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浙江省浙東北聯(lián)盟2025屆高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.102.已知集合(),若集合,且對(duì)任意的,存在使得,其中,,則稱(chēng)集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.3.已知雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn),則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.4.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.5.在很多地鐵的車(chē)廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示.將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個(gè)坐位的寬度(),每個(gè)座位寬度為,估計(jì)彎管的長(zhǎng)度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是()A. B. C. D.6.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線(xiàn)所示,圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn),且在軸上,則下列說(shuō)法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)7.設(shè)全集為R,集合,,則A. B. C. D.8.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.9.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)10.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在上最大值是111.的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.12.給出下列三個(gè)命題:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要條件;③將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象.其中假命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知以x±2y=0為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.14.如圖,在矩形中,,是的中點(diǎn),將,分別沿折起,使得平面平面,平面平面,則所得幾何體的外接球的體積為_(kāi)_________.15.設(shè),滿(mǎn)足約束條件,若的最大值是10,則________.16.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2,則三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大??;(2)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.19.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求的值.20.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21.(12分)設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.22.(10分)如圖,三棱錐中,(1)證明:面面;(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.2、C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
由雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn),列出方程求出的值,即可求解雙曲線(xiàn)的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn),可得,解得,此時(shí)雙曲線(xiàn),則曲線(xiàn)的離心率為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】對(duì)于,,是偶函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,,定義域?yàn)?,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;又時(shí),.綜上,對(duì),都有,是奇函數(shù).又時(shí),是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn),對(duì)稱(chēng)軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項(xiàng)正確;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
為彎管,為6個(gè)座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對(duì)的圓心角,再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】如圖所示,為彎管,為6個(gè)座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長(zhǎng)所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長(zhǎng).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式,需熟記公式,考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】分析:由題意首先求得,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解:由題意可得:,結(jié)合交集的定義可得:.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:本題主要考查交集的運(yùn)算法則,補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8、D【解析】
依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.9、C【解析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無(wú)法取得,錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)沒(méi)有最大值,錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式,通過(guò)正弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).11、B【解析】
根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開(kāi)式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.12、C【解析】
結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對(duì)于命題①,因?yàn)?所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對(duì)于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對(duì)于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到的圖象,即命題③是假命題.故假命題有①③.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)雙曲線(xiàn)方程為,代入點(diǎn),計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為,則設(shè)雙曲線(xiàn)方程為:,代入點(diǎn),則.故雙曲線(xiàn)方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)漸近線(xiàn)求雙曲線(xiàn),設(shè)雙曲線(xiàn)方程為是解題的關(guān)鍵.14、【解析】
根據(jù)題意,畫(huà)出空間幾何體,設(shè)的中點(diǎn)分別為,并連接,利用面面垂直的性質(zhì)及所給線(xiàn)段關(guān)系,可知幾何體的外接球的球心為,即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得,,均為等腰直角三角形,如圖所示,設(shè)的中點(diǎn)分別為,連接,則,.因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,所以平面,平面,易得,則幾何體的外接球的球心為,半徑,所以幾何體的外接球的體積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用,折疊后空間幾何體的線(xiàn)面位置關(guān)系應(yīng)用,空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法,屬于中檔題.15、【解析】
畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線(xiàn)平行,數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn),取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)B(2)【解析】
(1)由已知結(jié)合余弦定理,正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB,進(jìn)而可求B;(2)由已知結(jié)合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)閎(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因?yàn)椋?,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因?yàn)閍2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),即ac的最大值4,所以△ABC面積S即面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到,故,得到答案.(2)計(jì)算,再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1),則,即,故,,故.(2),故,故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.,故,,故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,面積公式,均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19、(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求(1)得,然后對(duì)和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式.本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法,求和是用并項(xiàng)求和法.?dāng)?shù)列的求和除公式法外,還有錯(cuò)位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組(并項(xiàng))求和法等等.20、(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn),要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn),考慮利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:21、(Ⅰ)極小值,極大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程,解得.再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,即得極值,(Ⅱ)先分離變量,轉(zhuǎn)化研究函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象,最后根據(jù)圖象確定滿(mǎn)足條件的的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由函數(shù)是偶函數(shù),得,即對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立,所以.此時(shí),則.由,解得.當(dāng)x變化時(shí),與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以有極小值,有極大
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