100個經(jīng)典初等數(shù)學問題

100個經(jīng)典初等數(shù)學問題第01題

阿基米德分牛問題Archimedes'

Problema

Bovinum

太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成.

在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之數(shù)相當于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之數(shù)相當于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之數(shù)相當于白牛數(shù)的1/6+1

/7.

在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7.

問這牛群是怎樣組成的？

第02題

德?梅齊里亞克的法碼問題The

Weight

Problem

of

Bachet

de

Meziriac

一位商人有一個40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物.

問這4塊砝碼碎片各重多少？第03題

牛頓的草地與母牛問題Newton's

Problem

of

the

Fields

and

Cows

a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了；

a'頭母牛將b'塊地上的牧草在c'天內(nèi)吃完了；

a"頭母牛將b"塊地上的牧草在c"天內(nèi)吃完了；

求出從a到c"9個數(shù)量之間的關(guān)系？

第04題

貝韋克的七個7的問題Berwick's

Problem

of

the

Seven

Sevens

在下面除法例題中，被除數(shù)被除數(shù)除盡：

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

÷

*

*

*

*

7

*

=

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

用星號（*）標出的那些數(shù)位上的數(shù)字偶然被擦掉了，那些不見了的是些什么數(shù)字呢？第05題

柯克曼的女學生問題Kirkman's

Schoolgirl

Problem

某寄宿學校有十五名女生，她們經(jīng)常每天三人一行地散步，問要怎樣安排才能使每個女生同其他每個女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06題

伯努利-歐拉關(guān)于裝錯信封的問題The

Bernoulli-Euler

Problem

of

the

Misaddressed

letters

求n個元素的排列，要求在排列中沒有一個元素處于它應(yīng)當占有的位置.

第07題

歐拉關(guān)于多邊形的剖分問題Euler's

Problem

of

Polygon

Division

可以有多少種方法用對角線把一個n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？

第08題

魯卡斯的配偶夫婦問題Lucas'

Problem

of

the

Married

Couples

n對夫婦圍圓桌而坐，其座次是兩個婦人之間坐一個男人，而沒有一個男人和自己的妻子并坐，問有多少種坐法？第09題

卡亞姆的二項展開式Omar

Khayyam's

Binomial

Expansion

當n是任意正整數(shù)時，求以a和b的冪表示的二項式a+b的n次冪.

第10題

柯西的平均值定理Cauchy's

Mean

Theorem

求證n個正數(shù)的幾何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值.

第11題

伯努利冪之和的問題Bernoulli's

Power

Sum

Problem

確定指數(shù)p為正整數(shù)時最初n個自然數(shù)的p次冪的和S=1p+2p+3p+…+np.

第12題

歐拉數(shù)The

Euler

Number

求函數(shù)φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1當x無限增大時的極限值第13題

牛頓指數(shù)級數(shù)Newton's

Exponential

Series

將指數(shù)函數(shù)ex變換成各項為x的冪的級數(shù).

第14題

麥凱特爾對數(shù)級數(shù)Nicolaus

Mercator's

Logarithmic

Series

不用對數(shù)表，計算一個給定數(shù)的對數(shù).

第15題

牛頓正弦及余弦級數(shù)Newton's

Sine

and

Cosine

Series

不用查表計算已知角的正弦及余弦三角函數(shù).

第16題

正割與正切級數(shù)的安德烈推導法Andre's

Derivation

of

the

Secant

and

Tangent

Series

在n個數(shù)1，2，3，…,n的一個排列c1，c2，…，cn中，如果沒有一個元素ci的值介于兩個鄰近的值ci-1和ci+1之間，則稱c1，c2，…，cn為1，2，3，…,n的一個屈折排列.

試利用屈折排列推導正割與正切的級數(shù).第17題

格雷戈里的反正切級數(shù)Gregory's

Arc

Tangent

Series

已知三條邊，不用查表求三角形的各角.

第18題

德布封的針問題Buffon's

Needle

Problem

在臺面上畫出一組間距為d的平行線，把長度為l（小于d）的一根針任意投擲在臺面上，問針觸及兩平行線之一的概率如何？

第19題

費馬-歐拉素數(shù)定理The

Fermat-Euler

Prime

Number

Theorem

每個可表示為4n+1形式的素數(shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來表示.

第20題

費馬方程The

Fermat

Equation

求方程x2－dy2=1的整數(shù)解，其中d為非二次正整數(shù).

第21題

費馬-高斯不可能性定理The

Fermat-Gauss

Impossibility

Theorem

證明兩個立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù).第22題

二次互反律The

Quadratic

Reciprocity

Law

（歐拉-勒讓德-高斯定理）奇素數(shù)p與q的勒讓德互反符號取決于公式

（p/q）?（q/p）=（－1）[(p-1)/2]?[(q-1)/2].

第23題

高斯的代數(shù)基本定理Gauss'

Fundamental

Theorem

of

Algebra

每一個n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n個根.

第24題

斯圖謨的根的個數(shù)問題Sturm's

Problem

of

the

Number

of

Roots

求實系數(shù)代數(shù)方程在已知區(qū)間上的實根的個數(shù).

第25題

阿貝爾不可能性定理Abel's

Impossibility

Theorem

高于四次的方程一般不可能有代數(shù)解法.第26題

赫米特-林德曼超越性定理The

Hermite-Lindemann

Transcedence

Theorem

系數(shù)A不等于零，指數(shù)α為互不相等的代數(shù)數(shù)的表達式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.

第27題

歐拉直線Euler's

Straight

Line

在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線的交點和各高的交點在一直線—歐拉線上，而且三點的分隔為：各高線的交點（垂心）至各中線的交點（重心）的距離兩倍于外接圓

的圓心至各中線的交點的距離.

第28題

費爾巴哈圓The

Feuerbach

Circle

三角形中三邊的三個中點、三個高的垂足和高的交點到各頂點的線段的三個中點在一個圓上.

第29題

卡斯蒂朗問題Castillon's

Problem

將各邊通過三個已知點的一個三角形內(nèi)接于一個已知圓.第30題

馬爾法蒂問題Malfatti's

Problem

在一個已知三角形內(nèi)畫三個圓，每個圓與其他兩個圓以及三角形的兩邊相切.

第31題

蒙日問題Monge's

Problem

畫一個圓，使其與三已知圓正交.

第32題

阿波洛尼斯相切問題The

Tangency

Problem

of

Apollonius.

畫一個與三個已知圓相切的圓.

第33題

馬索若尼圓規(guī)問題Macheroni's

Compass

Problem.

證明任何可用圓規(guī)和直尺所作的圖均可只用圓規(guī)作出.

第34題

斯坦納直尺問題Steiner's

Straight-edge

Problem

證明任何一個可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果在平面內(nèi)給出一個定圓，只用直尺便可作出.第35題

德里安倍立方問題The

Deliaii

Cube-doubling

Problem

畫出體積為一已知立方體兩倍的立方體的一邊.

第36題

三等分一個角Trisection

of

an

Angle

把一個角分成三個相等的角.

第37題

正十七邊形The

Regular

Heptadecagon

畫一正十七邊形.

第38題

阿基米德π值確定法Archimedes'

Determination

of

the

Number

Pi

設(shè)圓的外切和內(nèi)接正2vn邊形的周長分別為av和bv，便依次得到多邊形周長的阿基米德數(shù)列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的調(diào)和中項，bv+1是bv、av+1的等比中項.

假如已知初始兩項，利用這個規(guī)則便能計算出數(shù)列的所有項.

這個方法叫作阿基

米德算法.第39題

富斯弦切四邊形問題Fuss'

Problem

of

the

Chord-Tangent

Quadrilateral

找出半徑與雙心四邊形的外接圓和內(nèi)切圓連心線之間的關(guān)系.（注：一個雙心或弦切四邊形的定義是既內(nèi)接于一個圓而同時又外切于另一個圓的四邊形）

第40題

測量附題Annex

to

a

Survey

利用已知點的方位來確定地球表面未知但可到達的點的位置.

第41題

阿爾哈森彈子問題Alhazen's

Billiard

Problem

在一個已知圓內(nèi)，作出一個其兩腰通過圓內(nèi)兩個已知點的等腰三角形.

第42題

由共軛半徑作橢圓An

Ellipse

from

Conjugate

Radii

已知兩個共軛半徑的大小和位置，作橢圓.

第43題

在平行四邊形內(nèi)作橢圓An

Ellipse

in

a

Parallelogram,

在規(guī)定的平行四邊形內(nèi)作一內(nèi)切橢圓，它與該平行四邊形切于一邊界點.第44題

由四條切線作拋物線A

Parabola

from

Four

Tangents

已知拋物線的四條切線，作拋物線.

第45題

由四點作拋物線A

Parabola

from

Four

Points.

過四個已知點作拋物線.

第46題

由四點作雙曲線A

Hyperbola

from

Four

Points.

已知直角（等軸）雙曲線上四點，作出這條雙曲線.

第47題

范?施古登軌跡題Van

Schooten's

Locus

Problem

平面上的固定三角形的兩個頂點沿平面上一個角的兩個邊滑動，第三個頂點的軌跡是什么？第48題

卡丹旋輪問題Cardan's

Spur

Wheel

Problem.

一個圓盤沿著半徑為其兩倍的另一個圓盤的內(nèi)緣滾動時，這個圓盤上標定的一點所描出的軌跡是什么？

第49題

牛頓橢圓問題Newton's

Ellipse

Problem.

確定內(nèi)切于一個已知（凸）四邊形的所有橢圓的中心的軌跡.

第50題

彭賽列-布里昂匈雙曲線問題The

Poncelet-Brianchon

Hyperbola

Problem

確定內(nèi)接于直角（等邊）雙曲線的所有三角形的頂垂線交點的軌跡.

第51題

作為包絡(luò)的拋物線A

Parabola

as

Envelope

從角的頂點，在角的一條邊上連續(xù)n次截取任意線段e，在另一條邊上連續(xù)n次截取線段f，并將線段的端點注以數(shù)字，從頂點開始，分別為0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1

，0.

求證具有相同數(shù)字的點的連線的包絡(luò)為一條拋物線.第52題

星形線The

Astroid

直線上兩個標定的點沿著兩條固定的互相垂直的軸滑動，求這條直線的包絡(luò).

第53題

斯坦納的三點內(nèi)擺線Steiner's

Three-pointed

Hypocycloid

確定一個三角形的華萊士（Wallace）線的包絡(luò).

第54題

一個四邊形的最接近圓的外接橢圓The

Most

Nearly

Circular

Ellipse

Circum

scribing

a

Quadrilateral

一個已知四邊形的所有外接橢圓中，哪一個與圓的偏差最小？

第55題

圓錐曲線的曲率The

Curvature

of

Conic

Sections

確定一個圓錐曲線的曲率.

第56題

阿基米德對拋物線面積的推算Archimedes'

Squaring

of

a

Parabola

確定包含在拋物線內(nèi)的面積.第57題

推算雙曲線的面積Squaring

a

Hyperbola

確定雙曲線被截得的部分所含的面積.

第58題

求拋物線的長Rectification

of

a

Parabola

確定拋物線弧的長度.

第59題

笛沙格同調(diào)定理（同調(diào)三角形定理）Desargues'

Homology

Theorem

(Theorem

of

Homologous

Triangles)

如果兩個三角形的對應(yīng)頂點連線通過一點，則這兩個三角形的對應(yīng)邊交點位于一條直線上.

反之，如果兩個三角形的對應(yīng)邊交點位于一條直線上，則這兩個三角形的對應(yīng)頂點連線通過一點.

第60題

斯坦納的二重元素作圖法Steiner's

Double

Element

Construction

由三對對應(yīng)元素所給定的重迭射影形，作出它的二重元素.

第61題

帕斯卡六邊形定理Pascal's

Hexagon

Theorem

求證內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形中，三雙對邊的交點在一直線上.

第62題

布里昂匈六線形定理Brianchon's

Hexagram

Theorem

求證外切于圓錐曲線的六線形中，三條對頂線通過一點.

第63題

笛沙格對合定理Desargues'

Involution

Theorem

一條直線與一個完全四點形*的三雙對邊的交點與外接于該四點形的圓錐曲線構(gòu)成一個對合的四個點偶.

一個點與一個完全四線形*的三雙對頂點的連線和從該點向內(nèi)切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構(gòu)成一個對合的四個射線偶.

*一個完全四點形（四線形）實際上含有四點（線）1，2，3，4和它們的六條連線交點

23，14，31，24，12，34；其中23與14、31與24、12與34稱為對邊（對頂點）.第64題

由五個元素得到的圓錐曲線A

Conic

Section

from

Five

Elements

求作一個圓錐曲線，它的五個元素——點和切線——是已知的.

第65題

一條圓錐曲線和一條直線A

Conic

Section

and

a

Straight

Line

一條已知直線與一條具有五個已知元素——點和切線——的圓錐曲線相交，求作它們的交點.

第66題

一條圓錐曲線和一定點A

Conic

Section

and

a

Point

已知一點及一條具有五個已知元素——點和切線——的圓錐曲線，作出從該點列到該曲線的切線.

第67題

斯坦納的用平面分割空間Steiner's

Division

of

Space

by

Planes

n個平面最多可將整個空間分割成多少份？

第68題

歐拉四面體問題Euler's

Tetrahedron

Problem

以六條棱表示四面體的體積.

第69題

偏斜直線之間的最短距離The

Shortest

Distance

Between

Skew

Lines

計算兩條已知偏斜直線之間的角和距離.

第70題

四面體的外接球The

Sphere

Circumscribing

a

Tetrahedron

確定一個已知所有六條棱的四面體的外接球的半徑.

第71題

五種正則體The

Five

Regular

Solids

將一個球面分成全等的球面正多邊形.

第72題

正方形作為四邊形的一個映象The

Square

as

an

Image

of

a

Quadrilateral

證明每個四邊形都可以看作是一個正方形的透視映象.

第73題

波爾凱-許瓦爾茲定理The

Pohlke-Schwartz

Theorem

一個平面上不全在同一條直線上的四個任意點，可認為是與一個已知四面體相似的四面體的各隅角的斜映射.

第74題

高斯軸測法基本定理Gauss'

Fundamental

Theorem

of

Axonometry

正軸測法的高斯基本定理：如果在一個三面角的正投影中，把映象平面作為復平面，三面角頂點的投影作為零點，邊的各端點的投影作為平面的復數(shù)，那么這些數(shù)的平方和等于零.

第75題

希帕查斯球極平面射影Hipparchus'

Stereographic

Projection

試舉出一種把地球上的圓轉(zhuǎn)換為地圖上圓的保形地圖射影法.

第76題

麥卡托投影The

Mercator

Projection

畫一個保形地理地圖，其坐標方格是由直角方格組成的.

第77題

航海斜駛線問題The

Problem

of

the

Loxodrome

確定地球表面兩點間斜駛線的經(jīng)度.

第78題

海上船位置的確定Determining

the

Position

of

a

Ship

at

Sea

利用天文經(jīng)線推算法確定船在海上的位置.

第79題

高斯雙高度問題Gauss'

Two-Altitude

Problem

根據(jù)已知兩星球的高度以確定時間及位置.

第80題

高斯三高度問題Gauss'

Three-Altitude

Problem

從在已知三星球獲得同高度瞬間的時間間隔，確定觀察瞬間，觀察點的緯度及星球的高度.

第81題

刻卜勒方程The

Kepler

Equation

根據(jù)行星的平均近點角，計算偏心及真近點角.

第82題

星落Star

Setting

對給定地點和日期，計算一已知星落的時間和方位角.

第83題

日晷問題The

Problem

of

the

Sundial

制作一個日晷.

第84題

日影曲線The

Shadow

Curve

當直桿置于緯度φ的地點及該日太陽的赤緯有δ值時，確定在一天過程中由桿的一點投影所描繪的曲線.

第85題

日食和月食Solar

and

Lunar

Eclipses

如果對于充分接近日食時間的兩個瞬間太陽和月亮的赤經(jīng)、赤緯以及其半徑均為已知，確定日食的開始和結(jié)束，以及太陽表面被隱蔽部分的最大值.

第86題

恒星及會合運轉(zhuǎn)周期Sidereal

and

Synodic

Revolution

Periods

確定已知恒星運轉(zhuǎn)周期的兩共面旋轉(zhuǎn)射線的會合運轉(zhuǎn)周期.

第87題

行星的順向和逆向運動Progressive

and

Retrograde

Motion

of

Planets

行星什么時候從順向轉(zhuǎn)為逆向運動（或反過來，從逆向轉(zhuǎn)為順向運動）？

第88題

蘭伯特慧星問題Lambert's

Comet

Prolem

借助焦半徑及連接弧端點的弦，來表示慧星描繪拋物線軌道的一段弧所需的時間.

第89題

與歐拉數(shù)有關(guān)的斯坦納問題Steiner's

Problem

Concerning

the

Euler

Number

如果x為正變數(shù)，x取何值時，x的x次方根為最大？

第90題