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陜西省西藏民族學(xué)院附屬中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若對(duì)任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.已知m為實(shí)數(shù),直線:,:,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,則()A. B. C. D.4.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.46.使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A. B. C. D.7.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.58.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.3209.圓錐底面半徑為,高為,是一條母線,點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)滿足,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.下列說(shuō)法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題12.某地區(qū)高考改革,實(shí)行“3+2+1”模式,即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____.14.設(shè),分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則_________15.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為_________.16.設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知在中,角、、的對(duì)邊分別為,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面積.18.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),與圓相交于、兩點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)在中,、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點(diǎn),求的長(zhǎng).20.(12分)已知函數(shù)(1)若,試討論的單調(diào)性;(2)若,實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根,求證:.21.(12分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.22.(10分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,且,求a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
將函數(shù)解析式化簡(jiǎn),并求得,根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問(wèn)題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)直線平行的等價(jià)條件,求出m的值,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m=1時(shí),兩直線方程分別為直線l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0滿足l1∥l2,即充分性成立,當(dāng)m=0時(shí),兩直線方程分別為y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不滿足條件.當(dāng)m≠0時(shí),則l1∥l2?,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,則m=1,即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件,故答案為:A【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查充要條件的判斷,考查兩直線平行的等價(jià)條件,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答,直線和直線平行,則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線是否重合.3、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.4、C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡(jiǎn)單題.5、B【解析】
作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.6、B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為,若展開式中有常數(shù)項(xiàng),則,解得,當(dāng)r取2時(shí),n的最小值為5,故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.7、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點(diǎn)睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】
首先把看作為一個(gè)整體,進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】分析:作出圖形,判斷軸截面的三角形的形狀,然后轉(zhuǎn)化求解的位置,推出結(jié)果即可.詳解:圓錐底面半徑為,高為2,是一條母線,點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),在底面的射影為;,,過(guò)的軸截面如圖:,過(guò)作于,則,在底面圓周,選擇,使得,則到的距離的最大值為3,故選:C點(diǎn)睛:本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力,解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形,屬中檔題.10、D【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,即可得答案;【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】選項(xiàng)A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項(xiàng)B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項(xiàng)C,由題意知對(duì),都有,故C不正確.選項(xiàng)D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.12、C【解析】
分兩類進(jìn)行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,熟記其計(jì)數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于常考題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4038.【解析】
由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,,即,得解.【詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故,即本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)求值的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心,屬中檔題.14、1【解析】
令,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,令,可得,所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性,合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球,因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線,即,解得,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的表面積的計(jì)算,其中巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng),得到球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)漸近線得到,,計(jì)算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)7(2)14【解析】
(1)在中,,可得,結(jié)合正弦定理,即可求得答案;(2)根據(jù)余弦定理和三角形面積公式,即可求得答案.【詳解】(1)在中,,,,,,.(2),,,解得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理邊化角,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理結(jié)合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可得出,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長(zhǎng),可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立消去,得,,則,,設(shè)圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解,涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1);(2).【解析】
(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出,結(jié)合正弦定理求出;(2)結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解.【詳解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴銳角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.20、(1)答案不唯一,具體見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意得,分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),得,參變分離得,分析不等式,即轉(zhuǎn)化為,設(shè),再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性,進(jìn)而得證.【詳解】(1)依題意,當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),若,;若,;故此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)方法1:由得令,則,依題意有,即,要證,只需證(不妨設(shè)),即證,令,設(shè),則,在單調(diào)遞減,即,從而有.方法2:由得令,則,當(dāng)時(shí),時(shí),故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè),則,要證,只需證,易知,故只需證,即證令,(),則==,(也可代入后再求導(dǎo))在上單調(diào)遞減,,故對(duì)于時(shí),總有.由此得【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.21、(1)證明見(jiàn)詳解;(2)或或【解析】
(1)(2)首先用基本不等式得到,然后解出不等式即可【詳解】(1)因?yàn)樗裕?)當(dāng)時(shí)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立因?yàn)榇嬖?,且,使得成立所以所以或解得:或或【點(diǎn)睛】1.要熟練掌握絕對(duì)值的三角不等式,即2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要滿足“一正二定三相等”.22、(1)①極小值為1,無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.(2)【解析】
(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”(),即是的零點(diǎn),那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,可以由和韋達(dá)定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,進(jìn)行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無(wú)極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”().(),是函數(shù)的零點(diǎn).,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實(shí)根1,所以,得,根據(jù)①知,時(shí),是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上,得實(shí)數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,,是關(guān)于x的方程()的兩
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