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江西省七校2025屆高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若對(duì)任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.2.已知集合,,則集合子集的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.3.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.5.在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽(yáng)的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.16.已知函數(shù),若不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.7.如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且總是平行于軸,則的周長(zhǎng)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知,是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.9.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.310.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.12.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.14.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)______.15.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為_(kāi)________.16.在數(shù)列中,已知,則數(shù)列的的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn);(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.(12分)《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開(kāi)始,不分文理科;2020年開(kāi)始,高考總成績(jī)由語(yǔ)數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取3人,記表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量,則,,)19.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍.20.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動(dòng)點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時(shí),求直線的普通方程.21.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長(zhǎng)度;(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最???22.(10分)已知,如圖,曲線由曲線:和曲線:組成,其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).(Ⅰ)若,求曲線的方程;(Ⅱ)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點(diǎn),求證:弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上;(Ⅲ)對(duì)于(Ⅰ)中的曲線,若直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn),求面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
對(duì)任意的總有恒成立,因?yàn)?,?duì)恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立,對(duì)恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.2、B【解析】
首先求出,再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集,計(jì)算可得.【詳解】解:,,,子集的個(gè)數(shù)為.故選:.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運(yùn)算,集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A,求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)B,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},
由log2x<1,x>0,得0<x<2,
∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},
則,
∴.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,考查了對(duì)數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.4、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由題意得到關(guān)于的等式,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.6、A【解析】
先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結(jié)合思想可知:不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,結(jié)合定義表示出;根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn),求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍,即可由的周長(zhǎng)求得其范圍.【詳解】拋物線,則焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,根據(jù)拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線上,總是平行于軸,因而兩點(diǎn)不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長(zhǎng)為,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.8、D【解析】
如圖所示,設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.9、C【解析】試題分析:拋物線的準(zhǔn)線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點(diǎn),,,則;選C考點(diǎn):1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準(zhǔn)線方程;10、C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.12、B【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn),∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn),,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點(diǎn)睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.14、-2【解析】
根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得,根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得:,解得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.15、【解析】
將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球,因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線,即,解得,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的表面積的計(jì)算,其中巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng),得到球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式,得到,再由求解.【詳解】解:由,得,,則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)(3)【解析】
(1)若函數(shù)有局部對(duì)稱點(diǎn),則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn)(2)解:由題,因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn)所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以(3)解:由題,,由于,所以,所以(*)在R上有解,令,則,所以方程(*)變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件:,即,得【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn)的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.18、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率,進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)槲锢碓汲煽?jī),所以.所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機(jī)抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】(1)解答第一問(wèn)的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性.(2)解答第二問(wèn)的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí),抽樣可認(rèn)為是等可能的,進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.19、(1);(2)【解析】
(1)求出,即可求出切線的點(diǎn)斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當(dāng)時(shí)求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【詳解】(1)由于,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時(shí)時(shí),,時(shí),,故存在使得且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問(wèn)題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得,,則,求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,因?yàn)?則,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,兩邊同乘,得,所以的直角坐標(biāo)方程為,即.(2)設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程(參數(shù)),代入的直角坐標(biāo)方程中,整理得.由韋達(dá)定理得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則,所以當(dāng)取得最小值時(shí),直線的普通方程為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系.21、(1);(2)當(dāng)BP為cm時(shí),α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.【詳解
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