上海市外國語大學附屬中學2025屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

上海市外國語大學附屬中學2025屆高三二診模擬考試數(shù)學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點為,若拋物線上的點關(guān)于直線對稱的點恰好在射線上,則直線被截得的弦長為()A. B. C. D.2.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.3.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-134.設(shè)函數(shù)在上可導,其導函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.5.已知復數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.36.設(shè)為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.7.數(shù)列{an},滿足對任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.998.已知向量,,且與的夾角為,則x=()A.-2 B.2 C.1 D.-19.陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為()A. B.C. D.10.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.設(shè)集合,,則集合A. B. C. D.12.設(shè)集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則__________.14.如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,,殘缺部分位于過點C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為______.15.春天即將來臨,某學校開展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動.已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨立.該學校的某班隨機領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.16.戊戌年結(jié)束,己亥年伊始,小康,小梁,小譚,小楊,小劉,小林六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分別奔赴四所不同的學校參加演講,則不同的分配方案有_________種(用數(shù)字作答),三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.18.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:19.(12分)在中,.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若,,求的值.20.(12分)記為數(shù)列的前項和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項和.21.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項和為,求證:.22.(10分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若點是直線的一點,過點作曲線的切線,切點為,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由焦點得拋物線方程,設(shè)點的坐標為,根據(jù)對稱可求出點的坐標,寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點,計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為,則,即,設(shè)點的坐標為,點的坐標為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個交點為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長為.故選:B.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程,簡單幾何性質(zhì),點關(guān)于直線對稱,屬于中檔題.2、D【解析】

選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標明確,易于操作.3、B【解析】

由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學生運算求解能力.4、B【解析】

由題意首先確定導函數(shù)的符號,然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導,其導函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當時,;當時,;當時,.時,,時,,當或時,;當時,.故選:【點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導函數(shù)在極值點附近左側(cè)為正,右側(cè)為負,由正負情況討論圖像可能成立的選項,是判斷圖像問題常見方法,有一定難度.5、A【解析】

由復數(shù)除法求出,再由模的定義計算出模.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法法則,考查復數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

設(shè),因為,得到,利用直線的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線的焦點坐標為,設(shè),因為,即線段的中點,所以,所以直線的斜率,當且僅當,即時等號成立,所以直線的斜率的最大值為1.故選:A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用,直線的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.7、B【解析】

由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.8、B【解析】

由題意,代入解方程即可得解.【詳解】由題意,所以,且,解得.故選:B.【點睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側(cè)面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補集定義,逐項判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.12、C【解析】

解對數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】解:由題意可知:.14、【解析】

分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進一步利用導數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,,從而.當時,此時,符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,,由知.,當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,.當,即時,最大.故答案為:.【點睛】此題考查實際問題中導數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.15、【解析】

由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:【點睛】本題考查二項分布的實際應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計算能力,屬于中檔題.16、1080【解析】

按照先分組,再分配的分式,先將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,然后用分步計數(shù)原理求解.【詳解】將六人分成四組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人有種,再分別奔赴四所不同的學校參加演講有種,則不同的分配方案有種.故答案為:1080【點睛】本題主要考查分組分配問題,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程,由此求得,進而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點的坐標,將的坐標代入橢圓方程,化簡后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗滿足,故直線的方程為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因為定義域為,所以,時,,即在和上單調(diào)遞增,當時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導數(shù)證明不等式,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)由正弦定理得到.消去公因式得到所以.進而得到角A;(2)結(jié)合三角形的面積公式,和余弦定理得到,聯(lián)立兩式得到.解析:(I)因為,所以,由正弦定理,得.又因為,,所以.又因為,所以.(II)由,得,由余弦定理,得,即,因為,解得.因為,所以.20、(1);(2)證明見詳解,【解析】

(1)根據(jù),可得,然后作差,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結(jié)果,最后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗觀察能力以及分析能力,屬中檔題.21、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),通過解關(guān)于導數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(﹣1,+∞),,當時,f′(x)<2,當時,f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因為x≥2,故,(ⅰ)當a≥1時,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當1<a<1時,2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當時,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當a≤1時,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因為,所以,故.法二:?下面用數(shù)學歸納法證明.(1)當n=1時,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,即,則n=k+1時,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對任何n∈N*都成立

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