春?福建福州?高三福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在aABC中，點(diǎn)。在邊BC上，且AO_LAC,

（1）若BC=2,求sinC的值；

（2）若8C邊上點(diǎn)石滿足BE=2EC，Z.ADE=—,求卜耳.

題型五角平分線的應(yīng)用

例9.（2023春?遼寧大連?高三校聯(lián)考期中）在非直角一A3C中，設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,〃，c,若

asinA4-Z?sinB-csinC=4Z?sinBcosC,CQ是角。的內(nèi)角平分線，fiCD=b,則tanC等于（）

3「l11

A.jWB.3不C.-D.-

oo3

例10.(2023?安徽合肥?合肥巾第八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知A5c的內(nèi)角A6、c所對(duì)的邊分別為“杈c,且滿足

2而os5=2c+〃.

⑴求A：

(2)若。在8C上，A。是/B4C的角平分線，且AO=1,求S八”的最小值.

舉一反三

練習(xí)21.(2023春?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春十一高?？计谥?記“4。的內(nèi)角A、3、C的對(duì)邊分別為a、〃、c,已知

Z?c(1+cosA)=4t/2.

(I)證明：b+c=3a；

(2)若a=2,cosA=(,角8的內(nèi)角平分線與邊AC交于點(diǎn)。，求80的長(zhǎng).

練習(xí)22.(2023春?天津武清?高三天津英華國(guó)際學(xué)校校考階段練習(xí))在..A4C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

c,已知(sinA+sin8)(4-b)=sinC("c),若角A的內(nèi)角平分線4。的長(zhǎng)為3,則。+c?的最小值為()

A.12B.24C.27D.36

練習(xí)23.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在“灰?中，角41(所對(duì)的邊分別是a/",其中新。=35訪4,3=60。"=療.

若B的角平分線8。交AC于點(diǎn)。，則4/1=.

練習(xí)24.(2023春?全國(guó)?高三專題練工)已知」1BC的內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為a也c,且乃cosA-a=2c.

⑴求角伙

(2)設(shè)NA8C的角平分線8。交AC于點(diǎn)。，若RD=2,求/8C的面積的最小值.

練習(xí)2"(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))記.A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三

個(gè)正三角形的面積依次為5，S2,S3.已知S「S?+S3=當(dāng)".

(1)求8s6;

⑵若48c外接圓面積為號(hào)，求ac的最大值；

4

（3）若依=辿，且ABC的角平分線8。=辿，求a+c.

43

題型六中線的應(yīng)用

例11.（2023春?遼寧大連?高三校聯(lián)考期中）在58C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,江c,c=2b,2siM=3sin2C.

（l）^csinC；

（2）若.ABC的面積為6",求AB邊上的中線。。的長(zhǎng).

例12.（2023春?福建福州?高三福建省連江第一中學(xué)校考期中）記》8C的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為例

點(diǎn)。為8c邊的中點(diǎn).若a=26AD=BA=],則必8C的面積為

舉一反三

練習(xí)26.（2023春?湖北孝感?高三湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知〃、b、。分別為“8C內(nèi)角A、B、

C的對(duì)邊，且acosC+GasinC—〃一c=0.

（1）求A;

（2）若中線A￡>=2,求/8C面積的最大值.

練習(xí)27.（2023春?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在工6c中，已知

AB=2.AC=5,ZBAC=60,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,則NMPN的余弦值為.

練習(xí)28.（2023春?山東淄博?高三山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎诙嗀BC中，A3為4C邊上的中線，且BD=2,

AD=4,則cos/84c的最小值為.

練習(xí)29.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c=〃，點(diǎn)。在線段AC上，

設(shè)BD=L

⑴若BD是NA8C的平分線，/=友〃，求。的大小；

3

（2）若是4c邊上的中線，，=療，/48C=1,求.ABC的周長(zhǎng).

練習(xí)30.（2023春?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）在以8c中，角43,C的對(duì)邊分

別為ab,c,且的面積為曰W+d—嗎

（I）求角A的大小；

⑵若b=3、c=6.AD是..ABC的一條中線，求線段AD的長(zhǎng).

題型七解三角形的結(jié)構(gòu)不良

例13.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在“8C中，。為邊BC上一點(diǎn)，AB=26,BD=\,AD=H.

⑴求角3;

⑵從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求角。

?AC=ZAD<CD；

②cos/DAC=.

14

例14.（2023?重慶?統(tǒng)考三模）在①（2h-c）cosA=〃cosC,②asin〃=6z?cos4,@acosC+y/3cs\nA=b+c,這三

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

問題：銳角4ABe的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,已知.

⑴求4

（2）若8=2,。為/W的中點(diǎn)，求CD的取值范圍.

舉一反三

練習(xí)31.（2023?北京?高三專題練習(xí)）3c的內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為sin?=1,且

在①/-//+1=2,②AB.AC=-1，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線中，并解答.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

⑴求ABC的面積；

⑵若sinAsinC=,求b.

3

練習(xí)32.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在①‘mA=,2a：…②sin4-cos3=叵』這兩個(gè)條件中任

cosBcosCa~+c~-b~c

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答

記JWC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知.

(1)求角。的大小;

3

⑵若點(diǎn)。在邊上，且%)=24),cosB=-t求tan/BCO的值.

練習(xí)33.(2023?安徽阜陽?安徽省臨泉第一中學(xué)?？既?在J18C中，角4,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為。，4c,滿足

(?-/?)(sinA4-sin8)=(Z?+c)sinC.

(1)求的大??；

(2)A8=2及，點(diǎn)。在BC上，AD1AC,在①8。=6,@cosZADC=—,③處=通土!.這三個(gè)條件中任選

3DC5

個(gè)作為條件，求53C的面積.

練習(xí)34.(2023?北京?人大附中?？既?在以AC中，〃也。分別為內(nèi)角4,凡。所對(duì)的邊,且滿足?/1時(shí)4+胃=；.

⑴求知4的大??；

(2)試從條件①②③中選出兩個(gè)作為已知，使得“4C存在且唯一，寫出你的選擇,并以此為依據(jù)求

/BCH勺面積.(注：只需寫出一個(gè)選定方案即可)

條件①：。=2：條件②：8=f；條件③：c=J3〃.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第：2)問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

練習(xí)3"(2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模)已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是b,c,且______.

在①。sin空C=asin8；②石sinC+cosC=23；③〃+c?一/=3叵力^inA這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上

2a3

面橫線上，并加以解答.

⑴求A；

(2)若8=2,c=3,點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足8M=2MA，且8N,CM相交于點(diǎn)尸，求cos的C.

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

專題6.6解三角形的最值（范圍）及圖形切割

三I題型目錄

題型一利用基本不等式求最值（范圍）

題型二利用二角函數(shù)值域求角的范圍

題型三利用三角函數(shù)值域求邊的范圍

題型四圖形切割

題型五角平分線的應(yīng)用

題型六中線的應(yīng)用

題型七解二角形的結(jié)構(gòu)不良

才典例集練

題型一利用基本不等式求最值（范圍）

例1.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知中，角A,B,C所對(duì)邊分別為。，b,c,若滿

足“（sin24-cosAcosC）+AsinAsinC=0.

（I）求角A的大?。?/p>

（2）若。=2,求ABC面積的取值范圍.

【答案】（嗚

（2）（0,1]

【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)等式，可以得到角人=；.

（2）根據(jù)勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.

【詳解】（1）由正弦定理知，sinA（s\n24-cosBcosC）+sin/?sinAsinC=0,

,:Ae（0,兀）,:.sinAw0,

sin2.4-cosBcosC+sinAsinC=0,

化簡(jiǎn)得sin2A=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=cos（乃一A）=sin（A—,

vAe（0,7r）,「.2A+A-￡=〃（其中2A=A-￡舍去），即4=四.

222

(2)由(1)知A=',則從+c?=/=4,

那么的面積S=gbc<生產(chǎn)-=I(當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=&時(shí)等號(hào)成立)，

則ABC面積的取值范圍為(?！?

例2.(2023春?浙江?高二期中)己知平面向量〃Hsinx,26cosx),/?=(2sinx,sinx),函數(shù)/(x)=a?b+l.

⑴求/(力的單調(diào)增區(qū)間.

(2)在△ABC中，a,。，c?分別是內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊，若/(A)=4,a=2,求AABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】⑴-g++E,kwZ

o3

⑵(4,6]

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再通過二倍角與輔助角公式化簡(jiǎn)，帶入三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可

求得；

(2)代入已知條件，余弦定理可以獲得邊之間的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式即可求得周長(zhǎng)的取值范圍.

[詳解】(1)==2sin?x4-2\/3sinxcosx+l=1-cos2x+V3sin2.r+1=2sin(2.r--)+2,

6

所以令-Z+2E?2x-?-2kjt,k?Z,解得2+E.A?Z,

26263

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為|"-3+也5+也]?￡2；

(2)因?yàn)?(A)=4,即2sin(24-.)+2=4,解得24-'=；+2E,kwZ,KPA=^+WeZ,

因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A=

又因?yàn)?=2,所以COSA="2+'-4=_L,即6+。2-4=反，即S+c>-4=3仇W3如立，解得Hc?4,

2bc24

又因?yàn)椤?，b,c是一48c的邊，所以〃+c>2,故△ABC周長(zhǎng)4<C八8c=a+"cK6.

所以周長(zhǎng)的取值范圍是(4,6].

舉一反三

練習(xí)1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知工BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,M^sin?=/?2-(?-c)2.

(1)求sin8；

⑵求「J的最小值.

w+c

4

【答案】(l)sin8=m

2

⑵二

(1)由題意和余弦定理可得cos8=l-gsinB,結(jié)合sinY+cosYW計(jì)算即可求解；

【分析】

(1)可得cos8=3,則從=/+/一§農(nóng)，代入1千，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.

(2)由

55a~+c~

(1)由余弦定理知。2=/+c2-2accos8,

所以acsinB=b2-(a-c)2=-laccosB+2ac,

由w0,得sin8+2cos8=2,即cosB=1—gsin8,

又因?yàn)閟in'8+cos'8=1,所以sin~B+(l——sinB)2=1,

2

即5sin，8-4sin8=0,在叢8C中,sinB>0,

4

所以sinB=w.

41I43

(2)由(1)知sin8=一，則cosA=l-—sin=I——x-=-,

52255

226

,2cr+c——acj-ac

所rr(>以l6士5二］6ac.5=2n,

a2+c2a2+(?5a2+c~2ac5

當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號(hào)成立.

A29

所以「J的最小值為二.

a'+c'5

練習(xí)2.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在一A3C中，。、b、c分別是用4B、C所對(duì)的邊，向量

//=(c-2Z?,?),v=(cosAcosC),且〃1u.

(I)求知A的大?。?/p>

⑵若髭.:捐=2,求外接圓半徑的最小值.

【答案】⑴9

⑵攣

3

【分析】(1)利用正弦定理邊化角求解即可；

(2)由正，余弦定理及重要不等式求解即可.

【詳解】(I)：〃=(c-2"a),y=(co$AcosC),且〃_LI，，

/.(c-2ZJ)cos4+?cosC=0,

由iF弦定理知：a=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC(Z?是MBC外接圓半杼).

.-.(2/?sinC-2(2/?sinB))cos>4+2/?sin/\cosC=(),

sinC-cosA-2sin13■cosA+sinA-cosC=0，

即sin（A+C）=2sinBcosA,

而ABC是jWC的三內(nèi)角，，sin（A+C）=sinB>0,

..\.7T

??cos4=—,A=一；

23

llLHlHLU

（2）VACAB=2^becosA=2、bc=4,

a2=b2+c2-2/?ccosA>2bc-4=4?

：,a>2,當(dāng)且僅當(dāng)c=〃=2,等號(hào)成立.

-迪R>空

/彳一五一亍'亍，即一力BC外接圓半徑的最小值為士.

3

2

練習(xí)3.（2023春?四川南充?高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量〃?=（sinA,l）,〃=（6cosx,gcos2x）,

函數(shù)=〃??〃.

⑴求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值集合；

（2）在.ABC中，角A8C的對(duì)邊分別為a,仇c,若/（A）=g,a=2,求.ABC面積的最大值.

【答案】（1）/（X）M=1,此時(shí)自變量的取值集合為=t+

⑵G

【分析】（I）根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到“X）解析式，再由輔助角公式化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)的

最值即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）中“X）解析式可得人=T，再由余弦定理以及基本不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）由題知，f（x）=mn=TSsiarcosx+-cos2x=—sin2x+-cos2.r=sinflx+—1,

222I

???當(dāng)2x+e=]+2KaeZ,即x.+EMeZ時(shí)，/（x）最大，旦最大值為1,即/（初叫印，此時(shí)自變量的

取值集合為｛中=看+&兀丘2?.

（2）由（1）知，/（x）=sin（2x+-^l則/（A）=sin（2A+B]=1,

因?yàn)樵?48。中，0<人<兀，所以2<2A+=<斗兀，

666

所以2%+?=乎，所以八二、

663

又由余弦定理及o=2,人=々得：a2=h2+c2-27;c'cosA>

即22=b2+c2-2bccos~,

3

所以從+，—4=AN?C—4,即從K4（當(dāng)且僅當(dāng)匕=（;時(shí)等號(hào)成立）.

所以5=-bcsinA=—bcx多*6

22

練習(xí)4.（2023?河南洛陽?模擬預(yù)測(cè)）已知一A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若Gcsin3=a-0cosC.

⑴求B；

（2）若/）C=A/）,BD=2,求必BC的面積的最大值.

【答案】⑴:

O

⑵8-46

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，正弦定理即可求出角8；

（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出a的取值范用，即可得到工8c的面積的最大值.

【詳解】（1）由題意，

在S8C中，\/3csinB=a-bcosC?

==A+B+C=n

sinAsin13sinC

>/3sinCsinB=sinA-sinBcosC,BP>/3sinCsin^=sin（Z?+C）-sin^cosC,

/.（>/3sin/?-cos/^jsinC=0,

丁sinCw0,0</?<7i

，Gsin8-cos8=0,可得tanB=—,解得：B=J.

36

（2）由題意及（1）得

在/8C中，B=1,DC=ADBD=2,

o

為邊AC的中點(diǎn)，4,。F=4x2]=16

LUUUUUllU

:?2BD=BA+BC,

A4（BD）2=（4A+BC）2=（5A）2+2BABC+（Z?C）2,即4阿『=網(wǎng)?+2網(wǎng)國(guó)際3+?=16,

設(shè)|叫=e,|fic|=?,則/+c>+2accos工+c「+6ac=16N（2+6）ac,

所以acwf=32-166，當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號(hào)成立.

???S,iBc=gacsinB=（acT8-46,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

???的面積的最大值為8-46.

練習(xí)5.（2023春?內(nèi)蒙古赤峰?高三?？茧A段練習(xí)）在.v48c中，內(nèi)角A,6,。所對(duì)的邊為“，b,c,且。=1,4=],

則下列說法正確的是

uuuuuu

①〃=2asinB；?sinB=bsinA；③MBC周長(zhǎng)的最大值為3；④4rAe的最大值為;.

【答案】②③④

【分析】對(duì)于①、②，利用正弦定理判斷即可，對(duì)于③，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷，對(duì)于④，由選項(xiàng)③

HlUluuu

可知〃+/一力c=1,結(jié)合基本不等式可得慶工1,從而可求出AC的最大值

"，_=上/7

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)锳=S，所以由正弦定理得.7："sinB.所以〃=±9〃sin8,所以①錯(cuò)誤；

3sin—7

3,

對(duì)于②，因?yàn)椤?1,所以由止弦定理得」7=工，所以sin8=MnA,所以②止確：

sinAsinB

對(duì)于③，根據(jù)余弦定理得cosA」+:/J+；_]=:，所以加+°2-bc=l,

2bc2hc2

即(b+c)2—3兒=1,所以S+c)?-3bc=lN(〃+c)2-3f^^=—(Z?+c)2,

I2)4

所以〃+cW2,當(dāng)且僅當(dāng)力=c=l時(shí)，等號(hào)成立，所以"+C+1W3,所以③正確.

對(duì)于④,由選項(xiàng)③可知從+C?-反=1.所以從+°2=1+反之2".則反Y1,當(dāng)且僅當(dāng)b=。、=1時(shí).等號(hào)成立.

所以A8?AC=hccosA=-bc<-,所以④正確.

22

故答案為：②③④

題型二利用三角函數(shù)值域求角的范圍

例3.(2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí))銳角△ABC中，先A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,C,若/="(〃+〃)，則sinA

【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)得。=2人，再求出A的范圍即可.

【詳解】由/=〃(〃+〃)，得。2=/+出,，由余弦定理得/="+〃_2而8SC,

?**a2+ab-a2+b2-2abcosC,b=aI2^cosC?

由正弦定理得sin4+2sinAcosC=sin8,

,.，5=兀一(A+C),

sin/4+2sinAcosC=sin=sin?!?cosC+cosAsinC,

即sinA=sin(C-A).

Vc2=a2+ab.：.c>a,AC-A>0,

又_A8C為銳角三角形，???0<4<5,0<C—A<],

：,A=C-At解得C=2A,

X0<4<-,0<B=n-3A<-,0<C=2A<-,

222

.?"l間

..sinAe一，——

122

故選：C.

例4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在銳角aABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為〃、b、J且》sinA=Ga.

（1）求角8；

⑵求cosA+cos3+cosC的最大值.

【答案】⑴：

（2）1

【分析】（I）利用正弦定理將邊化角，即可求出sinB,從而得解；

（2）將cosA+cos4+cosC轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的三角函數(shù)，再結(jié)合A的取值范圍，求出最大值.

【詳解】（1）由2〃sinA=結(jié)合正弦定理可得2sinBsinA=GsinA,

因?yàn)椤癇C為銳角三角形，所以sin8=』L又故〃=g.

2k2J3

?（2JU\

（2）由（1）可得cosA+cos8+cosC=cos4+—+cos------A

.12n..2n..

=cosA+—+cos—cos4+sin—sinA

233

A?A耳.A1

=cosA——cosA+——sinA+—

222

G?A1A?

=——sinA+—cosA+—

222

=sin(A+2+g(或者=cos(A-()+；)

八2兀.71

0<------A<—

由32,可得

,、，兀62

當(dāng)八='時(shí)，sinA-\—=1,即8SA+COS2+COSC的最大值是：.

316niax,

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí)）銳角/BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為"，b,c,a=\,且

Z?cosA-cosB=1,則6sinB+2sin2A的取值范圍為（）

A.（0,75+1）B.（2,V3+1）C.（1,6]D.（2,g]

【答案】B

【分析】由正弦定理邊化角可得3=2A,由“8C為銳角三角形可得2VA<5,運(yùn)用二倍角的正弦公式以及輔助

64

角公式將已知式化為2sin（2A-g1+l,再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)樵阡J角,中，4=1：且〃cos4—cos3=l,

所以〃cosA-acos4=a,則sinAcos4-sinAcosA=sinA，

所以sin（4-A）=sinA,則4一人=人或A+4=兀（舍去），所以B=2A,

Gsin8+2sii?A=gsin24+2sin2A=Gsin2A+20-c°s2A

2

=V3sin2/4-cos2/\+l=2sin2A一看）+1,

因?yàn)?SBC為銳角三角形，C=n-A-R=jr-3A,

0<A<—0<A<—

22

所以1O<B<￥=>1O<2A<2=>-<A<—

2264

<C<0<TI-3A<-

°t2

所以Ud抬｝所以sin（2A用系孝

2sin2A--2sin（24—卷）+1e+

6

故選：B.

練習(xí)7.（2023春?河南南陽?高三河南省桐柏縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎J角J4C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別

為a,b,c,且sin/A（，J+序-c2）=H?（2sin8-sinC）.

（1）求八；

⑵求sin8+sinC的取值范圍.

【答案】（1）A=1

⑵停同

【分析?】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解即可；

（2）利川兩角差的F弦公式和輔助隹公式,結(jié)合F弦函數(shù)的件質(zhì)進(jìn)行求解即可

【詳解】（1）由條件得2siiiA-a——=2sin4-sinC>

2ab

由余弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC,

因?yàn)锳+〃+C'=7t,所以2sin/\cosC=2sin(A+C)-sinC,

得2sinAcosC=2sin/\cosC+2cosAsinC-sinC,即sinC=2cosAsinC,

因?yàn)閟inCw0,所以cosA=J,

2

又0<工<兀，所以A=g.

J

(2)sinB+sinC=sinB+sin(與-=*cosB+-1sinB=百sin(8+2).

因?yàn)?8C為銳角三角形，

所以0<=—8vg,且0<8vg,所以

32262

所以瓜in(嗚)e(1,6,

即sin^+sinC的取值范圍是.

練習(xí)8.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模)已知。也c分別為58C的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊，AC=4，且acsinB=8sin4.

⑴求A；

⑵求sinAsinAsinC的取值范圍.

【答案】⑴4=]

【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降暴公式，結(jié)合輔助角公式及

三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.

【詳解】（1）AB-AC=bccosA=4>

由acsin8=8sin4及正弦定理,得abc=8a?

得次:8,代入/NCOSA=4得cosA=',

2

又因?yàn)?c（0,2,

所以A=.

（2）由（1）知

所以。=兀一4一8=空一8.

3

月7以sinAsinZ?sinC—^^sinZ?sinf^-Z?l--^sinSsin（1十Z?）

13

=——SillcosB+—sinB=—sinBcos8+叵sin?B

2244

=料28邛COS2B+4

sin2B-—\+

-468，

Orr

因?yàn)?<8<:

目1以一￡<28—5<乂，

666

所以一!1<sin28—三41,

2I6/

所以?！雌萀63g

sin2B--十—s--，

46J88

故sinAsinBsinC的取值范圍是0,

練習(xí)9.（2023春?河南平頂山?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知.工8c的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為小b,若58C的

面積5=41/+。2一片），則角8=，sinAsinC的最大值為

713

【答案】

4

【分析】運(yùn)用余弦定理及三角形面積公式可得&再運(yùn)用三角恒等變換得加―軻24國(guó)Ji+

64

（A€[o,yb,轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在區(qū)間上求最值即可.

【詳解】因?yàn)镾=￥（/+c2—〃）=gacsin3,

所以巫乂24。808=’。。$布8,則tan5=6,

42

因?yàn)?三（0,兀），所以B=1.

J

-sinf2A--兀1

sin4sinC=sinAsiny-A=—sinAcosA+—sin2A=—sin2A+—cos2A=+-

22444264

n7n

又因?yàn)?c0,,所以

所以§仙（24一弓,pli]sinAsinCe^O,3-,

24

3

所以s"smc的最大值為r

故答案為：3

練習(xí)10.（2023春?四川成都?高三成都實(shí)外校聯(lián)考階段練習(xí)）在_/功。中，角4,B,C的對(duì)邊分別為9b,c,.且

atanC=2csinA,則sinA+sin5的取值范圍為

【答案】⑻

【分析】利用正弦邊角關(guān)系得cosC=!，進(jìn)而有A+8=§,應(yīng)用三角恒等變換將目標(biāo)式化為Gsin(A+J),注意

236

角的范圍，即可求范圍.

【詳解】由正弦定理邊角關(guān)系知：sinAtanC=2sinCsinA,而sinC,sinA工0,

所以cosC=1,又0<。<兀，則。=:，故A+4=§,即

2333

所以sin4+sinB=sin4+sin(笄-A)=^^cosA+^sinA=\/3sin(j4+^)>

ifij—<AH—<,故sinA+sin8e([，5/5].

故答案為：(|,我

題型三利用三角函數(shù)值域求邊的范圍

例5.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在銳角一A8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b,c,其面積為S,且

(Z;-a)(b+。)+67ccosB=S.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若4=26,求S的取值范圍.

【答案】(1)A=W；

⑵(2底3肉.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用余弦定理、三角形面積公式變形給定等式，求出tan4即可作答.

(2)利用正弦定理把三角形面積表示為角C的函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】(1)在銳角ABC中，(b-a)(b+a)+accosB=—S,由余弦定理cosB=土土之2，

32ac

2

za.2225/3uo.t/?*+(7-Cl"2>/3°T7cJ2)2?A

得b~-