4.3.2.1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（知識(shí)梳理+例題+變式+練習(xí)）（解析版）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.3.2.1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和要點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【重點(diǎn)總結(jié)】(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分q＝1與q≠1兩種情況，因此當(dāng)公比未知時(shí)，要對(duì)公比進(jìn)行分類討論．(2)q≠1時(shí)，公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)與Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)是等價(jià)的，利用an＝a1qn－1可以實(shí)現(xiàn)它們之間的相互轉(zhuǎn)化．當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)較方便；當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)較方便．要點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)當(dāng)q＝1時(shí)，eq\f(Sn,Sm)＝；當(dāng)q≠±1時(shí)，eq\f(Sn,Sm)＝.(2)Sn＋m＝Sm＋Sn＝Sn＋Sm.(3)設(shè)S偶與S奇分別是偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和．若項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.(4)當(dāng)q≠－1時(shí)，連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍組成等比數(shù)列(公比為，m≥2)，注意：這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立．【筆記小結(jié)】(1)當(dāng)q＝－1且k為偶數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比數(shù)列；(2)當(dāng)q≠－1時(shí)，或q＝－1且k為奇數(shù)時(shí)，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數(shù)列．(3)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則：①前n項(xiàng)積Tn＝aeq\o\al(n,1)q；②連續(xù)m項(xiàng)的積仍為等比數(shù)列，即Tm，eq\f(T2m,Tm)，eq\f(T3m,T2m)，…是等比數(shù)列，公比為qm2.【基礎(chǔ)自測(cè)】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)求等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)可直接套用公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)來(lái)求．()(2)若首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和為Sn＝na.()(3)若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數(shù)列一定是等比數(shù)列．()(4)若Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則S3，S6，S9成等比數(shù)列．()【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，公比q＝2，則S5等于()A．93B．－93C．45D．－45【答案】A【解析】S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31－25,1－2)＝93.故選A.3．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝1，S6＝9，則公比q＝________.【答案】2【解析】S6－S3＝a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3＝S3·q3＝1×q3＝8.∴q＝2.題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算【例1】在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.【解析】(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))從而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11)(2)法一：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq\f(1,8)，從而q＝eq\f(1,2).又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，從而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).(3)因?yàn)閍2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩根．從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q為2或eq\f(1,2).【方法歸納】(1)在等比數(shù)列{an}的五個(gè)量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三個(gè)量，通過(guò)列方程組，就能求出另外兩個(gè)量，這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．(2)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．【跟蹤訓(xùn)練】在等比數(shù)列{an}中，(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.【解析】(1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得11eq\r(2)＝eq\f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得16eq\r(2)＝eq\r(2)(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，則S8＝2S4，不合題意，∴q≠1，∴S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝17，兩式相除得eq\f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq\f(1,15)或a1＝－eq\f(1,5)，∴an＝eq\f(1,15)·2n－1或－eq\f(1,5)·(－2)n－1.題型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為()A．28B．32C．21D．28或－21【解析】∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，即7，S4－7,91－S4成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.故選A.【變式訓(xùn)練1】將本例中“S2＝7，S6＝91”換為“正數(shù)等比數(shù)列中Sn＝2，S3n＝14”，則S4n＝________.【答案】30【解析】設(shè)S2n＝x，S4n＝y(tǒng)，則2，x－2,14－x，y－14成等比數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22＝214－x，,14－x2＝x－2y－14，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－40))(舍去)，所以S4n＝30.【例3】等比數(shù)列{an}中，公比q＝3，S80＝32，則a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.【答案】24【解析】設(shè)S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.則eq\f(S1,S2)＝q＝3，即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴eq\f(4,3)S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.【方法技巧】考慮eq\f(S偶,S奇)＝q，及S2n＝S奇＋S偶．【變式探究2】本例中的“q＝3，S80＝32.”改為“項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)之和是奇數(shù)項(xiàng)之和的eq\f(1,2)，又它的首項(xiàng)為eq\f(1,2)，且中間兩項(xiàng)的和為eq\f(3,128)”，則等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________．【答案】12【解析】設(shè)等比數(shù)列為{an}，項(xiàng)數(shù)為2n，一個(gè)項(xiàng)數(shù)為2n的等比數(shù)列中，eq\f(S偶,S奇)＝q，則q＝eq\f(1,2)，又an和an＋1為中間兩項(xiàng)，則an＋an＋1＝eq\f(3,128)，即a1qn－1＋a1qn＝eq\f(3,128)，又a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＋eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(3,128)?eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,128)?n＝6.∴項(xiàng)數(shù)為2n＝12.則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為12.【方法歸納】(1)在涉及奇數(shù)項(xiàng)和S奇與偶數(shù)項(xiàng)和S偶時(shí)，?？紤]其差或比進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算．若項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q(S偶≠0)．(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn(且Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn(q≠－1)．題型三an與Sn關(guān)系的應(yīng)用【例4】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，(1)證明：an＋2＝3an；(2)求Sn.【解析】(1)證明：由已知，an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而對(duì)任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.兩式相減，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又因?yàn)閍1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.故對(duì)一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)由(1)知，an≠0，所以eq\f(an＋2,an)＝3，于是數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)a1＝1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)a2＝2，公比為3的等比數(shù)列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝eq\f(33n－1,2)，從而S2n－1＝S2n－a2n＝eq\f(33n－1,2)－2×3n－1＝eq\f(3,2)(5×3n－2－1)．綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)5×3\f(n－3,2)－1，n是奇數(shù)，,\f(3,2)3\f(n,2)－1，n是偶數(shù).))【方法歸納】由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到an＋2＝3an.由an＋2＝3an知{an}是由兩個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成，所以求Sn時(shí)要分奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和，并且要注意對(duì)n是奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)討論．【跟蹤訓(xùn)練2】若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則an＝________.【答案】(－2)n－1【解析】由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝－2an－1(n≥2)∴eq\f(an,an－1)＝－2(n≥2)又a1＝1，∴an＝(－2)n－1，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n＝1時(shí)，上式也適合，∴an＝(－2)n－1.【易錯(cuò)辨析】忽略對(duì)公比q的討論致誤【例5】已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________.【答案】2或8【解析】若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意，此時(shí)a3＝a1＝2.若q≠1時(shí)，則S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2，此時(shí)a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上a3的值為2或8.【易錯(cuò)警示】1出錯(cuò)原因忽略了對(duì)公比q的討論，直接使用了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，從而漏解致誤.2.糾錯(cuò)心得解答有關(guān)等比數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮公比q兩種情況q＝1或q≠1，否則容易出錯(cuò).一、單選題1．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．-2或3 B．-2 C．3 D．【答案】C【分析】用等比數(shù)列的基本量表示出，然后代入條件計(jì)算得答案.【解析】由題可知，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴.故選：C.2．?dāng)?shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題干所給條件寫出數(shù)列，的通項(xiàng)公式，并寫出數(shù)列，得知數(shù)列是等比數(shù)列，再用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可.【解析】∵數(shù)列，滿足，，，∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)是2且公差是2，是等比數(shù)列，首項(xiàng)是2且公比是2，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列為，設(shè)，則，∴數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為4，首項(xiàng)為4．則數(shù)列的前10項(xiàng)和為，即數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選：B.3．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則公比（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題干所給條件列式并聯(lián)立計(jì)算即可.【解析】設(shè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)為，則，，因?yàn)?，則，得①因?yàn)椋瑒t，得②式子①-②，得，顯然，，則.故選：B.4．?dāng)?shù)列中，，對(duì)任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.5．設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題得（1），,（2），兩式相減求出即得解.【解析】由題得（1），又（2），（2）-（1）得適合.所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以的等比數(shù)列，所以.故選：C6．定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，含有個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，又，再利用錯(cuò)位相減法即求.【解析】由題知當(dāng)時(shí)，含有個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，又，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以．故選：．7．給出命題：若（，，都是與無(wú)關(guān)的常數(shù)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則.在這個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)公式得到原命題為真，故逆否命題為真，舉出反例恒等于得到逆命題和否命題為假，得到答案.【解析】因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，由于是等比數(shù)列，所以對(duì)也適合，所以，化簡(jiǎn)得，所以原命題是真命題，因此逆否命題也是真命題；反之，當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)恒等于，不可能是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以逆命題是假命題，因此，否命題也是假命題.故選：C.8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意求出，從而得到；再由對(duì)于任意的，不等式恒成立，得到不等式在時(shí)恒成立，從而得到，通過(guò)解不等式組即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式相減，得，即，又時(shí)，，所以，因?yàn)橐策m合，所以.所以，因?yàn)閷?duì)于任意的，不等式恒成立，所以對(duì)于任意的，不等式恒成立，即對(duì)于任意的，不等式恒成立，所以只需，即，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多選題9．在等比數(shù)列中，公比，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】BC【分析】利用已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求公比，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合各選項(xiàng)判斷正誤即可.【解析】由題設(shè)，，即，由可得：，∴，，∴且公差為；且.綜上，A、D錯(cuò)誤，B、C正確.故選：BC10．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3），記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．若，為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是D．若恒成立，則的最小值為【答案】AD【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于較難題目．設(shè)第個(gè)圖形的邊數(shù)為，可得為等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，并求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到和的通項(xiàng)公式，即可對(duì)，作出判定；利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得的最小值，判斷C選項(xiàng)；根據(jù)的單調(diào)性和范圍求得單調(diào)性和范圍，從而求得的最小值，從而判斷D選項(xiàng)．【解析】由題意可知，下一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖邊長(zhǎng)的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形的4倍，

可得周長(zhǎng)的遞推關(guān)系式為，由圖知，

，選項(xiàng)A正確；

從第2個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)均為上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，

所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

由，得，

計(jì)算得

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.

因?yàn)轭}中要求，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

根據(jù)選項(xiàng)B中的分析，，所以

即

設(shè)，則在上單調(diào)遞增.

所以時(shí)，

所以的最小值是.選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

11．(多選題)如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，am(m為正整數(shù))滿足a1＝am，a2＝am－1，…，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”.例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè){bn}是項(xiàng)數(shù)為2m(m>1，m∈N*)的“對(duì)稱數(shù)列”，且1，2，22，23，…，2m－1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和S100可能的取值為（）A．2100－1 B．251－2C．226－4 D．2m＋1－22m－100－1【答案】ABD【分析】依題意可得數(shù)列{bn}為1，2，22，23，…，，，…，23，22，2，1，再對(duì)分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可得；【解析】解：由題意知數(shù)列{bn}為1，2，22，23，…，，，…，23，22，2，1.若，則，故B正確；若，則，故D正確.若，則，故A正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12．若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】5【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【解析】因?yàn)椋魰r(shí)，可得，故，所以，化簡(jiǎn)得，整理得，解得或，因?yàn)?，解得，所?故答案為：.13．已知數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和__________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用分組求和法即可求出答案.【解析】解：∵，∴.故答案為：.14．在等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和?前項(xiàng)積分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最小值為___________.【答案】【分析】先求出，，再求出，即對(duì)任意正整數(shù)都成立，求出函數(shù)的最大值即得解.【解析】因?yàn)椋?，所以公比，所以，所以，，，，要，即?duì)任意正整數(shù)都成立，只要，又，所以或時(shí)，取最大值，所以，的最小值為.故答案為：8四、解答題15．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）()；()（2）()【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比q，由給定條件求出q及a1即可得的通項(xiàng)；由結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”即可得的通項(xiàng).(2)利用(1)的結(jié)論分類討論，借助分組求和方法及等差等比數(shù)列求和公式即可計(jì)算得解.（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比q，因成等差數(shù)列，則，即，，而，解得，又，即，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，；，數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，整理得：，于是得數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，.（2）由(1)知，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和().【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.16．科學(xué)數(shù)據(jù)證明，當(dāng)前嚴(yán)重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化主要是工業(yè)革命以來(lái)人類活動(dòng)造成的二氧化碳排放所致．應(yīng)對(duì)氣候變化的關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，而后實(shí)現(xiàn)碳中和．2020年第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上，我國(guó)向世界鄭重承諾力爭(zhēng)在2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，努力爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．2021年全國(guó)兩會(huì)的政府工作報(bào)告明確提出要扎實(shí)做好碳達(dá)峰和碳中和的各項(xiàng)工作，某地為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力發(fā)展清潔電能，根據(jù)規(guī)劃，2021年度火電發(fā)電量為8億千瓦時(shí)，以后每年比上一年減少20%，2021年度清潔電能發(fā)電量為4億千瓦時(shí)，以后每年比上一年增長(zhǎng)25%．（1）設(shè)從2021年開始的年內(nèi)火電發(fā)電總量為億千瓦時(shí)，清潔電能總發(fā)電量為億千瓦時(shí)，求，（約定時(shí)為2021年）；（2