2024-2025學(xué)年德州市夏津縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷及答案解析

夏津育中萬隆中英文高級中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.四名同學(xué)報名參加三項課外活動，每人限報其中一項，不同報名方法共有A.種 B.種 C.種 D.種2.一個盒子里裝有大小，材質(zhì)均相同的黑球個，紅球個，白球個，從中任取個，其中白球的個數(shù)記為，則等于的是(

)A. B. C. D.3.經(jīng)過點作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍為A. B. C. D.4.已知盒中裝有個紅球、個白球、個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率A. B. C. D.5.離散型隨機變量的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以，代替，分布列如下：則A. B. C. D.6.的展開式中，前項的系數(shù)成等差數(shù)列，展開式中二項式系數(shù)的最大值為A. B. C. D.7.高三某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，若從班中隨機找出名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，則取最大值時的值為A. B. C. D.8.拋物線上有三點，且直線的斜率大于零，，點為三角形的重心，若直線橫截距的范圍為，則的值是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若隨機變量服從兩點分布，且，和分別為隨機變量的期望與方差，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關(guān)于的說法正確的有A.當(dāng)時，的面積為B.的周長為

C.當(dāng)時，中D.橢圓上有且僅有個點，使得為直角三角形11.已知正方體棱長為，為棱的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是

A.存在點，使得；

B.存在唯一點，使得；

C.當(dāng)，此時點的軌跡長度為；

D.當(dāng)為底面的中心時，三棱錐的外接球表面積為．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開式中的一次項系數(shù)為，則實數(shù)的值為

．13.已知隨機事件滿足，則

．14.已知雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，傾斜角為的直線過右焦點且與雙曲線的左支交于點，若，則雙曲線的離心率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題分從名男生和名女生中選出人去參加某活動的志愿者．若人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？先選出人，再將這人分配到兩個不同的活動場地每個場地均要有人去，人只能去一個場地，則有多少種安排方法？若男女生各需要人，人選出后安排與名組織者合影留念站一排，名女生要求相鄰，則有多少種不同的合影方法？16.本小題分

端午假日期間，某商場為了促銷舉辦了購物砸金蛋活動，凡是在該商場購物的顧客都有一次砸金蛋的機會主持人從編號為，，，的四個金蛋中隨機選擇一個，放入獎品，只有主持人事先知道獎品在哪個金蛋里游戲規(guī)則是顧客有兩次選擇機會，第一次任意選一個金蛋先不砸開，隨后主持人隨機砸開另外三個金蛋中的一個空金蛋，接下來顧客從三個完好的金蛋中第二次任意選擇一個砸開，如果砸中有獎的金蛋直接獲獎現(xiàn)有顧客甲第一次選擇了號金蛋，接著主持人砸開了另外三個金蛋中的一個空金蛋．

作為旁觀者，請你計算主持人砸號金蛋的概率；

當(dāng)主持人砸開號金蛋后，顧客甲重新選擇，請問他是堅持選號金蛋，還是改選號金蛋或號金蛋？以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù)17.本小題分為了解客戶對，兩家快遞公司的配送時效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機獲得了某地區(qū)客戶對這兩家快遞公司評價的調(diào)查問卷，已知，兩家公司的調(diào)查問卷分別有份和份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：快遞公司快遞公司快遞公司項目份數(shù)評價分數(shù)配送時效服務(wù)滿意度配送時效服務(wù)滿意度假設(shè)客戶對，兩家快遞公司的評價相互獨立，用頻率估計概率．從該地區(qū)選擇快遞公司的客戶中隨機抽取人，估計該客戶對快遞公可配送時效的評價不低于分的概率；分別從該地區(qū)和快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機抽取份，記為這份問卷中的服務(wù)滿意度評價不低于分的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；記評價分數(shù)為“優(yōu)秀”等級，為“良好”等級，為“一般”等級已知小王比較看重配送時效的等級，根據(jù)該地區(qū)，兩家快遞公司配送時效的樣本評價分數(shù)的等級情況，你認為小王選擇，哪家快遞公司合適？說明理由.18.本小題分如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，，為棱上的動點．（1）若為棱的中點，證明：；在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）分別在棱上，，求三棱錐的體積的最大值．19．本小題分閱讀材料：極點與極線，是法國數(shù)學(xué)家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點對應(yīng)的極線方程．特別地，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.其中，極點與極線有以下基本性質(zhì)和定理①當(dāng)在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當(dāng)在外時，其極線是曲線從點所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.根據(jù)上述材料回答下面問題：已知雙曲線，右頂點到的一條漸近線的距離為，已知點是直線上的一個動點，點對應(yīng)的極線與雙曲線交于點，(1)若，，證明：極線恒過定點.(2)在（1）的條件下，若該定點為極線的中點，求出此時的極線方程.(3)若，，，極線交的右支于，兩點，點在軸上方，點是雙曲線的左頂點，直線，直線分別交軸于，兩點，點為坐標(biāo)原點，求的值.夏津育中萬隆中英文高級中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.四名同學(xué)報名參加三項課外活動，每人限報其中一項，不同報名方法共有(

)A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C

解：由題意，由于每位同學(xué)都有種選法，故共有

種選法．2.一個盒子里裝有大小，材質(zhì)均相同的黑球個，紅球個，白球個，從中任取個，其中白球的個數(shù)記為，則等于的是(

)A. B. C. D.【答案】C

解：由題設(shè)，取出的個球中沒有白球的概率為，取出的個球中有一個白球的概率為，所以目標(biāo)式表示．3.經(jīng)過點作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】A

解：由題意可知：，，與線段相交，，即；設(shè)直線的傾斜角為，或，由于在及均單調(diào)遞增，或．

4.已知盒中裝有個紅球、個白球、個黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率(

)A. B. C. D.【答案】B

解：設(shè)“第一次拿到白球”為事件，“第二次拿到紅球”為事件，

，，則所求概率為.5.離散型隨機變量的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以，代替，分布列如下：則(

)A. B. C. D.【答案】B

解：由題意得，化簡得，又，且，所以，，所以．6.的展開式中，前項的系數(shù)成等差數(shù)列，展開式中二項式系數(shù)的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】B

解：

展開式的通項公式為，前三項的系數(shù)分別為，，，且成等差數(shù)列，

，即，又，，故解得，二項式系數(shù)的最大值為．

7.高三某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，若從班中隨機找出名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，則取最大值時的值為(

)A. B. C. D.【答案】B

解：由已知，，，，，，，

所以由得：解得，又因為，所以．

故選B．8.拋物線上有三點，且直線的斜率大于零，，點為三角形的重心，若直線橫截距的范圍為，則的值是(

)A. B. C. D.【答案】A

解：由題意知，設(shè)，則，又為的重心，所以，得，代入方程，得設(shè)直線方程為，由，消去，得，，得，，代入，得，即，則，解得，所以，解得．對于，令，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若隨機變量服從兩點分布，其中，和分別為隨機變量的期望與方差，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B. C. D.【答案】ABD

解：隨機變量服從兩點分布，其中，

，

，，故D正確，

對于選項，，故A正確；

對于選項，，故B正確；

對于選項，，故C錯誤；

故選ABD．10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關(guān)于的說法正確的有(

)A.當(dāng)時，的面積為B.的周長為

C.當(dāng)時，中D.橢圓上有且僅有個點，使得為直角三角形【答案】ABD

解：根據(jù)橢圓方程可得，，．

對于，當(dāng)時，設(shè)，，則有，可得，

則的面積，故A正確；

對于，的周長為，故B正確；

對于，當(dāng)時，的邊，故C錯誤；

對于，設(shè)，，

當(dāng)時，則有解得，此時點為上下頂點，

當(dāng)時，有兩個點，當(dāng)時，有兩個點，故D正確．故選：．11.已知正方體棱長為，為棱的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是(

)

A.存在點，使得；

B.存在唯一點，使得；

C.當(dāng)，此時點的軌跡長度為；

D.當(dāng)為底面的中心時，三棱錐的外接球表面積為．【答案】ABD

解：以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

，，設(shè)點坐標(biāo)為，，

為求的最小值，找出點關(guān)于平面的對稱點，設(shè)該點為，則點坐標(biāo)為，

，故A選項正確；

由，可得，故B選項正確；

時，即，而，，

得到，

點軌跡是連接棱中點與棱中點的線段，其長度為線段的一半，即長為，故C選項錯誤；

當(dāng)為底面的中心時，由選項知，顯然，，

三棱錐的外接球球心為棱的中點，從而求得球半徑為，，故D正確．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開式中的一次項系數(shù)為，則實數(shù)的值為

．【答案】

解：的展開式的通項為：，令，解得，的展開式中的一次項為：，，．13.已知隨機事件滿足，則

．【答案】

解：因為，，所以，

所以．

14.已知雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，傾斜角為的直線過右焦點且與雙曲線的左支交于點，若，則雙曲線的離心率為

．【答案】

解：

因為，所以，則，過作軸，垂足為，由題意知，則，故，在中，，，故，又點在雙曲線上，則，將代入整理得，則，解得，又，得到，所以雙曲線的離心率為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題分從名男生和名女生中選出人去參加某活動的志愿者．若人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？先選出人，再將這人分配到兩個不同的活動場地每個場地均要有人去，人只能去一個場地，則有多少種安排方法？若男女生各需要人，人選出后安排與名組織者合影留念站一排，名女生要求相鄰，則有多少種不同的合影方法？【答案】解：從這人中任選人的選法有種，其中只有男生的選法有種，

只有女生的選法有種，故人中必須既有男生又有女生的選法有種4分從這人中任選人的選法有種，若人數(shù)按，分配，則安排方法有種，若人數(shù)按，分配，則安排方法有種，所以共有種安排方法．9分因為男女生各需要人，所以選出人的方法有種，先排名男生與名組織者，有種排法，再將名女生“捆綁”在一起，放入個空檔中，所以共有種不同的合影方法．13分16.本小題分

端午假日期間，某商場為了促銷舉辦了購物砸金蛋活動，凡是在該商場購物的顧客都有一次砸金蛋的機會主持人從編號為，，，的四個金蛋中隨機選擇一個，放入獎品，只有主持人事先知道獎品在哪個金蛋里游戲規(guī)則是顧客有兩次選擇機會，第一次任意選一個金蛋先不砸開，隨后主持人隨機砸開另外三個金蛋中的一個空金蛋，接下來顧客從三個完好的金蛋中第二次任意選擇一個砸開，如果砸中有獎的金蛋直接獲獎現(xiàn)有顧客甲第一次選擇了號金蛋，接著主持人砸開了另外三個金蛋中的一個空金蛋．

作為旁觀者，請你計算主持人砸號金蛋的概率；

當(dāng)主持人砸開號金蛋后，顧客甲重新選擇，請問他是堅持選號金蛋，還是改選號金蛋或號金蛋？以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù)【答案】解：設(shè)，，，分別表示，，，號金蛋里有獎品，設(shè)，，，分別表示主持人砸開，，，號金蛋，則，且，，，兩兩互斥．

由題意可知，事件，，，的概率都是，

，，，．6分

由全概率公式，得．8分

在主持人砸開號金蛋的條件下，號金蛋、號金蛋、號金蛋里有獎品的概率分別為

，10分

，12分

，14分

通過概率大小比較，甲應(yīng)該改選號金蛋或號金蛋．

15分本小題分為了解客戶對，兩家快遞公司的配送時效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機獲得了某地區(qū)客戶對這兩家快遞公司評價的調(diào)查問卷，已知，兩家公司的調(diào)查問卷分別有份和份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：快遞公司快遞公司快遞公司項目份數(shù)評價分數(shù)配送時效服務(wù)滿意度配送時效服務(wù)滿意度假設(shè)客戶對，兩家快遞公司的評價相互獨立，用頻率估計概率．從該地區(qū)選擇快遞公司的客戶中隨機抽取人，估計該客戶對快遞公司配送時效的評價不低于分的概率；分別從該地區(qū)和快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機抽取份，記為這份問卷中的服務(wù)滿意度評價不低于分的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；記評價分數(shù)為“優(yōu)秀”等級，為“良好”等級，為“一般”等級已知小王比較看重配送時效的等級，根據(jù)該地區(qū)，兩家快遞公司配送時效的樣本評價分數(shù)的等級情況，你認為小王選擇，哪家快遞公司合適？說明理由.【答案】解：調(diào)查問卷中共有份，其中配送時效的評價不低于分的份數(shù)為，則，故可估計該客戶對快遞公可配送時效的評價不低于分的概率為； 2分快遞公司的樣本調(diào)查問卷中抽取的份服務(wù)滿意度評價不低于分的概率為：，3分快遞公司的樣本調(diào)查問卷中抽取的份服務(wù)滿意度評價不低于分的概率為：，4分的可能取值為，，，5分，6分，7分，8分故其分布列為：其期望；10分快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”等級占比為，“良好”等級占比為，“一般”等級占比為；11分快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”等級占比為，“良好”等級占比為，“一般”等級占比為；12分其中快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比為，13分快遞公司的樣本調(diào)查問卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比為，14分我認為小王應(yīng)該選擇快遞公司，因為快遞公司中“優(yōu)秀”或“良好”等級占比比公司大．15分18.本小題分如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，，為棱上的動點．若為棱中點，證明：面；在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；，，分別在棱，，上，，求三棱錐的體積的最大值．【答案】解：連接交于，連接，易知，

又因為面上，面，所以面2分

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，，3分

由為棱上一點，設(shè)，，

，．4分

設(shè)平面的法向量為，

由可得

令，則，則6分

平面的一個法向量為，7分

則二面角的平面角滿足：，

化簡得：，解得：或舍去，故存在滿足條件的點，此時10分

因為，

可知三棱錐體積最大時，即最大，

在中，由余弦定理有：，

可得，

設(shè)，則，12分

由題可知：該方程有實根，則，解得，同理可得．13分

設(shè)點到平面的距離為，

則由等體積法得到：，

即，解得：．15分

當(dāng)最大時三棱錐體積最大，即三棱錐體積最大，且易得∠APC=60°，

所以最大體積為：．

17分19．閱讀材料：極點與極線，是法國數(shù)學(xué)家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點對應(yīng)的極線方程．特別地，對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.其中，極點與極線有以下基本性質(zhì)和定理①當(dāng)在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；