2025屆四川省仁壽一中高三下學期第五次調研考試數(shù)學試題含解析

2025屆四川省仁壽一中高三下學期第五次調研考試數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．272．已知復數(shù)滿足，則=（）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．4．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．5．在復平面內，復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．復數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．7．已知復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則等于（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．已知變量x，y間存在線性相關關系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為，則表中數(shù)據(jù)m的值為（）變量x0123變量y35.57A．0.9 B．0.85 C．0.75 D．0.511．已知某口袋中有3個白球和個黑球（），現(xiàn)從中隨機取出一球，再換回一個不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個黑球；若取出的是黑球，則放回一個白球），記換好球后袋中白球的個數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．212．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高），則由此可推得圓周率的取值為________.14．四邊形中，，，，，則的最小值是______.15．如圖,已知，，為的中點，為以為直徑的圓上一動點，則的最小值是_____．16．在矩形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求的面積．18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.19．（12分）表示，中的最大值，如，己知函數(shù)，.（1）設，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）試探討是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.20．（12分）如圖，已知四棱錐，底面為邊長為2的菱形，平面，，是的中點，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若為上的動點，求與平面所成最大角的正切值．21．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.（1）求異面直線AC與BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．22．（10分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎者擲各面標有點數(shù)的正方體骰子次，若擲得點數(shù)大于，則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結束抽獎，已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球，抽獎者從箱中任意摸出個球，若個球均為紅球，則獲得一等獎，若個球為個紅球和個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同）.若，求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率；若一等獎可獲獎金元，二等獎可獲獎金元，三等獎可獲獎金元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為，若商場希望的數(shù)學期望不超過元，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.2、B【解析】

利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.3、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，排除C和D.當時，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值，屬于中檔題.4、A【解析】

確定函數(shù)在定義域內的單調性，計算時的函數(shù)值可排除三個選項．【詳解】時，函數(shù)為減函數(shù)，排除B，時，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D，又時，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等等排除，可通過特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負，函數(shù)值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項．5、D【解析】

將復數(shù)化簡得,,即可得到對應的點為,即可得出結果.【詳解】，對應的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查共軛復數(shù)和復數(shù)與平面內點的對應,難度容易.6、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的知識點有復數(shù)的乘除運算，復數(shù)的共軛復數(shù)，復數(shù)的模，屬于基礎題目.7、A【解析】

對復數(shù)進行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復數(shù)形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.8、D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.9、A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，可得出，結合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，以及雙曲線的漸近線方程.10、A【解析】

計算，代入回歸方程可得．【詳解】由題意，，∴，解得．故選：A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質：線性回歸直線一定過中心點．11、B【解析】由題意或4，則，故選B．12、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長的平方高）,可得,進而可求出的值【詳解】解:設圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結合方程的思想即可求出結果.14、【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．15、【解析】

建立合適的直角坐標系,求出相關點的坐標,進而可得的坐標表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標系如圖所示：則點,,,設點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結合思想和轉化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標系,把表示為關于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16、【解析】

利用平面直角坐標系，設出點E，F(xiàn)的坐標，由可得，利用數(shù)量積運算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖（1）所示：設，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當直線經(jīng)過點時，取得最大值.故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3（2）78【解析】試題分析：（1）由兩角和差公式得到，由三角形中的數(shù)值關系得到，進而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個角的關系得到，再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析：（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，所以.（2）在三角形中,由，所以，由，由正弦定理,得，所以的面積.18、（1）（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；（2）把點極坐標化為直角坐標，直線的參數(shù)方程是過定點的標準形式，因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程，利用參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（1），則，∴，所以曲線的直角坐標方程為，即（2）點的直角坐標為，易知.設對應參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數(shù)方程，解題時可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點間距離問題．19、（1）個；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設，對其求導，及最小值，從而得到的解析式，進一步求值域即可；（1）分別對和兩種情況進行討論，得到的解析式，進一步構造，通過求導得到最值，得到滿足條件的的范圍．試題解析：（1）設，．．．．．．．．．．．．．1分令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分設，結合與在上圖象可知，這兩個函數(shù)的圖象在上有兩個交點，即在上零點的個數(shù)為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程在上有兩根可得）（1）假設存在實數(shù)，使得對恒成立，則，對恒成立，即，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①設，令，得遞增；令，得遞減，∴，當即時，，∴，∵，∴4．故當時，對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分當即時，在上遞減，∴．∵，∴，故當時，對恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若對恒成立，則，∴．．．．．．．．．．．11分由①及②得，．故存在實數(shù)，使得對恒成立，且的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分考點：導數(shù)應用.【思路點睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性，進一步求最值；屬于難題．本題考查函數(shù)導數(shù)與單調性.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數(shù)最值處理．也可構造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由底面為邊長為2的菱形，平面，，易證平面，可得；（Ⅱ）連結，由（Ⅰ）易知為與平面所成的角，在中，可求得.試題解析：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，且，∴為正三角形，又為中點，∴；又，∴，∵平面，又平面，∴，∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)連結，由（Ⅰ）知平面，∴為與平面所成的角，在中，，最大當且僅當最短，即時最大，依題意，此時，在中，，∴，，∴與平面所成最大角的正切值為．考點：1.線線垂直證明；2.求線面角.21、（1）.（2）.【解析】

（1）先根據(jù)空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2）分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法