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內(nèi)蒙古一機(jī)集團(tuán)第一中學(xué)2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.2.命題:的否定為A. B.C. D.3.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.4.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣855.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.6.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.7.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.8.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.9.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-210.設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),.若存在,且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.若集合,則=()A. B. C. D.12.為雙曲線的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,,殘缺部分位于過(guò)點(diǎn)C的豎直線的右側(cè),現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形,若該直角三角形一條邊在上,則裁出三角形面積的最大值為_(kāi)_____.14.在長(zhǎng)方體中,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.15.已知向量,,,若,則______.16.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.20.(12分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知,且.(I)求角的大??;(Ⅱ)若,求面積的取值范圍.21.(12分)健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng):具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:(1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率(2)某會(huì)員消費(fèi)4次,求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn);(3)假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位,記從這兩位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn)之差的絕對(duì)值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

因?yàn)?,所以函?shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.2、C【解析】

命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.3、A【解析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡(jiǎn)得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.4、D【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過(guò)解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用計(jì)算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計(jì)算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、B【解析】

可解出集合,然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算,涉及一元二次不等式的求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱,即可排除A、D,再根據(jù)時(shí)函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí),,∴B項(xiàng)不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力,一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬于中檔題.8、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理,用來(lái)表示,然后利用數(shù)量積公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對(duì)值,所以去絕對(duì)值并畫(huà)出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當(dāng)時(shí),有最大值,當(dāng)時(shí),有最小值.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫(huà)法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,所以,所以為奇函?shù),當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?,所以,所以,化?jiǎn)得,所以,即令,因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,由選項(xiàng)知,,又因?yàn)?,所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題,難度較大.11、C【解析】

求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

過(guò)點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過(guò)點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

分兩種情況討論:(1)斜邊在BC上,設(shè),則,(2)若在若一條直角邊在上,設(shè),則,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】(1)斜邊在上,設(shè),則,則,,從而.當(dāng)時(shí),此時(shí),符合.(2)若一條直角邊在上,設(shè),則,則,,由知.,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,.當(dāng),即時(shí),最大.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意分類討論把所有情況考慮完全,屬于一般性題目.14、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角,利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)?,所以是異面直線與所成的角,記為,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.15、-1【解析】

由向量垂直得向量的數(shù)量積為0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)論.【詳解】由已知,∵,∴,.故答案為:-1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.16、【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域?yàn)?.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、,;,證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),成立,②假設(shè)時(shí),猜想成立即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),猜想成立由①②對(duì)成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1))當(dāng)時(shí),將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù),即可求得不等式的解集.(2)根據(jù)原命題是假命題,這命題的否定為真命題,即“,”為真命題,只需滿足即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),由,得.故不等式的解集為.(2)因?yàn)椤?,”為假命題,所以“,”為真命題,所以.因?yàn)?,所以,則,所以,即,解得,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,以及絕對(duì)值三角不等式,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求導(dǎo)得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當(dāng)時(shí),時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應(yīng)用能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(I)根據(jù),利用二倍角公式得到,再由輔助角公式得到,然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(Ⅱ)根據(jù)(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【詳解】(I)因?yàn)?,所以,,,或,或,因?yàn)?,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),又因?yàn)?,所以,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式,輔助角公式以及余弦定理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)22.5(3)見(jiàn)解析,【解析】

(1)根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率,得出概率;(2)根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤(rùn);(3)求出各種情況對(duì)應(yīng)的的值和概率,得出分布列,從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率;(2)第1次消費(fèi)利潤(rùn);第2次消費(fèi)利潤(rùn);第3次消費(fèi)利潤(rùn);第4次消費(fèi)利潤(rùn);這4次消費(fèi)獲得的平均利潤(rùn):(3)1次消費(fèi)利潤(rùn)是27,概率是;2次消費(fèi)利潤(rùn)是,概率是;3次消費(fèi)利潤(rùn)是,概率是;4次消費(fèi)利潤(rùn)是,概率是;由題意:故分布列為:0期望為:【點(diǎn)睛】本題考查概率、平均利潤(rùn)、

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