7.5　正態(tài)分布教學設(shè)計【新教材 新思維高中數(shù)學】-2021-2022學年下學期高二數(shù)學同步教學（人教A版（2019）選擇性必修第三冊）

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引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解，教師PPT展示完善，深化對正態(tài)分布的理解PPT顯示，學生讀題并回答【小例子】把一個正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。答案：D因材施教，根據(jù)學生預(yù)習的結(jié)果，引導下一步教學發(fā)揮學生的主觀能動性，暴露學生思維，教師精準指導從而建立正態(tài)分布的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。加深學生對正態(tài)分布理解與運用，發(fā)展學生邏輯推理，數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素教學環(huán)節(jié)：例題剖析教學內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖例1：李明上學有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車平均用時30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.(1)估計X,Y的分布中的參數(shù);(2）根據(jù)(1)中的估計結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.解:(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標準差為6;隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標準差為2.用樣本均值估計參數(shù)μ.用樣本標準差估計參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車.例2.假設(shè)某地區(qū)高二學生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：cm，下同），標準差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學生，求這名學生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；（3）不高于180的概率.解：設(shè)該學生的身高為X，由題意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因為均值為170，標準差為10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正態(tài)曲線的對稱性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.【跟蹤訓練】某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布（單位：）.該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于大于.（1）求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于的概率約為多少;（2）檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.師生共同分析后學生計算，教師展示解答，糾正學生中不規(guī)范的問題，總結(jié)一般方法:例1分析:對于第(1)問,正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定,根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計.對于第(3)問,這是一個概率決策問題,首先要明確決策的準則,在給定的時間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具;然后結(jié)合圖形,相據(jù)概率的表示,比較概率的大小,作出判斷方法總結(jié)：正態(tài)分布的3σ原則[???3??,??+3??]中的值,這在統(tǒng)計學中稱為3??原則.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.特別地，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗中,??的取值幾乎總落在區(qū)間[???3??,??+3??]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約只有0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.方法總結(jié)：服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟記P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,則P(X<b)=1-找學生去黑板上寫，其余學生獨立解答在練習本上，教師評價后PPT展示，標準解答解：設(shè)正常情況下，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為，由題意可知．(1)由于，所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“原則”可知(2)檢測員的判斷是合理的.因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由（1）可知，隨機抽取兩包檢查，質(zhì)量都小于的概率約為，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測員的判斷是合理的.通過典例剖析，讓學生體會什么是正態(tài)分布，感受正態(tài)分布的特點。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。教學環(huán)節(jié)：課堂檢測1.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是()A.f(x)=12πσe(x-μ)B.f(x)=2πC.f(x)=1D.f(x)=12.在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為()A.0.8 B.0.4 C.0.2D.0.13.某縣農(nóng)民月均收入服從N(500,202)的正態(tài)分布,則此縣農(nóng)民月均收入在500元到520元間人數(shù)的百分比約為.

4.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(3,12),則不屬于區(qū)間[1,5]這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的.

5.設(shè)在一次數(shù)學考試中,某班學生的分數(shù)X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個班的學生共54人,求這個班在這次數(shù)學考試中及格(即90分及90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).發(fā)一張小卷子，當堂10分鐘測驗，交上來批改，其中1-4必做，5和6根據(jù)具體學生接受情況和課堂時間選做1.解析:對照正態(tài)分布密度函數(shù):f(x)=12πσ·e-(x-μ)22σ答案:B2.解析:∵ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),∴曲線的對稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區(qū)間(0,1)內(nèi)取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.解析:因為月收入服從正態(tài)分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內(nèi)