《直線與平面的夾角》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2《直線與平面的夾角》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖情境引入同學(xué)們，我們都擲過鉛球，那么是把鉛球水平推出還是把它沿一定的角度向上推出時，才能擲得相對較遠(yuǎn)些呢?我們這里所說的角度，又是指的什么呢?教師提出問題，學(xué)生思考，直觀得出結(jié)論：直線與平面所成的角.教師繼續(xù)提問：前面我們學(xué)習(xí)了異面直線所成的角的概念，大家還記得嗎?學(xué)生回憶、回答.通過問題讓學(xué)生產(chǎn)生對比聯(lián)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.知識探究1.直線與平面的夾角.（1）范圍：[0°，90°].①如果一條直線與一個平面垂直，則稱這條直線與這個平面所成的角為90°；②如果一條直線與一個平面平行，或直線在平面內(nèi)，則稱這條直線與這個平面所成的角為0°.（2）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與平面所成的角.說明：引進(jìn)了平面的斜線與平面所成的角后，空間中任意一條直線與任意一個平面所成的角的大小都是確定的，直線與平面所成的角也稱為它們的夾角.（3）性質(zhì):①平面的斜線與平面所成的角，是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角（最小角定理）；例1如圖所示，已知在平面內(nèi)，過該角的頂點(diǎn)引平面的斜線，且使，求證：斜線在平面內(nèi)的射影平分.證明設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為在平面內(nèi)的射影.根據(jù)前面的結(jié)論有由可得因此，即平分②經(jīng)過平面外同一點(diǎn)所作的平面的多條斜線中，斜線段長、射影長及斜線與平面所成的角，只要有一個相等，則另外兩個也對應(yīng)相等.2.用空間向量求直線與平面的夾角.如圖（1）（2）所示，可以看出或.特別地，例2已知是正方體，求與平面所成角的大小.解（方法一）如圖，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸正方向，正方體的棱長為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的一個法向量為，則取，可得.又因?yàn)椋?從而可知與平面所成角的大小為（方法二）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，如圖所示因?yàn)槭钦叫危?又因?yàn)?，且面，所?再根據(jù)可知面因此，在面內(nèi)的射影為，所以就是與平面所成角.因?yàn)檎襟w中有，所以在中，,又因?yàn)槭且粋€銳角，所以，即與平面所成角的大小為.教師先介紹兩種特殊情況（直線與平面垂直，直線與平面平行或直線在平面內(nèi)）對應(yīng)的直線與平面所成的角，然后出示教材第43頁上方的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生思考.教師結(jié)合自制幾何實(shí)物模型和幾何畫板課件，為學(xué)生展示斜線與平面所成的角的概念的形成過程，同時講清楚相關(guān)概念.學(xué)生觀看、思考、理解、識記：線面角是由線線角來定義的并完成下表：線面角的定義線面角的范圍教師出示教材第43頁下方的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”，安排學(xué)生自主探究、相互交流.學(xué)生親自動手借助于自制幾何模型和多媒體課件做實(shí)驗(yàn)，直觀觀察感受，在動態(tài)中發(fā)現(xiàn)最小角定理.教師結(jié)合學(xué)生的直觀答案，繼續(xù)提出問題：能否進(jìn)行理論證明呢?學(xué)生嘗試進(jìn)行證明，教師適時指導(dǎo)，并投影展示證明過程.教師出示例1，讓學(xué)生思考、嘗試獨(dú)立完成，教師對學(xué)困生進(jìn)行指導(dǎo).教師出示教材第44頁“嘗試與發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成.可設(shè)置如下問題：過平面外同點(diǎn)作兩條斜線，（1）若斜線段長相等，那么兩者的射影長有什么關(guān)系?兩斜線與平面所成的角有什么關(guān)系?（2）若射影長相等，那么兩斜線段長有什么關(guān)系?兩斜線與平面所成的角有什么關(guān)系?（3）若兩斜線與平面所成的角相等，那么兩斜線段長有什么關(guān)系?兩射影長有什么關(guān)系?學(xué)生思考，并嘗試進(jìn)行證明，教師適時指導(dǎo)，得出結(jié)論性質(zhì)②.教師提出問題:（1）你能根據(jù)定義概括一下求直線與平面的夾角的一般步驟嗎?（2）通過前面的學(xué)習(xí)，我們可以借助向量來研究異面直線所成的角，那么你能借助直線的方向向量和平面的法向量來研究直線與平面所成的角嗎?學(xué)生嘗試完成教材第45頁“嘗試與發(fā)現(xiàn)”欄目，教師巡視課堂，適時點(diǎn)撥，提醒學(xué)生注意向量的夾角和直線與平面的夾角兩者的聯(lián)系與不同.師生一起梳理結(jié)論：根據(jù)方向向量與法向量方向的不同，可分為兩種情況.教師請3~4名學(xué)生板演例2，教師對學(xué)困生進(jìn)行指導(dǎo)、點(diǎn)撥.學(xué)生根據(jù)問題利用定義法或向量法來完成例2，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成學(xué)生之間對板演結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)評、補(bǔ)充，并對比兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn).教師對學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行評價，規(guī)范解答過程，并同學(xué)生一起總結(jié)兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，總結(jié)利用向量法求直線與平面的夾角的一般步驟.學(xué)生動手，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).讓學(xué)生通過探究活動，更好地理解直線與平面所成的角定義的合理性，提升數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理核心素養(yǎng).探究直線與平面所成的角的性質(zhì)，進(jìn)一步理解定義，提升邏輯推理核心素養(yǎng).梳理斜線的方向向量與平面的法向量的夾角與直線與平面的夾角間的關(guān)系，為利用向量解決線面角問題打好理論基礎(chǔ).通過例題使學(xué)生感受求線面角的不同處理手段，提升邏輯推理核心素養(yǎng).歸納小結(jié)1.直線與平面所成的角.2.用空間向量求直線與平面的夾角.教師引導(dǎo)學(xué)生分組回答，小組評價.鍛煉學(xué)生歸納總結(jié)、合作學(xué)習(xí)的能力.布置作業(yè)教材第46頁練習(xí)A第1，2題.學(xué)生課后完成.鞏固所學(xué)知識。板書設(shè)計(jì)1.2.3直線與平面的夾角一、情境引入二、知識探究1.直線與平面的夾角（1）范圍：[0°，90°].①如果一條直線與一個平面垂直，則稱這條直線與這個平面所成的角為90°.②如果一條直線與一個平面平行，或直線在平面內(nèi)，則稱這條直線與這個平面所成的角為0°.（2）平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與平面所成的角.（3）性質(zhì)：①平面的斜線與平面所成的角，是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角（最小角定理）；例1②經(jīng)過平面外同一點(diǎn)所作的平面的多條斜線中，斜線段長、射影長及斜線與平面所成的角，只要有一個相等，則另外兩個也對應(yīng)相等2.用空間向量求直線與平面的夾角例2三、歸納小結(jié)教學(xué)研討直線與平面所成的角的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角來處理的，那么到底是轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的哪條直線所成的角呢?直