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2025屆遼寧省瓦房店三中高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.22.對(duì)于定義在上的函數(shù),若下列說(shuō)法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的,則錯(cuò)誤的一個(gè)是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對(duì)于,都有3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫(xiě)()A. B. C. D.4.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若,則直線的斜率為()A. B. C. D.5.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱(chēng)軸是③的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.46.中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.7.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè),導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米8.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值:先請(qǐng)全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì);再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值,那么可以估計(jì)的值約為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.10.如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點(diǎn),M為棱AD的中點(diǎn),設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.11.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,1812.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.2020二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量x,y滿足:,且滿足,則參數(shù)t的取值范圍為_(kāi)______.14.已知,,,的夾角為30°,,則_________.15.一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積是___________16.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則的面積為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.18.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型?(不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.20.(12分)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,角為鈍角,(1)求的值;(2)求邊的長(zhǎng).22.(10分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),過(guò)做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、,交拋物線于另兩點(diǎn)、,記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補(bǔ).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
分別代值計(jì)算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問(wèn)題得以解決.【詳解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,
,
,
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用:求數(shù)列中的項(xiàng),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性的關(guān)系,進(jìn)行判斷即可.【詳解】由得關(guān)于對(duì)稱(chēng),若關(guān)于對(duì)稱(chēng),則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯(cuò)誤的可能是或者是,若錯(cuò)誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時(shí)也錯(cuò)誤,不滿足條件.故錯(cuò)誤的是,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,結(jié)合對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3、B【解析】
模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫(xiě)“”故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標(biāo),然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,故,此時(shí),即.則直線的斜率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.5、C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.6、A【解析】
詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進(jìn)去的,即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形,且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱(chēng)圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。7、B【解析】
由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小,可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛¢L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小,可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng),故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算,屬于容易題.8、D【解析】
由試驗(yàn)結(jié)果知對(duì)0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),滿足,面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì),滿足條件的面積,由幾何概型概率計(jì)算公式,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計(jì)的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對(duì)都小于的正實(shí)數(shù)對(duì),即,對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為的正方形,其面積為,若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.9、A【解析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡(jiǎn)求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.10、C【解析】
把截面畫(huà)完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對(duì)稱(chēng)性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點(diǎn),連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào),∴所求最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問(wèn)題,解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn),第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡,第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱(chēng)性及圓的性質(zhì)求得最小值.11、A【解析】
利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.12、C【解析】
首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí),掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)變量x,y滿足:,畫(huà)出可行域,由,解得直線過(guò)定點(diǎn),直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可,再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x,y滿足:,畫(huà)出可行域如圖所示陰影部分,由,整理得,由,解得,所以直線過(guò)定點(diǎn),由,解得,由,解得,要使,則與可行域有交點(diǎn),當(dāng)時(shí),滿足條件,當(dāng)時(shí),直線得斜率應(yīng)該不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,綜上:參數(shù)t的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.14、1【解析】
由求出,代入,進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.【詳解】,存在實(shí)數(shù),使得.不共線,.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先還原幾何體,再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個(gè)棱柱,如圖,底面為邊長(zhǎng)為的直角三角形,高為的棱柱,所以體積為【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題16、【解析】
由余弦定理先算出c,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)最大值.【解析】
(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.18、(1)選取更合適;(2);(3)時(shí),煤氣用量最小.【解析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn),可得更適合;(2)先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;(3)寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】(1)選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型;(2)由公式可得:,,所以所求回歸直線方程為:;(3)根據(jù)題意,設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,即時(shí),煤氣用量最小.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程,利用線性回歸方程的求法得解,結(jié)合基本不等式求最值.19、(1)若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.【詳解】由已知,,若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由題意,對(duì)求導(dǎo)可得從而,是的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),因此下證:,即證令,即證:,對(duì)求導(dǎo)可得,,,因?yàn)楣剩栽谏蠁握{(diào)遞減,而,從而所以在單調(diào)遞增,所以,即于是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式,考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.20、(1),ξ的分布列為ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中,3-ξ個(gè)人未命中”的概率.其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1
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