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文檔簡介
河北省廊坊市名校2025屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.2.已知雙曲線(,),以點()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點,若,則的離心率為()A. B. C. D.3.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點P是C的右支上一點,連接與y軸交于點M,若(O為坐標(biāo)原點),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.4.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.605.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題7.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.8.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.9.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.10.已知平面,,直線滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件11.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.505012.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.14.雙曲線的離心率為_________.15.的展開式中的常數(shù)項為_______.16.直線與拋物線交于兩點,若,則弦的中點到直線的距離等于________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,已知,.(1)求;(2)若的面積,求.18.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如下:空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計該企業(yè)一個月(按30天計算)的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.19.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學(xué)生一周課外讀書的時間,從全校學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生進行問卷調(diào)査,統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).(2)如果讀書時間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機選取2人,求這2人不在同一層的概率.20.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,面.(1)在線段上是否存在點,使面,說明理由;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點.(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓的離心率為,直線過橢圓的右焦點,過的直線交橢圓于兩點(均異于左、右頂點).(1)求橢圓的方程;(2)已知直線,為橢圓的右頂點.若直線交于點,直線交于點,試判斷是否為定值,若是,求出定值;若不是,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點,且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因為,所以圓心到的距離為:,即,因為,所以解得.故選A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于中檔題.對于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.3、C【解析】
利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O(shè),,由,與相似,所以,即,又因為,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力。4、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】
利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時,直線,直線,此時兩條直線平行;當(dāng)時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當(dāng)時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮,后者依據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.6、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.7、A【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】
據(jù)題意可知,是與面積有關(guān)的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計算公式可得,故選:C.【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算,本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.9、D【解析】
根據(jù)面面關(guān)系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.10、A【解析】
,是相交平面,直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:已知直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力.11、C【解析】
因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題14、2【解析】15、【解析】
寫出展開式的通項公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時,對應(yīng)的值即為常數(shù)項.【詳解】的展開式通項公式為:,令,所以,所以常數(shù)項為.
故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應(yīng)的取值.16、【解析】
由已知可知直線過拋物線的焦點,求出弦的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離,進一步得到弦的中點到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過定點,,而拋物線的焦點為,,弦的中點到準(zhǔn)線的距離為,則弦的中點到直線的距離等于.故答案為:.【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì),考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
試題分析:(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦,再利用兩角差的余弦定理即可求出;(2)根據(jù)(1)及面積公式可得,利用正弦定理即可求出.試題解析:(1)由,得,∴.∵,∴.由,得,∴.∴.(2)由(1),得.由及題設(shè)條件,得,∴.由,得,∴,∴.點睛:解決三角形中的角邊問題時,要根據(jù)條件選擇正余弦定理,將問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題,利用三角中兩角和差等公式處理,特別注意內(nèi)角和定理的運用,涉及三角形面積最值問題時,注意均值不等式的利用,特別求角的時候,要注意分析角的范圍,才能寫出角的大小.18、(1)(2)9060元【解析】
(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率;(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元,分別求出,,,進而求得數(shù)學(xué)期望,據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則.(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元,則的可能取值為0,220,1480,,,,所以(元),故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學(xué)期望為(元).【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學(xué)期望,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設(shè)一周課外讀書時間的中位數(shù)為小時,則,解得,即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為小時.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因為,,的頻數(shù)分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,若從這7人中隨機抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設(shè)事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計算公式,可得概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì),中位數(shù)的求解,以及古典概型的概率計算等知識的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)存在;詳見解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性質(zhì)定理可得,為上靠近點的三等分點,中點,證明平面平面即得;(2)過作交于,可得兩兩垂直,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出長,寫出各點坐標(biāo),用向量法求二面角.【詳解】解:(1)當(dāng)為上靠近點的三等分點時,滿足面.證明如下,取中點,連結(jié).即易得所以面面,即面.(2)過作交于面,兩兩垂直,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)面法向量,則,即取同理
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