《單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源1/10《單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象【考查內(nèi)容】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)【考查題型】選擇題、填空題2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容包含正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì).通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)2.三角函數(shù)值的符號(hào)數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析學(xué)生熟悉的函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng),這里給出的函數(shù)首先是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到實(shí)數(shù)(橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo))的對(duì)應(yīng),學(xué)生在理解上可能會(huì)有一定的困難.學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.根據(jù)定義理解正弦、余弦函數(shù)在各個(gè)象限及坐標(biāo)軸上的符號(hào),求一些特殊角的三角函數(shù)值.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】1.理解三角函數(shù)的定義,教學(xué)時(shí),利用多媒體工具,可以很容易地建立起角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來,引導(dǎo)學(xué)生考慮當(dāng)角的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)怎么處理;引導(dǎo)學(xué)生通過自已的思維活動(dòng)得出教材中“探究”欄目里問題的結(jié)論.2.在處理教材上的例題時(shí),建議先讓學(xué)生獨(dú)立完成,然后教師指出其中出現(xiàn)的問題,再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、總結(jié)、提升,另外,整個(gè)教學(xué)過程要向?qū)W生滲透分類討論的意識(shí).【教學(xué)方法建議】探究教學(xué)法,演示教學(xué)法,還有________________________________________________【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件______________________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)精講探究1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)師:學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義,接下來研究它們的一些性質(zhì),即自變量的取值范圍各是什么?各象限角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)如何?【先學(xué)后教】先通過問題引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)、學(xué)習(xí),利用直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得出定義域、函數(shù)值的符號(hào)等結(jié)論.【情境設(shè)置】探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的符號(hào)根據(jù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義,先將正弦,余弦,正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入表格,再將這兩種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖中的括號(hào).【教師提示:利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得出定義域、函數(shù)值的符號(hào)等結(jié)論,注意正切函數(shù)定義域的特殊性,學(xué)生思考,討論,填表】師:通過填表,你能總結(jié)出各三角函數(shù)在各象限的符號(hào)有什么規(guī)律嗎?【學(xué)生思考,討論,回答問題】生:在第一象限各正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值均為正,第二象限只有正弦值為正,第四象限只有余弦值為正.師:還可以根據(jù)角的終邊所在象限判斷其終邊上任意一點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)符號(hào),結(jié)合定義可確定弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào).【要點(diǎn)知識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值符號(hào)【概括理解能力】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義,通過填表探究函數(shù)值的符號(hào),總結(jié)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的概括理解能力.探究2誘導(dǎo)公式(一)師:接下來看一道例題.【典型例題】根據(jù)三角函數(shù)的函數(shù)值符號(hào)解決問題例1求證:角為第三象限角的充要條件是師:本題中,誰是條件,誰是結(jié)論?生:“①②式”是條件,“角為第三象限角”是結(jié)論.師:回憶一下,如何證明這類問題?生:既要證充分性,又要證必要性.師:你能嘗試進(jìn)行證明嗎?生:先證充分性,即如果①②式都成立,那么為第三象限角.因?yàn)棰偈匠闪?所以角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能與y軸的負(fù)半軸重合;又因?yàn)棰谑匠闪?所以角的終邊可能位于第一或第三象限.因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?所以角的終邊只能位于第三象限.于是角為第三角限角.師:根據(jù)三角函數(shù)的定義可知,只要知道角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo),就可以求得角α的三角函數(shù)值,那么角不同是不是對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值不相等?生:不是.師:什么情況下角不同,三角函數(shù)值會(huì)相等?生:終邊相同的時(shí)候.師:由三角函數(shù)的定義可知,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.你能用數(shù)學(xué)式子來表示嗎?【推測解釋能力】學(xué)生在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下,回憶思考證明的方法,利用各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行充要條件的證明,培養(yǎng)學(xué)生推測解釋能力,從而提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).【學(xué)生思考、嘗試回答問題,教師展示結(jié)果】【歸納總結(jié)】誘導(dǎo)公式一師:由誘導(dǎo)公式一可知三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn).那么誘導(dǎo)公式一有什么作用?生:在運(yùn)算中起到化簡的作用,即利用誘導(dǎo)公式一,可以把任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0~2π(或0°~360°)角的三角函數(shù)值.【少教精教】在具體的問題情境中,啟發(fā)學(xué)生尋找共同規(guī)律,自主思考總結(jié)可以表示這一規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式,最終師生一起得出誘導(dǎo)公式(一),并且在思考的過程中,總結(jié)得到誘導(dǎo)公式的作用,從而達(dá)到少教精教的目的.師:我們已經(jīng)知道利用誘導(dǎo)公式一可以確定三角函數(shù)的符號(hào),那具體怎么計(jì)算呢?看下面例題【典型例題】利用誘導(dǎo)公式一確定三角函數(shù)的符號(hào)例2確定下列三角函數(shù)值的符號(hào),然后用計(jì)算工具驗(yàn)證:(1);(2).【教師提示:利用誘導(dǎo)公式一把所給的角化為(或)終邊相同的角,再確定三角函數(shù)值的符號(hào),學(xué)生思考并解答】生:(1)∵是第三象限角,∴.(2)∵是第四象限角,∴.【分析計(jì)算能力】通過例2利用誘導(dǎo)公式,把所求三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成特殊三角函數(shù),從而求值,并注意分析其中的符號(hào)正負(fù),充分提升學(xué)生的分析計(jì)算能力.【學(xué)生獨(dú)立完成后用計(jì)算工具驗(yàn)證】師:下面看利用誘導(dǎo)公式一求三角函數(shù)值的例題.【典型例題】利用誘導(dǎo)公式一求三角函數(shù)值例3求下列三角函數(shù)值:(1)(精確到);(2);【教師提示:可以先利用誘導(dǎo)公式一對(duì)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再由特殊角的三角函數(shù)值或計(jì)算器求值,也可以直接利用計(jì)算工具求三角函數(shù)的值.用計(jì)算工具求值時(shí)要注意設(shè)置角的適當(dāng)?shù)亩攘恐?學(xué)生思考并解答.】生:(1).(2).【以學(xué)定教】教師通過例3讓學(xué)生自主練習(xí),計(jì)算具體角度的三角函數(shù)值,在求值的過程中,也鞏固了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,以學(xué)生的理解與掌握為中心,體現(xiàn)了以學(xué)定教的教學(xué)策略.師:接下來我們通過幾道題鞏固練習(xí)一下.【鞏固練習(xí)】三角函數(shù)的性質(zhì)1.填表:2.(口答)設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角,在中,哪些有可能取負(fù)值?【學(xué)生獨(dú)立計(jì)算,并回答問題】生:1001-12.當(dāng)為鈍角時(shí),cos取負(fù)值.【整體學(xué)習(xí)】學(xué)完本節(jié),利用鞏固練習(xí)進(jìn)行知識(shí)的復(fù)習(xí)整理和鞏固,在做題過程中加深對(duì)三角函數(shù)概念的理解與相關(guān)做題方法的掌握.【分析計(jì)算能力】學(xué)生獨(dú)立計(jì)算課堂鞏固練習(xí),在計(jì)算過程中體會(huì)知識(shí)的生成和應(yīng)用,在應(yīng)用過程中鍛煉了分析計(jì)算能力.師:通過這節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)?【課堂小結(jié)】三角函數(shù)的性質(zhì)【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí),利用了先學(xué)后教、少教精教、以學(xué)定教的教學(xué)策略和整體學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)策略,培養(yǎng)了學(xué)生概括理解能力、分析計(jì)算能力、推測解釋能力,提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教學(xué)評(píng)價(jià)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生理解三角函數(shù)的概念,能根據(jù)三角函數(shù)的定義確定三角函數(shù)的符號(hào),并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、證明和求值運(yùn)算.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下題:已知:,且有意義.(1)試判斷角所在的象限.(2)若角的終邊上一點(diǎn)是,且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的值及的值.解析:(1)要判斷角所在的象限,先確定角的三角函數(shù)值的符號(hào).由,可知,由有定義,,所以,角在第四象限.(2)利用勾股定理可得關(guān)于的方程,進(jìn)而解方程、利用定義計(jì)算即可.由得,解得.又角在第四象限,由正弦函數(shù)的定義可知.【設(shè)計(jì)意圖】圍繞本節(jié)知識(shí)點(diǎn)——三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生整理知識(shí),體會(huì)知識(shí)的生成、發(fā)展、完善的過程,鍛煉學(xué)生觀察記憶、說明論證、概括理解、推測解釋、分析計(jì)算,簡單問題解決等學(xué)科能力,從而達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)目標(biāo)要求.教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容分主要是對(duì)三角函數(shù)這一部分知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí),三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù),是解決實(shí)際問題的重要工具,同樣也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理和天文等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).在本節(jié)的教學(xué)中,應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)以周期變化