2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理學案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE5-6.2向量基本定理與向量的坐標6.2.1向量基本定理素養(yǎng)目標·定方向課程標準學法解讀1.駕馭共線向量基本定理．2．駕馭平面對量基本定理．1.通過學習共線向量定理，提升學生的數(shù)學抽象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．借助平面對量基本定理，培育學生的數(shù)學抽象，邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備學問·探新知學問點共線向量定理假如__a≠0__，且b∥a，則存在__唯一__的實數(shù)λ，使得b＝λA．假如A，B，C是三個不同的點，則它們共線的充要條件是：存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．思索：(1)定理中的條件“a≠0”能否省略，為什么？(2)這里的“唯一”的含義是什么？提示：(1)不能．假如a＝0，b≠0，不存在實數(shù)λ，使得b＝λA．假如a＝0，b＝0，則對隨意實數(shù)λ，都有b＝λA．(2)假如還有b＝μa，則有λ＝μ．學問點平面對量基本定理(1)定理：假如平面內(nèi)的兩個向量a，b__不共線__，則對該平面內(nèi)的__隨意一個__向量c，__存在唯一__的實數(shù)對(x，y)，使得c＝xa＋yB．(2)基底：平面內(nèi)__不共線__的兩個向量a，b組成的集合{a，b}稱為該平面上向量的__一組基底__．思索：(1)定理中的“不共線”能否去掉？(2)平面內(nèi)的每一個向量都能用a，b唯一表示嗎？提示：(1)不能，兩個共線向量不能表示平面內(nèi)的隨意向量，不能做基底．(2)是的，在平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個確定的不共線的向量的和，且這樣的表示是唯一的．關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型共線向量定理的應(yīng)用┃┃典例剖析__■典例1已知向量m，n不是共線向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn．(1)推斷a，b是否平行；(2)若a∥c，求x的值．[解析](1)明顯a為非零向量，若a∥b，則存在實數(shù)λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝3λ，,－4＝2λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,λ＝－2，))∴λ不存在．∴a與b不平行．(2)∵a∥c，∴存在實數(shù)r，使得c＝rA．∴m＋xn＝r(3m＋2n)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3r，,x＝2r，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,3)，,x＝\f(2,3)，))x＝eq\f(2,3)．規(guī)律方法：1.利用共線向量基本定理可解決兩類向量問題：(1)判定向量平行(先假設(shè)平行，用基本定理列方程，依據(jù)λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共線，列實數(shù)方程組，求解)；(2)已知向量求參數(shù)．2．判定向量平行還可用結(jié)論“當存在實數(shù)λ，使得b＝λa時，b∥a”．3．證三點共線：用三點共線的兩個充要條件．┃┃對點訓練__■1．已知非零向量e1，e2不共線，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．[解析]要使ke1＋e2與e1＋ke2共線，則存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1與e2不共線，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1．題型平面對量基本定理的理解┃┃典例剖析__■典例2(1)設(shè)e1、e2是不共線向量，則下面四組向量中，能作為基底的組數(shù)是(C)①e1和e1＋e2②e1－2e2和e2－2e1③e1－2e2和4e2－2e1④e1＋e2和e1－e2A．1 B．2C．3 D．4(2)假如e1、e2是平面α內(nèi)全部向量的一組基底，那么(A)A．若實數(shù)λ1、λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，這里λ1、λ2是實數(shù)C．對實數(shù)λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不肯定在平面α內(nèi)D．對平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1、λ2有多數(shù)對[分析](1)依據(jù)基底的構(gòu)成條件推斷．(2)由平面對量基本定理的內(nèi)容理解推斷．[解析](1)③中，∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，∴兩向量共線，其他不共線，故選C．(2)平面α內(nèi)任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一向量，故B不正確；對隨意實數(shù)λ1、λ2，向量λ1e1＋λ2e2肯定在平面α內(nèi)；而對平面α中的任一向量a，實數(shù)λ1、λ2是唯一的．規(guī)律方法：對平面對量基本定理的理解(1)在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，且這樣的分解是唯一的，同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝xa＋yb，且x＝y(tǒng)＝0．(2)對于固定的不共線向量a，b而言，平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的，但平面內(nèi)的基底卻不唯一，只要平面內(nèi)的兩個向量不共線，就可以作為基底，它有多數(shù)組．┃┃對點訓練__■2．已知平面對量e1，e2是一組基底，實數(shù)x，y滿意(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y＝__3__．[解析]因為平面對量e1，e2是一組基底，所以向量e1，e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得x－y＝3．題型用基底表示向量┃┃典例剖析__■典例3如圖所示，設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，若AB＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b將eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))表示出來．[解析]eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)B．eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))＝－(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．規(guī)律方法：平面對量基本定理的作用及留意點(1)依據(jù)平面對量基本定理，任何一組基底都可以表示隨意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的加減法運算．(2)解題時要留意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關(guān)系，用方程的觀點求出未知向量．┃┃對點訓練__■3．如圖，在△AOB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝3eq\o(NA,\s\up6(→))，而OM與BN相交于點P，試用a，b表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))．[解析]eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)B．因為eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OM,\s\up6(→))共線，令eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝t(eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b)．又設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(ON,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a·(1－m)＋mB．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(t,3)＝\f(3,4)1－m，,\f(2,3)t＝m，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,t＝\f(9,10)，))所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)B．易錯警示┃┃典例剖析__■典例4如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設(shè)Aeq\o(D,\s\up6(→))＝a，Aeq\o(B,\s\up6(→))＝b，若Aeq\o(B,\s\up6(→))＝2Deq\o(C,\s\up6(→))，則Aeq\o(O,\s\up6(→))＝__eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b__(用a和b表示)．[錯解]2a＋b設(shè)Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λ(Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→)))＝λ(Aeq\o(D,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up6(→)))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))．∵D、O、B三點共線，∴λ－eq\f(1,2)λ＝1，∴λ＝2．∴Aeq\o(O,\s\up6(→))＝2Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))＝2a＋B．[辨析]不能正確應(yīng)用直線的向量參數(shù)方程致錯．[正解]eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)a設(shè)Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λ(Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→)))＝λ(Aeq\o(