2025屆山東省東營(yíng)市墾利縣第一中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆山東省東營(yíng)市墾利縣第一中學(xué)高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．3．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．604．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或85．已知函數(shù)的最大值為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．9．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤10．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說(shuō)法正確的是()A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對(duì)所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩光滑的曲線相切，那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個(gè)外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______14．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn).若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.15．定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)點(diǎn)，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.16．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足，則的最大值為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)的最小值為，若正實(shí)數(shù)，，滿足，證明：．18．（12分）已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對(duì)稱軸方程.19．（12分）已知中，內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設(shè)，求的取值范圍.20．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，21．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點(diǎn)為1；（2）若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.22．（10分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長(zhǎng)為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】由.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，涉及到恒成立問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來(lái)處理恒成立問(wèn)題.3、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題5、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，即故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.6、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到，由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故8、B【解析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C10、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時(shí)，，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.11、B【解析】

設(shè)點(diǎn)位于第二象限，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限，由于軸，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、D【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計(jì)算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時(shí)，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時(shí)，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.14、或【解析】

用表示出的面積，求得等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.15、【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到距離的最值問(wèn)題，在處理這類問(wèn)題時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬于中檔題.16、【解析】

設(shè)，由可得，整理得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)分離得到，求的最小值即可求得的取值范圍；（2）先求出，得到，利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解：（1）設(shè)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故．∵有解，∴．即的取值范圍為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴，即．∵．當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立．∴，即成立．【點(diǎn)睛】此題考查不等式的證明，注意定值乘變化的靈活應(yīng)用，屬于較易題目.18、（1），；（2），，.【解析】

（1）直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，，（2）由，解得，所以對(duì)稱軸為，.由，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．19、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出；（2）化簡(jiǎn)，由余弦定理得，利用基本不等式求出，確定角范圍，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得：，且為銳角（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域等，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.20、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間有兩解，令通過(guò)二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為1（2）函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，又因?yàn)椋?，方程關(guān)于的方程在有兩個(gè)零點(diǎn)，由的圖象可知，，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點(diǎn)存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.22、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為，結(jié)合離心率，求出，即可求出方程；（2）設(shè)，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)和三點(diǎn)共線，將