2024年高考一輪復習精細講義第17講 動能定理及其應用(原卷版+解析)

第17講動能定理及其應用

劃重點之精細講義系列

。要也考點3喜

考點一動能定理的理解和應用

一,動能

1.公式：以=5加2,式中。為瞬時速度，動能是狀態(tài)量.

2.矢標性：動能是標量，只有正值，動能與速度的方向型.

3.動能的變化量：△瓜=%就一熱涼

4.動能的相對性

由于速度具有相對性,則動能也具有相對性,一般以地面為參考系.

二.動能定埋

I.內容：合外力對物體所做的功等于物體功能的變化.

2.表達式：W=Afk=^mvi—^uwi.

3.功與動能的關系

(l)W>0,物體的動能增加.

(2)VV<0,物體的動能減少.

(3)W=0,物體的動能不變.

4.適用條件

(1)動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動.

(2)既適用于恒力做功，也適用于變力做功.

(3)力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以不同時作用.

1.定理中“外力”的兩點理解

(1)重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其他刀，它們可以同時作用，也可以不

同時作用.

(2)既可以是恒力，也可以是變力.

2.公式中“=”體現(xiàn)的三個關系

--------合力做功與動能變化具

〔數(shù)量關系卜、有等量代換的關系

單，關系卜、國際單位制中都是焦耳

「】合力做功是引起物體動

［因果關系H能變化的原因

3.應用動能定理的注意事項

（1）動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面

靜止的物體為參考系.

（2）應用動能定理時，必須明確各力做功的正、負.

（3）應用動能定理解題，關鍵是對研究對象進行準確的受力分析及運動過程分析，并

畫出物體運動過程的草藥，借助草圖理解物理過程和分量關系.

國典例分缶

【典例1】光滑斜面上有一個小球自高為力的A處由靜止開始滾下，抵達光滑水平

面上的B點時速度大小為的.光滑水平面上每隔相等的距離設置了一個與小球運動方向

垂直的活動阻擋條，如圖所示，小球越過〃條活動阻擋條后停下來.若讓小球從力高處

以初速度內滾下，則小球能越過的活動阻擋條的條數(shù)是（設小球每次越過活動阻擋條時

損失的動能相等）（）

A.nB.2〃

C.3〃D.4〃

【典例2】（多選）質量不等，但有相同動能的兩個物體，在動摩擦因數(shù)相同的水平

地面上滑行，直至停止.則（）

A.質量大的物體滑行的距離大

B.質量小的物體滑行的距離大

C.它們滑行的距離一樣大

D.它們克服摩擦刀所做的功一樣多

【典例3】如圖所示，質量為機的小球用長為乙的輕質細線懸于0點，與。點處

于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，已知0P=呆在A點給小球一個水平向

左的初速度如，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點8.求:

(1)小球到達8點時的速率；

(2)若不計空氣阻力，則初速度如為多少；

(3)若初速度%=3aZ,則小球在從4到B的過程中克服空氣阻力做了多少功?

就黑淺小

巨

⑴優(yōu)先應用動能定理的問題

①不涉及加速度、時間的問題.

②有多個物理過程且不需要研究整個過程中的中間狀態(tài)的問題.

③變力做功的問題.

④含有「、I、機、“W、反等物理量的力學問題.

(2)應用動能定理的解題步驟

(

解

方

程

、

討

論

結

果

〕

考點二動能定理與圖象的綜合問題

i.力學中圖象所圍“面積”的意義

aw”圖：由公式可知，?！皥D線與坐標軸圍成的面積表示物體的位移.

(2)44圖：由公式加=々可知，圖線與坐標粕圍成的面積表示物體速度的變化

量.

(3)F-x圖：由公式W=&可知，廣x圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功.

(4)P-/圖：由公式可知，P”圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功.

2.解決物理圖象問題的基本步驟

(I)觀察題目給出的圖象，弄清縱坐標、橫坐標所對應的物理量及圖線所表示的物理

意義.

(2)根據(jù)物理規(guī)律推導出縱坐標與橫坐標所對應的物理量間的函數(shù)關系式.

(3)將推導出的物理規(guī)律與數(shù)學上與之相對應的標準函數(shù)關系式相對比，找出圖線的

斜率、截距、圖線的交點，圖線下的面積所對應的物理意義，分析解答問題.或者利用

函數(shù)圖線上的特定值代入函數(shù)關系式求物理量.

目典例分言

【典例1】如圖甲所示，一半徑〃=1m、圓心角等于143。的豎直圓弧形光滑軌道,

與斜面相切丁6處，圓弧軌道的最高點為M,斜面傾角夕一37。/—0時刻有一物塊沿

斜面上滑，其在斜面上運動的速度變化規(guī)律如圖乙所示，若物塊恰能到達M點，取g

=10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8,求:

(1)物塊經(jīng)過M點的速度大??；

(2)物塊經(jīng)過4點的速度大?。?/p>

⑶物塊與斜面間的動摩擦因數(shù).

【典例2】A、8兩物體分別在水平恒力Q和B的作用下沿水平面運動，先后撤去

入、仍后，兩物體最終停下，它們的。-/圖象如圖所示.己知兩物體與水平面間的滑動

摩擦力大小相等.則下列說法正確的是()

”0

()2/o3lot

A.Fi、尸2大小之比為1：2

B.Fi、&對A、方做功之比為1:2

C.4、B質量之比為2：1

D.全過程中A、8克服摩擦力做功之比為2：1

【典例3】打樁機是利用沖擊力將樁貫入地層的樁工機械.某同學對打樁機的工作

原理產生了興趣.他構建了一個打樁機的簡易模型，如圖甲所示.他設想，用恒定大小

的拉力尸拉動繩端8,使物體從4點(與釘子接觸處)由靜止開始運動，上升一段高度后

撤去立物體運動到最高點后自由下落并撞擊釘子，將釘子打入一定深度.按此模型分

析，若物體質量〃?=1kg,上升了Im高度時撤去拉力，撤去拉力前物體的動能均與上

升高度"的關系圖象如圖乙所示.(g取IOm/s2,不計空氣阻力)

00.20.40.60.81.0h/m00.20.40.60.81.0x/mm

乙丙

(1)求物體上升到0.4in高度處F的瞬時功率；

(2)若物體撞擊釘子后瞬間彈起，且使其不再落下，釘子獲得20J的動能向下運動.釘

子總長為10cm.撞擊前涌入部分可以忽略，不計釘子重力.已知釘子在插入過程中所受

阻力R與深度上的關系圖象如圖丙所示，求釘子能夠插入的最大深度.

巨敲黑板!”

動能定理與圖象結合問題的分析方法

(1)首先看清楚所給圖象的種類(如?！眻D象、R/圖象、&-x圖象等).

(2)挖掘圖象的隱含條件——求出所需要的物理量，如由圖象所包圍的“面積”

求位移，由廣x圖象所包圍的“面積”求功等.

（3）分析有哪些力做功，根據(jù)動能定理列方程，求出相應的物理量.

考點三用動能定理解決多過程問題

1.對于多個物理過程要仔細分析，將復雜的過程分割成一個個子過程，分別對每個

過程進行分析?，得出每個過程遵循的規(guī)律，當每個過程都可以運用動能定理時，可以選

擇分段或全程應用動能定理，題目不涉及中間量時，選擇全程應用動能定理更簡單、方

便.

2.全程應用動能定理解題求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據(jù)不同的情

況分別對待，弄清楚物體所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功還是負功，

然后再正確寫出總功。

3.對于物體運動過程中有往復運動的情況，物體所受的滑動摩擦力、空氣阻力等大

小不變，方向發(fā)生變化，但在每一段上這類力均做負功，而且這類力所做的功等于力和

路程的乘積，與位移無關。若題目中涉及求解物體運動的路程或位置的變化，可利莊動

能定理求出摩擦力做的功，然后進一步確定物體運動的路程或位置的變化。

4.解題步驟

（1）選取研究對象，明確它的運動過程.

（2）分析研究對象的受力情況和各力的做功情況：

受哪些力|一卜各力是否做功|一|做正功還是負歷］一|做多少功|一

各力做功的代數(shù)而

（3）明確物體在過程的始末狀態(tài)的動能Eki和EQ

（4）列出動能定理的方程卬合=反2-EH及其他必要的解題方程，進行求解.

【典例1】如圖所示，用一塊長心=1.0m的木板在墻和桌面間架設斜面，桌子高

”=0.8m,長L2=L5m.斜面與水平桌面的傾角?？稍??60。間調節(jié)后固定.將質量

m=0.2kg的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)川=0.05,物塊

與桌面間的動摩擦因數(shù)為償，忽略物塊在斜面與桌面交接處的能量損失.（重力加速度

取g=10m*：最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）

(1)求。角增大到多少時，物塊能從斜面開始下滑：(用正切值表示)

(2)當〃角增大到37。時，物塊恰能停在臬面邊緣，求物塊與臬面間的動摩擦因數(shù)〃

(已知sin370=0.6,cos37°=0.8)

(3)繼續(xù)增大。角，發(fā)現(xiàn)。=53。時物塊落地點與墻面的距離最大，求此最大距離Xm.

【典例2】如圖所示，相同材料制成的滑道ABC,其中AB段為曲面，8c段為水平

面.現(xiàn)有質量為根的木塊，從距離水平面〃高處的A點由靜止釋放，滑到8點過程中

克服摩擦力做功為!“0?;木塊通過8點后繼續(xù)滑行2〃距離后，在C點停下來，則木塊

與曲面間的動摩擦因數(shù)應為()

1B.|

A.

3

D12

【典例3】我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一.如

圖所示，質量加=60kg的運動員從長直助滑道48的A處由靜止開始以加速度。=3.6

m/9勻加速滑下，到達助滑道末端區(qū)時速度加=24nVsM與B的豎直高度差H=48nr為

了改變運動員的運動方向，在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點C

處附近是一段以。為圓心的圓弧.助滑道末端8與滑道最低點。的高度差力=5m,運

動員在B、。間運動時阻力做功W=-l53OJ,^10m/s2.

⑴求運動員在A8段下滑時受到阻力R的大小;

(2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則C點所在圓弧的半徑R

至少應為多大？

自敲黑靠山

利用動能定理求解多過程問題的基本思路

(1)弄清物體的運動由哪些過程組成.

(2)分析每個過程中物體的受力情況.

(3)各個力做功菊何特點，對動能的變化有無影響.

(4)從總體上把握全過程，表達出總功，找出初、末狀態(tài)的動能.

(5)對所研究的全過程運用動能定理列方程.

現(xiàn)國縛習

，基礎篇

1.(多選)關于動能定理的表達式卬=反2一反1，下列說法正確的是()

A.公式中的W為不包含重力的其他力做的總功

B.公式中的W為包含重力在內的所有力做的功，也可通過以下兩種方式計算：先

求每個力的功再求功的代數(shù)和或先求合外力再求合外力的功

C.公式中的Em—EH為動能的增量，當W>0時動能增加，當WVO時，動能減

少

D.動能定理適用7直線運動，但不適用于曲線運動，適用于恒力做功，但不適用

于變力做功

2.如圖所示，A3易圓弧軌道，3c為水平直軌道，圓弧對應的圓的半徑為兄BC

的長度也是R,一質量為機的物體與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為〃，當它由軌道頂端

A從靜止開始下落，恰好運動到C處停止，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為

()

刀〃力〃〃〃/小〃〃

BC

B.3mgR

R

C.mgRD.（［一

3.一個質量為〃？的物體靜止放在光滑水平面上，在互成60。角的大小相等的兩個

水平恒力作用下，經(jīng)過一段時間，物體獲得的速度為小在力的方向上獲得的速度分別

為功、蟲，如圖所示，那么在這段時間內，其中一個力做的功為（）

「1，

C^mv-

4.如圖所示，一塊長木板8放在光滑的水平面上，在B上放一物體A,現(xiàn)以恒定

的外力拉比由于A、6間摩擦力的作用，A將在3上滑動，以地面為參考系，A、3都

向前移動一段距離.在此過程中（）

A.外力/做的功等于人和8動能的增量

B.8對A的摩擦力所做的功，等于A的動能增量

C.A對8的摩擦力所做的功，等于8對A的摩擦力所做的功

D.外力F對B做的功等于B的動能的增量

5.（多選）如圖甲所示，一個小環(huán)沿豎直放置的光滑圓環(huán)形軌道做圓周運動.小環(huán)從

最高點A滑到最低點B的過程中，小環(huán)線速度大小的平方浮隨下落高度h的變化圖象

可能是圖乙中的（）

6.如圖所示，半徑R=2.5m的光滑半圓軌道48C與傾角。=37。的粗糙斜面軌道

。。相切于C點，半圓凱道的直徑AC與斜面垂直.質量加=1kg的小球從A點左上方

距A點高力=0.45m的尸點以某一速度如水平拋出，剛好與半圓軌道的A點相切進入

半圓軌道內側，之后經(jīng)半圓軌道沿斜面剛好滑到與拋出點等高的。點.已知當?shù)氐闹?/p>

力加速度g=I0m/s2,sin370=0.6,cos370=0.8,不計空氣阻力,求：

（I）小球從P點拋出時速度比的大小；

（2）小球從C點運動到D點過程中摩擦力做的功V/；

⑶小球從D點返回經(jīng)過軌道最低點B,對軌道的壓力大小.

7.一質點做速度逐漸增大的勻加速直線運動，在時間間隔/內位移為s,動能變?yōu)?/p>

原來的9倍.該質點的加速度為（）

8.如圖所示，ABCD是一個盆式容器，盆內側壁與盆底BC的連接處都是一段與

相切的圓弧，/3C是水平的，其距離d=0.50m.盆邊緣的高度為"=0.30m.在A

處放一個質量為小的小物塊并讓其從靜止開始下滑.已知盆內側壁是光滑的，而盆底

8c面與小物塊間的動摩擦因數(shù)為“=0.10.小物塊在盆內來回滑動，最后停下來，則停

的地點到4的距離為（）

A.0.50mB.0.25m

C.0.10mD.0

9.小球尸和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，?球的質量大于Q球的質量,

懸掛尸球的繩比懸掛Q球的繩短.將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖所示.將

兩球由靜止釋放，在各自軌跡的最低點（）

----OpIOQ

A.P球的速度一定大于Q球的速度

B.。球的動能一定小于Q球的動能

C.P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力

D.P球的向心加速度一定小于。球的向心加速度

10.用水平力尸拉一物體，使物體在水平地面上由靜止開始做勻加速直線運動，力

時刻撤去拉力3物體做勻減速直線運動，到12時刻停上，具速度一時間圖象如圖所示,

且〃＞夕，若拉力尸做的功為1%,平均功率為物體克服摩擦阻力R做的功為1%,

平均功率為2,則下列選項正確的是（）

A.W>W2，F(xiàn)=2FfB.I%=W2，F(xiàn)>2F(

=

C.P1VP2，F(xiàn)>2Ft-D.Pi=P：,F2Ff

11.（多選）如圖所示，一固定容器的內壁是半徑為R的半球面；在半球面水平直徑

的一端有一質量為m的質點P.它在容器內壁由靜止下滑到最低點的過程中，克服摩擦

力做的功為W.重力加速度大小為g.設質點P在最低點時，向心加速度的大小為小容

器對它的支持力大小為N,則（

2(nigR-\V)

7°=―贏—

3ingR~2W2(/叫R—W)

C.N=RD.N=R

12.（多選）如圖所示，以O為原點在豎直面內建立平面直角坐標系：第團象限擋板

形狀滿足方程（單位：m）,小球從第團象限內半徑為0.5m的四分之一光滑圓

弧軌道某處由靜止釋放,通過。點后開始做平拋運動，擊中擋板上的P點時速度最小，

取重力加速度大小lOm/s?,下列說法正確的是（）

B.小球經(jīng)過。點時的速度大小為3m/s

C.小球擊中0點時的速度大小為5m/s

D.小球經(jīng)過。點時對軌道的壓力等于自身所受重力的3倍

13.（多選）如圖所示，在豎直平面內有一粗糙程度處處相同的軌道，由水平A8和

四分之一圓弧8c兩部分相切構成。一質量為〃%的物塊從軌道4B上的P點以水平速度

%向左運動，恰好到達C點，而后又剛好滑回到P點。若換成質量為加、材料相同的物

塊，仍從P點以水平速度%向左運動，物塊均可視為質點，則（）

C

B.若/,則物塊能越過。點向上運動

C.無論機多大，物塊均能滑回到2點

D.質量為人的物塊沿軌道向左、向右滑行過程中因摩擦產生的熱量相等

14.（多選）如圖為某商家為吸引顧客設計的趣味游戲。4塊相同木板4、〃、服d

緊挨著放在水平地面上。某顧客使小滑塊（可視為質點）以某一水平初速度從。的左端

滑上木板，若滑塊分別停在。、b、C、/上，則分別獲得四、三、二、一等獎，若滑離

木板則不得獎。已知每塊木板的長度為L、質量為〃?，木板下表面與地面間的動摩擦因

數(shù)均為〃，滑塊質量為"=2加，滑塊與木板。、力、ad上表面間的動摩擦因數(shù)分別為

〃、2〃、2〃、4〃，重力加速度大小為g,最大靜摩擦力與滑動摩擦力視為相等，下

列說法正確的是（）

%

---------?

77777777777777777777777777777^

A.若木板全部固定于地面，要想獲獎，滑塊初速度%W3同正

B.若木板不固定，顧客獲四等獎，滑塊初速度的最大值%=必

C.若木板不固定，滑塊初速度為9=3向Z,顧客獲三等獎

D.若木板不固定，顧客獲得一等獎，因摩擦產生的總熱量田

15.為登月探測月球，上海航天局研制了"月球車"。某探究性學習小組對“月球車”

的性能進行研究。他們讓“月球車”在水平地面上由靜止開始運動，并將“月球車”運動的

全過程記錄下來，通過數(shù)據(jù)處理得到如圖所示的-T圖像，已知。~乙段為過原點的項

斜直線；4~10s內“月球車”牽引力的功率保持與4時刻相同不變,且P=1.2kW：7ros

段為平行于橫軸的直線：在10s末停止遙控，讓〃月球車〃自由滑行，整個過程中“月球車〃

受到的阻力大小不變。下列說法錯誤的是()

A.月球車受到的阻力為200N

B.月球車的質量為100kg

C.月球車在乙~7s內運動的路程為24.75m

D.全過程牽引力對月球車做的總功為1.11xIO'j

16.在豎直平面內固定一軌道ABCO,AB段水平放置，長為4m,BC。段彎肝且

光滑；一質量為1.0kg、可視作質點的圓環(huán)套在軌道上，圓環(huán)與軌道AB段之間的動摩

擦因數(shù)為05建立如圖所示的直角坐標系，圓環(huán)在沿工軸正方向的恒力〃作用下，從小一

7,2)點由靜止開始運動，到達原點O時撤去恒力尸，圓環(huán)從0(0,0)點水平飛出后經(jīng)過0(6,3)

點.重力加速度g取lUmH,不計空氣阻力.求：

(1)圓環(huán)到達。點時的速度大小;

⑵恒力尸的大?。?/p>

(3)圓環(huán)在AB段運動的時間.

17.如圖所示，點P在水面上方力高處，水缸的缸口離水面距離為“，缸口的圓心

為0、半徑為幾點P到缸口的水平距離為so。在過。點的豎直平面內，質量為陽的

小球從尸點以不同初速度水平拋出，在下落到缸口高度前均能達到穩(wěn)定狀態(tài)。已知小球

在水中運動過程中受到的浮力恒為F,受到水的粘滯阻力/與速度I，的關系為六公（比

例系數(shù)上已知），方向與速度方向相反。不計空氣阻力和缸口厚度，重力加速度為S

（1）求小球從被拋出后運動到水面過程中，重力做次的平均功率P;

（2）小球平拋的初速度為盯時，從0點進入缸內，求小球運動到。點的過程中克服粘

滯阻力做的功W：

（3）要使小球能落到缸中，求平拋初速度用的范圍。

18.某傳送裝置的示意圖如圖1所示，整個裝置由三部分組成，左側為?傾斜直軌

道，其頂端距離傳送帶平面的高度。-2.5m,其水平長度3.5m。中間是傳送帶其

兩軸心間距a=8m（傳送帶向右勻速傳動，其速度I，大小可調），其右端為水平放置的

圓盤。各連接處均在同一高度平滑對接。一質量為機=1kg的物塊從傾斜直軌道的頂端

由靜止釋放，物塊經(jīng)過傳送帶運動到圓盤上而后水平拋出，其中物塊在圓盤上的運動軌

跡為如圖2中所示圓盤旃視圖中的實線CQ,水平圓盤的半徑為5m,圓盤距離地面高

度用二1.25m物塊與傾斜直軌道和傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為叢=0.2,與圓盤間的動摩

擦因數(shù)外=0.5,取重力加速度大小g=10m/s2。

（1）若v=4m/s,求物塊通過水平傳送帶所需的時間f；

（2）改變傳送帶的速度-大小和方向，求物塊從傳送帶右側滑出時的速度％大小的范

國；

（3）若u=8m/s向右，物塊沿弦CD滑離圓盤，C。與過C點的直徑夾角為凡求物塊

滑離圓盤落地時，落地點到C的水平距離最大時對應的cos。值（保留2位有效數(shù)字）

圖1圖2

19.某種彈射裝置如圖所示，左端固定的輕彈簧處于壓縮狀態(tài)且鎖定，彈簧具有的

彈性勢能E>9J,質量〃廠2kg的滑塊靜止于彈簧右端，光滑水平軌道的右端與傾侑

仇:30。的傳送帶平滑連接，傳送帶長度L=12m,傳送帶以恒定速率vo=8m/s順時針轉動。

某時刻解除鎖定，滑塊被彈簧彈射后滑上傳送帶，并從傳送帶頂端滑離落至地面。已知

滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)〃=與，輕彈簧的自然長度小于水平軌道AB的長度且

滑塊可視為質點，重力如速度g取10m/s<

（1）求解除鎖定后，滑塊被彈簧彈出后的速度大小；

（2）求滑塊在傳送帶上運動的過程中，摩擦力對滑塊做的功W;

（3）求由于傳送滑塊電動機多消耗的電能氏

（4）若每次開始時彈簧裝置具有不同的彈性勢能耳，要使滑塊滑離傳送帶后總能落至

地面上的同一位置，求耳的取值范圍。

20.如圖所示，光滑半圓形軌道/W豎直固定放置，軌道半徑為A（可調節(jié)），軌道

最高點A處有一彈射裝置，最低點8處與放在光滑水平面上足夠長的木板。上表面處

于同一高度，木板左側x處有一固定擋板C（x未知）?？梢暈橘|點的物塊。壓縮彈射裝

置中的彈簧，使彈簧具有彈性勢能號，戶從A處被彈出后沿軌道運動到8處時的速度

大小始終為匕=6m/s；己知產的質量〃?=lkg,。的質量M=2kg,P、Q間的動摩擦

因數(shù)〃=0.3,。與C之間的碰撞為彈性碰撞，忽略空氣阻力，重力加速度g=10m/s\

（1）若P恰好不脫離軌道，求軌道半徑R的值；

（2）若尸始終不脫離軌道，寫出彈性勢能J與R的關系式，并指出R的取值范圍；

（3）若Q與。恰好發(fā)生〃次碰撞后靜止，求x的值。

第17講動能定理及其應用

劃重點之精細講義系列

。要爭考點制吊

考點一動能定理的理解和應用

一?動能

1.公式：反=/"，2,式中〃為瞬時速度，動能是狀態(tài)量.

2.矢標性：動能是標量,只有正值，動能與速度的方向無關.

3.動能的變化量：AEk=%加一＞憂

4.動能的相對性

由于速度具有相對性,則動能也具有相對性,一般以地面為參考系.

二.動能定理

1.內容：合外力對物體所做的功等于物體動熊的變化.

表達式：W=AEk=5〃加一/〃間.

3.功與動能的關系

(l)VV＞0,物體的動能增加.

(2)卬＜0,物體的動能減少.

(3)W=0,物體的動能不變.

4.適用條件

(1)動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動.

(2)既適用于?恒力做功，也適用「變力做功.

(3)力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以不同時作用.

劃重點

1.定理中“外力”的兩點理解

(1)重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其他力，它們可以同時作用，也可以不同

時作用.

(2)既可以是恒力，也可以是變力.

2.公式中“=”體現(xiàn)的三個關系

--------合力做功與動能變化具

〔數(shù)量關系卜、有等量代換的關系

單，關系卜、國際單位制中都是焦耳

?,合力做功是引起物體動

［因果關系H能變化的原因

3.應用動能定理的注意事項

(I)動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面靜

止的物體為參考系.

(2)應用動能定理時，必須明確各力做功的正、負.

(3)應用動能定理解題，關鍵是對研究對象進行準確的受力分析及運動過程分析，并畫

出物體運動過程的草圖，借助草圖理解物理過程和各量關系.

目典例分市

【典例I］光滑斜面上有個小球自高為h的A處由靜止開始滾下，抵達光滑水平面上

的B點時速度大小為m先滑水平面上每隔相等的距離設置了一個與小球運動方向垂直的活

動阻擋條，如圖所示，小球越過〃條活動阻擋條后停下來.若讓小球從力高處以初速度加

滾下，則小球能越過的活動阻擋條的條數(shù)是(設小球每次越過活動阻擋條時損失的動能相

A.nB.2〃

C.3〃D.4/7

解析：選B.設每條阻擋條對小球做的功為W,當小球在水平面上滾動時，由動能定理

得〃W=0-,對第二次有NW=0—*加=0—+，〃")，又因為=mgh,聯(lián)立

解得N=2n,選項B正確.

【典例2】(多選)質量不等，但有相同動能的兩個物體，在動摩擦因數(shù)相同的水平地面

上滑行，直至停止，貝1」()

A.質量大的物體滑行的距離大

B.質量小的物體滑行的距離大

C.它們滑行的距離一樣大

D.它們克服摩擦力所做的功一樣多

解析：選BD.由功能定理可知，摩擦力對物體所做的功等于物體動能的增量，因兩物體

具有相同的動能，故兩物沐滑行過程中克服摩擦力所做的功也相同，又Wf="〃?g"可知，質

量越大的物體，滑行的距離x越小，故B、D選項正確.

【典例3】如圖所示，質量為m的小球用長為L的輕質細線懸于O點，與。點處于同

一水平線上的P點處有一個光滑的細釘，已知OP=/在A點給小球一個水平向左的初速

度如，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達跟P點在同一豎直線上的最高點8.求：

/,I

t.

：卞40

\L

(1)小球到達4點時的速率；

(2)若不計空氣阻力，則初速度加為多少；

(3)若初速度加=3位，則小球在從A到B的過程中克服空氣阻力做了多少功？

解析：(1)小球恰能到達最高點5,由牛頓笫二定律得

vi

"吆="7

2

(2)若不計空氣阻力，從A-B由動能定理得

—m

解得v0=

(3)當即=3*7時，由動能定理得

-m.WFi=^nvl-^fnvi

⑶孕3

售)敲黑根山

⑴優(yōu)先應用動能定理的問題

①不涉及加速度、時間的問題.

②有多個物理過程且不需要研究整個過程中的中間狀態(tài)的問題.

③變力做功的問題.

④含有R/、〃I、“W、反等物理量的力學問題.

(2)應用動能定理的解題步驟

(

解

方

分階段或程

、

全過程列討

方程論

結

果

〕

考點二動能定理與圖象的綜合問題

1.力學中圖象所圍“面積”的意義

(1)?！皥D：由公式“="可知，。“圖線與坐標軸圍成的面積表示物體的位移.

(2)〃-/圖：由公式A0=a/可知，圖線與坐標軸圍成的面積表示物體速度的變化量.

(3)F-x圖：由公式W=&可知，/-x圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功.

(4)P“圖：由公式W=A可知，P”圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功.

2.解決物理圖象問題的基本步驟

(I)觀察題目給出的圖象，弄清縱坐標、橫坐標所對應的物理量及圖線所表示的物理意

義.

(2)根據(jù)物理規(guī)律推導出縱坐標與橫坐標所對應的物理量間的函數(shù)關系式.

(3)將推導出的物理規(guī)律與數(shù)學上與之相對應的標準函數(shù)關系式相對比，找出圖線的斜

率、截距、圖線的交點，圖線下的面積所對應的物理意義，分析解答問題.或者利用函數(shù)圖

線上的特定值代入函數(shù)關系式求物理量.

【典例1】如圖甲所示，一半徑R=1m、圓心角等于143。的豎直圓弧形光滑軌道，與

斜面相切于8處，圓弧軌道的最高點為"，斜面傾角。=37。，/=0時刻有一物塊沿斜面上

滑，其在斜面上運動的速度變化規(guī)律如圖乙所示，若物塊恰能到達M點，取g=10m/Csin

37°=0.6,cos37°=0.8,求：

0.8

甲乙

(1)物塊經(jīng)過M點的速度大?。?/p>

(2)物塊經(jīng)過B點的速度大??；

(3)物塊與斜面間的動摩擦因數(shù).

2

解析⑴物塊恰能到達M點則有mg=

解得VM=y[gR=y[\()m/s

(2)物塊從8點運動到M點的過程中，由動能定理律

一+cos

解得YB=A/46m/s

(3)由題圖乙可知，物塊在斜面上運動時，加速度大小為〃=*=10m/s\方向沿斜面

向下，有

/〃gsin37°+〃〃?gcos31°=ma

解得〃=05

答案(1)710m/s(2)746m/s(3)0.5

【典例2】A、B兩物體分別在水平恒力Fi和F2的作用下沿水平面運動，先后撤去H、

B后，兩物體最終停下，它們的。“圖象如圖所示.已知兩物體與水平面間的滑動摩擦力大

小相等.則下列說法正確的是()

A.一I、尸2大小之比為1：2

B.Q、@對A、8做功之比為1:2

C.4、8質量之比為2：1

D.全過程中A、8克服摩擦力做功之比為2：1

解析：選C.由速度與時間圖象可知，兩個勻減速運動的加速度之比為1：2,由牛頓第

二定律可知：A、8受摩擦力大小相等，所以A、8的質量關系是2：1,由速度與時間圖象

可知，4、B兩物體加速與減速的位移相等，且勻加速運動位移之比I：2,勻減速運動的位

移之比2：1,由動能定理可得：A物體的拉力與摩擦力的關系，F(xiàn)r.r-/i-3x=0-0：8物體

3

的拉力與摩擦力的關系，F(xiàn)2-2X-^-3X=0-0,因此可得：凡="，&=弘，力=及，所以為

=2&.全過程中摩擦力對A、B做功相等，尸|、出對人、8做功大小相等.故A、B、D錯誤，

C正確.

【典例3】打樁機是利用沖擊力將樁貫入地層的樁工機械.某同學對打樁機的工作原理

產生了興趣.他構建了一個打樁機的簡易模型，如圖甲所示.他設想，用恒定大小的拉力產

拉動繩端從使物體從A點(與釘子接觸處)由靜止開始運動，上升?段高度后撤去用物體

運動到最高點后自由下落并撞擊釘子，將釘子打入一定深度.按此模型分析，若物體質量〃?

=1kg,上升了1m高度時撤去拉力，撤去拉力前物體的動能反與上升高度力的關系圖象

如圖乙所示.(g取lOm/s2,不計空氣阻力)

00.20.40.60.81.0him00.20.40.60.81.0x/mm

乙丙

(1)求物體上升到0.4m高度處F的瞬時功率；

(2)若物體撞擊釘子后瞬間彈起，且使其不再落下，釘子獲得20J的動能向下運動.釘

子總長為10cm.撞擊前插入部分可以忽略，不計釘子重力.已知釘子在插入過程中所受阻力

Ff與深度x的關系圖象如圖丙所示，求釘子能夠插入的最大深度.

解析：(1)撤去小前，根據(jù)動能定理，有

(F-mg)h=Ek-()

由題圖乙得，斜率為4=/一〃次=20N得

F=30N

又由題圖乙得，"=0.4m時，￡k=8J,則9=4m/s

P=Fr=120W

/

(2)碰撞后，對釘子有一垃J=0-Ek

已知以'=20J

又由題圖丙得/=105N/m

解得』=0.02m

答案：⑴120W(2)0.02m

巨鼓黑淺”

動能定理與圖象結合問題的分析方法

（1）首先看清楚所給圖象的種類（如IM圖象、足/圖象、Ek-x圖象等）.

（2）挖掘圖象的隱含條件——求出所需要的物理量，如由?！皥D象所包圍的“面積”求位

移，由廣工圖象所包圍的“面積”求功等.

（3）分析有哪些力做功，根據(jù)動能定理列方程，求出相應的物理量.

考點二用動能定埋解決多過程問題

1.對于多個物理過程要仔細分析，將復雜的過程分割成一個個子過程，分別對每個過程

進行分析?，得出每個過程遵循的規(guī)律，當每個過程都可以運用動能定理時，可以選擇分段

或全程應用動能定理，題目不涉及中間量時，選擇全程應用動能定理更簡單、方便.

2.全程應用動能定理解題求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據(jù)不同的情況分

別對待，弄清楚物體所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功還是負功，然后再正

確寫出總功。

3.對于物體運動過程中有往復運動的情況，物體所受的滑動摩擦力、空氣阻力等大小

不變，方向發(fā)生變化，但在每一段上這類力均做負功，而且這類力所做的功等于力和路程

的乘積，與位移無關。若題目中涉及求解物體運動的路程或位置的變化，可利用動能定理求

出摩擦力做的功，然后進一步確定物體運動的路程或位置?的變化。

4.解題步驟

（1）選取研究對象，明確它的運動過程.

（2）分析研究對象的受力情況和各方的做功情況：

受哪些力一各力是否做功一做正功還是負功一做多少功一

各力做功的代數(shù)和

（3）明確物體在過程的始末狀態(tài)的動能Er和民2.

（4）列出動能定理的方程1〃合=反2一七眉及其他必要的解題方程，進行求解.

【典例1】如圖所示，用一塊長心=1.0m的木板在墻和桌面間架設斜面，桌子高H=

0.8m,長7,2=1.5m.斜面與水平桌面的傾角?？稍凇?60。間調節(jié)后固定.將質量加=Q2kg

的小物塊從斜面頂端靜止釋放，物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)川=0.05,物塊與桌面間的動摩

擦因數(shù)為〃2,忽略物塊在斜面與桌面交接處的能量損失.（重力加速度取g=10m/s2；最大

靜摩擦力等于滑動摩擦力）

(I)求。角增大到多少時，物塊能從斜面開始下滑；【用正切值表示)

(2)當。角增大到37。時，物塊恰能停在桌面邊緣，求物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)〃2；(已

知sin370=0.6,cos37°=0.8)

(3)繼續(xù)增大，角，發(fā)現(xiàn)。=53。時物塊落地點與墻面的距離最大，求此最大距離皿.

解析(I)為使小物塊下滑，應有

mgsin夕》〃i，〃gcos6KL1

0滿足的條件tan920.05②

即當6>=arctan0.05時物塊恰好從斜面開始下滑.

(2)克服摩擦力做功

Wt—fi\mgL\cos0I叫(乙2Ljcos0)③

由動能定理得mgLisn〃-1%=0④

代入數(shù)據(jù)得"2=0.8⑤

⑶由動能定理得mgL\sin0—⑥

結合③式并代入數(shù)據(jù)得v=\m/s⑦

由平拋運動規(guī)律得〃=]g/2,X\=Vl

解得/=0.4s⑧

Xi=0.4in?

=

xm=Ai+L21.9m

答案(l)arctan0.05(2)0.8(3)1.9m

【典例2】如圖所示，相同材料制成的滑道ABC,其中48段為曲面，AC段為水平面.現(xiàn)

有質量為機的木塊，從距離水平面/?高處的A點由靜止釋放，滑到8點過程中克服摩擦力

做功為!，田人：木塊通過4點后繼續(xù)滑行2人距離后，在。點停卜.來，則木塊與曲面間的動摩

B.|

A-3

DA

解析：選A.物體從4點到C點根據(jù)動能定理，mgh-^mgh—/img-2h=0,解得〃=；,

因為曲面和水平軌道是同種材料，所以木塊與曲面間的動摩擦因數(shù)也為看選項A正確.

【典例3］我國將于2022年舉辦冬奧會，跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一.如

圖所示，質量加=60kg的運動員從長直助滑道48的A處由靜止開始以加速度。=3.6m/s2

勻加速滑下，到達助滑道末端B時速度助=24m/s,A與3的豎直高度差H=48m.為了改

變運動員的運動方向，在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接，其中最低點C處附近

是一段以。為圓心的圓弧.助滑道末端8與滑道最低點C的高度差力=5m,運動員在B、

。間運動時阻力做功卬=-1530J,JR10m/s2.

起跳臺

(I)求運動員在A4段下滑時受到阻力R的大小；

(2)若運動員能夠承受的最大壓力為其所受重力的6倍，則。點所在圓弧的半徑R至少

應為多大？

解析：(1)運動員在AB段做初速度為零的勻加速運動，設A6的長度為x,

則有vi=2ax?

由牛頓第二定律有"與一F(=ma?

聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)解得R=144N③

(2)設運動員到達。點時的速度為。c,在由4到達C的過程中，由動能定理有

mgh+欣一

設運動員在。點所受的支持力為Fk,由牛頓第二定律有

F^—ing=nr^?

由運動員能夠承受的最大出力為其所受重力的6倍，聯(lián)工④⑤式，代人數(shù)據(jù)解得R=)2.5

答案：(1)144N(2)12.5m

敲黑板!”

利用動能定理求解多過程問題的基本思路

(1)弄清物體的運動由哪些過程組成.

(2)分析每個過程中物體的受力情況.

(3)各個力做功有何特點，對動能的變化有無影響.

(4)從總體上把握全過程，表達出總功，找出初、末狀態(tài)的動能.

(5)對所研究的全過程運用動能定理列方程.

e

w基礎篇

1.(多選)關于動能定理的表達式卬=反2一4”下列說法正確的是()

A.公式中的W為不包含重力的其他力做的總功

B.公式中的W為包含重力在內的所有力做的功，也可通過以下兩種方式計算：先求每

個力的功再求功的代數(shù)和或先求合外力再求合外力的功

C.公式中的反2—以為動能的增量，當w>()時動能增加，當卬<0時，動能減少

D.動能定理適用于直線運動，但不適用于曲線運動，適用于恒力做功，但不適用于變

力做功

解析：選BC.公式卬=以2一國中的“四為所有力所做的總功，A錯誤，B正確；若W

>0,則反2>反|,若WV0,則Ek2〈Eki,C正確；動能定理對直線運動、曲線運動、恒力

做功、變力做功均適用，D錯誤.

2.如圖所示，A4為;圓弧軌道，4c為水平直軌道.圓弧對應的圓的半徑為R,5c的

長度也是R,一質量為〃?的物體與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為〃，當它由軌道頂端人從靜

止開始下落，恰好運動到C處停止，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為()

BC

C.mgRD.(1

解析：選D.由題意可知mgR=WIBC,W(Bc=^ngR,所以VVMB=(1—gi)mgR,D正

確.

3.一個質量為〃7的物體靜止放在光滑水