2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第六章不等式第5講不等式的應(yīng)用含解析

PAGE1-第5講不等式的應(yīng)用1．某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析：每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位：10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，要使每輛客車運(yùn)營的年平均利潤最大，則每輛客車營運(yùn)的最佳年數(shù)為()A．3年B．4年C．5年D．6年2．某單位用2160萬元購得一塊空地，支配在該地塊上建立一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，假如將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，則樓房應(yīng)建為()層．A．10B．15C．20D．303．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是()A．12萬元B．20萬元C．25萬元D．27萬元4．(2024年安徽合肥模擬)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產(chǎn)品都須要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí)．A，B兩種設(shè)備每月可運(yùn)用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能剛好售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為()A．320千元B．360千元C．400千元D．440千元5．已知實(shí)數(shù)x滿意logx>1，則函數(shù)y＝8x＋eq\f(1,2x－1)的最大值為()A．－4B．8C．4D．06．(2024年江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小，則x的值是__________．7．某項(xiàng)探討表明，在考慮行車平安的狀況下，某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其關(guān)系式為F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)假如不限定車型，l＝6.05，那么最大車流量為______輛/時(shí)；(2)假如限定車型，l＝5，那么最大車流量比(1)中的最大車流量增加______輛/時(shí)．8．某地方政府打算在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖X6-5-1的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形態(tài)相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米．(1)分別寫出用x表示y和用x表示S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？圖X6-5-19．已知某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元，設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該手機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(8400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．10．(2024年天津)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，須要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇連續(xù)劇播放時(shí)長/分廣告播放時(shí)長/分收視人次/萬甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周支配的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周支配播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)．(1)用x，y列出滿意題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？11．某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢(shì)正以每分鐘100m2的速度順風(fēng)擴(kuò)散，消防站接到警報(bào)馬上派消防隊(duì)員前去，在火災(zāi)發(fā)生后五分鐘到達(dá)救火現(xiàn)場(chǎng)，已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場(chǎng)平均每人每分鐘滅火50m2，所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元，而燒毀一平方米森林損失費(fèi)為60元．問應(yīng)當(dāng)派多少消防隊(duì)員前去救火，才能使總損失最少？12．(2024年陜西西安模擬)某商人投資81萬元建一間工作室，第一年裝修費(fèi)為1萬元，以后每年增加2萬元，把工作室出租，每年收入租金30萬元．(1)若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年起先獲得純利潤？(2)若干年后該商人為了投資其他項(xiàng)目，對(duì)該工作室有兩種處理方案：①年平均利潤最大時(shí)，以46萬元出售該工作室；②純利潤總和最大時(shí)，以10萬元出售該工作室．問該商人會(huì)選擇哪種方案？

第5講不等式的應(yīng)用1．C2．B解析：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f(x)元，則f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)＝560＋48eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(225,x)))≥560＋48×2eq\r(x·\f(225,x))＝2000(x≥10，x∈N*)，因此，當(dāng)x＝15時(shí)，f(x)取最小值f(15)＝2000.3．D解析：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x噸，乙產(chǎn)品為y噸，則該企業(yè)可獲得利潤為z＝5x＋3y，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,3x＋y≤13，,2x＋3y≤18，))聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝13，,2x＋3y＝18，))解得x＝3，y＝4.由圖D172可知，最優(yōu)解為P(3,4)．∴z的最大值為z＝5×3＋3×4＝27(萬元)．故選D.圖D172圖D1734．B解析：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤z千元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤480，,6x＋y≤960，,x，y∈N，))z＝2x＋y，作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,2x＋3y≤480，,6x＋y≤960))表示的可行域如圖D173中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當(dāng)直線z＝2x＋y經(jīng)過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(diǎn)(150,60)(滿意x∈N，y∈N)時(shí)，z取得最大值，為360.5．D解析：由logx>1,0<x<eq\f(1,2)?－1<2x－1<0，y＝8x＋eq\f(1,2x－1)＝4(2x－1)＋eq\f(1,2x－1)＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41－2x＋\f(1,1－2x)))＋4≤－4＋4＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,4)上式取等號(hào)．故選D.6．307．(1)1900(2)100解析：(1)當(dāng)l＝6.05時(shí)，F(xiàn)＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l)＝eq\f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝eq\f(76000,22＋18)＝1900，當(dāng)且僅當(dāng)v＝eq\f(121,v)，即v＝11時(shí)，等號(hào)成立．(2)當(dāng)l＝5時(shí)，F(xiàn)＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l)＝eq\f(76000,v＋\f(100,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝eq\f(76000,20＋18)＝2000，當(dāng)且僅當(dāng)v＝eq\f(100,v)，即v＝10時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)車流量比(1)中的最大車流量增加100輛/時(shí)．8．解：(1)由xy＝3000,2a＋6＝y(tǒng)，得y＝eq\f(3000,x)(6<x<500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6<x<500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430.當(dāng)且僅當(dāng)6x＝eq\f(15000,x)，即x＝50時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝50，y＝60，Smax＝2430.∴設(shè)計(jì)x＝50米，y＝60米時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2430平方米．9．解：(1)當(dāng)0<x≤40時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；當(dāng)x>40時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋8360，∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋8360，x>40.))(2)①當(dāng)0<x≤40時(shí)，W＝－6(x－32)2＋6104，∴Wmax＝W(32)＝6104；②當(dāng)x>40時(shí)，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋8360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)·16x)＝1600，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時(shí)，取等號(hào)，∴W≤－1600＋8360＝6760，∴W的最大值為6760，綜合①②可知，當(dāng)x＝50時(shí)，W取得最大值為6760.∴當(dāng)年產(chǎn)量為50萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得利潤最大，且最大利潤為6760萬元．10．解：(1)由已知，x，y滿意的數(shù)學(xué)關(guān)系式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(70x＋60y≤600，,5x＋5y≥30，,x≤2y，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y≤60，,x＋y≥6，,x－2y≤0，,x≥0，,y≥0，))該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖DD174所示的陰影部分．圖D174圖D175(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z＝60x＋25y.考慮z＝60x＋25y，將它變形為y＝－eq\f(12,5)x＋eq\f(z,25)，這是斜率為－eq\f(12,5)，隨z改變的一族平行直線.eq\f(z,25)為直線在y軸上的截距，當(dāng)eq\f(z,25)取得最大值時(shí)，z的值最大．又∵x，y滿意約束條件，∴由圖D175可知，當(dāng)直線z＝60x＋25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距eq\f(z,25)最大，即z最大．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋6y＝60，,x－2y＝0，))得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)．∴電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多．11．解：設(shè)派x名消防員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y，則t＝eq\f(5×100,50x－100)＝eq\f(10,x－2).y＝滅火材料、勞務(wù)津貼＋車輛、器械和裝備費(fèi)＋森林損失費(fèi)＝125tx＋100x＋60(500＋100t)＝125·x·eq\f(10,x－2)＋100x＋30000＋eq\f(60000,x－2)＝1250·eq\f(x－2＋2,x－2)＋100(x－2＋2)＋30000＋eq\f(60000,x－2)＝31450＋100(x－2)＋eq\f(62500,x－2)≥31450＋2eq\r(100×62500)＝36450，當(dāng)且僅當(dāng)100(x－2)＝eq\f(62500,x－2)，即x＝27時(shí)，y有最小值36450.故應(yīng)當(dāng)派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元．12．解：(1)設(shè)第n年獲得利潤為y萬元．n年付出的裝修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，n年付出的裝修費(fèi)之和為n×1＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2，又投資81萬元，n年共收入租金30n萬元，∴利潤y＝30n－n2－81(n∈N*)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得3<n<27(n∈N*)，∴從第4年起先獲得純利潤．(2)方案①：年平均利潤t＝eq\f(30n－81＋n2,n)＝30－eq\f(81,n)－n＝30－eq\b\lc\(\